Hausaufgaben - Mathematik   Klasse 11-I GK      

HA - Länge einer Strecke

LB.S.85 Nr.43            AB = √29    BC = √5    CD = √5    DA = √29     Viereck ABCD ist ein Drachenviereck

Aufgabe:  Der Punkt B sei der zum Punkt A(-4|1) bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten symmetrisch liegende Punkt. Berechnen Sie die Länge der Strecke AB!    B(1|-4)   AB=√50

Aufgabe:  Gegeben sei ein Viereck ABCD mit A(-5|-2), B(2|-1), C(5|3) und D(-2|2). 

a) Weisen Sie nach, dass es sich beim Viereck ABCD um ein Parallelogramm handelt! AB=DC=√50; AD=BC=5 
b) Ermitteln Sie die Länge der Diagonalen und die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes! AC=√125  BD=5 Diagonalenschnittpunkt S(0|½)

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HA - Mittelpunkt einer Strecke

LB.S. Nr.            

Aufgabe: Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(-5|2) , B(3|-2)  und  C(5|4)  sowie der Schwerpunkt S(1|4/3). 

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Mittelpunkte der Dreiecksseiten!  Mc(-1|0)    Mb(0|3)    Ma(4|1)
  2. Zeigen Sie, dass die Seitenmittelpunkte nur halb so weit vom Schwerpunkt des Dreiecks entfernt sind, wie die gegenüberliegenden Eckpunkte! (Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 : 2)

        McS = √(52/9) = ⅔√13 ≈ 2,4          SC = √(208/9) = 4/3√13 ≈ 4,8  = 2· McS

        MbS = √(34/9) = ⅓√34 ≈ 1,94          SB = √(136/9) = ⅔√34 ≈ 3,89  = 2· MbS

        MaS = √(82/9) = ⅓√82 ≈ 3,02          SA = √(208/9) = ⅔√82 ≈ 6,04  = 2· MaS

Aufgabe: 

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HA - Steigung einer Strecke

LB.S. Nr.            

Aufgabe: Gegeben sind die Koordinaten zweier Punkte. Bestimmen Sie Steigung und Steigungswinkel der Strecke und prüfen sie die Strecken auf Orthogonalität!

  1. A(2|0)     B(2|7)     m = n.d. oder  m = ∞        α = 90°
  2. P(-1|1)    Q(5|4)     m = ½                                 α = 26,6°
  3. R(-5|6)    S(7|-3)    m = -¾                                α = 143,1°        PQ und MN orthogonal, weil m2·m1 = -1
  4. M(4|-6)    N(0|2)     m = -2                                α = 116,6°

Aufgabe: 

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HA - Innenwinkel von Figuren

LB.S. Nr.            

Aufgabe: 

Aufgabe: 

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HA - Geradengleichungen

LB.S.75 Nr.11

  1. y - 5 = 3·(x - 2)        y = 3x - 1                            3x - y = 1                 x/(1/3) + y/(-1) = 1
  2. y - 3 = -2·(x + 1)      y = -2x + 1                          2x + y = 1                x/(1/2) + y/1 = 1
  3. y - = -½·(x - ½)    y = -½·x + 7/12                      6x + 12y = 7            x/(7/6) + y/(7/12) = 1

LB.S.75 Nr.12

  1. y + 1 = [(14+1)/(3+2)]·(x + 2)    y = 3x + 5          3x - y = -5                x/(-5/3) + y/5 = 1    
  2. y - 0 = [(1-0)/(3-0)]·(x - 0)          y = 1/3·x             x - 3y = 0            
  3. y - 2 = [(2-2)/(7-4)]·(x - 4)          y = 2                 0x + y = 2                             y/2 = 1
  4. y - 1 = [(6a-1)/(2a-1)]·(x - 1)      y = [(6a-1)/(2a-1)]·x + [(4a)/(2a-1)]
  5. y - 4 = [(2/3-4)/(1/3+3)]·(x + 3)    y = -x + 1           x + y = 1                 x/1 + y/1 = 1
  6. (y + 1)·(3 - 3) = (7 - 4)·(x + 2)    x = 3                 x + 0y = 3                x/3  = 1

LB.S.80 Nr.23 

Gleichungen der Geraden, auf denen die Dreiecksseiten liegen: Seite AB: y=1 Seite BC: x=3 Seite AC: y = 4/3·x + 1  rechter Winkel am Punkt B aus der besonderen Lage der beiden Dreiecksseiten (waagerecht,senkrecht); also β = 90°  α = 53,13° aus den Anstiegen von Seite b und c; über Innenwinkelsumme  γ = 36,87°

LB.S.80 Nr.24 

Gerade f:  y = 3x - 9    Gerade g:  y = -4x + 12         nicht orthogonal, weil nicht m2 = -1/m1 oder nicht m1·m2 = -1

LB.S.80 Nr.25 

  1. über Punktrichtungsgleichung:  y = 6x - 3
  2. Gerade durch P und Q mittels Zweipunktgleichung:  y = -2x - 6  orthogonale Gerade dazu mittels Punktrichtungs- gleichung:  y = 1/2·x + 3/2
  3. Gerade durch P und Q mittels Zweipunktgleichung: y =-11x+35  orthogonale Gerade dazu mittels Punktrichtungs- gleichung:  y = 1/11·x 

LB.S.80 Nr.26 

  1. Gerade gPQ: y = 1/3·x + 1/3    nicht orthogonal zu f(x) = 3x - 1, weil nicht m2 = -1/m1 oder nicht m1·m2 = -1
  2. Gerade f über Zweipunktgleichung (P1(0|2) ; P2(-3|0)) oder über Achsenabschnittsform(!!) :  y = 2/3·x + 2  Gerade gPQ über Zweipunktgleichung (Q(0|0)): y = -3/2·x orthogonal zu f ,weil m2 = -1/m1 oder  m1·m2 = -1 gilt

LB.S.80 Nr.27 

Gerade gAC: y = -1/2·x - 1/2    Gerade hBD:  y = 2x - 3 orthogonal zueinander, weil m2 = -1/m1 oder  m1·m2 = -1 gilt

Aufgabe: 

m = 2  P(a|a)                y = 2x - a              2x - y = a            

Aufgabe: 

P1(-3|4)   P2(1/3|2/3)       y = -x + 1              x + y = 1              

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HA - Lagebeziehung zwischen zwei Geraden - Schnittwinkel zweier Geraden

LB.S.77  Übung 16

Gerade f:    y = 1/3·x + 2/3    Gerade g:   y = -1/2·x + 4     1/3·x + 2/3 =  -1/2·x + 4    5/6·x = 10/3    x = 4    y = 1/3·4 + 2/3 = 2     S(4|2)

LB.S.77 Übung 17

a)    4x - 1 = 3x + 5    x = 6    y = 4·6 - 1 = 3·6 + 5 = 23     S(6|23)    tanφ =     φ = 4,4°

b)    2x - 1 = -2x + 6    4x = 7    x = 7/4    y = 2·(7/4) - 1 = -2·(7/4) = 5/2    S(1,75|2,5)    tanφ =    φ = 53,1°

c)    2x - 1 = ½·x + 4    3/2·x = 5    x = 10/3    y = 2·(10/3) - 1 = ½·(10/3) + 4 = 17/3    S(10/3|17/3)    tanφ =    φ = 36,9°

LB.S.80 Nr.21       

f(x) = 4x + 5  und  g(x) = 2x - 10  schneiden sich im Punkt S(-7,5|-25)  unter einem Winkel von φ = 12,53°
f(x) = 4x + 5  und  h(x) = 2x - 1   schneiden sich im Punkt  S(-3|-7)      unter einem Winkel von φ = 12,53°
f(x) = 4x + 5  und  i(x) = -4x + 5  schneiden sich im Punkt  S(0|5)        unter einem Winkel von φ = 28,07°
f(x) = 4x + 5  und  j(x) = 2x + 1   schneiden sich im Punkt  S(-2|-3)      unter einem Winkel von φ = 12,53°
g(x) = 2x - 10 und  h(x) = 2x - 1   schneiden sich gar nicht; sie liegen echt parallel zueinander
g(x) = 2x - 10 und  i(x) = -4x + 5  schneiden sich im Punkt  S(2,5|-5)    unter einem Winkel von φ = 12,53°
g(x) = 2x - 10 und  j(x) = 2x + 1   schneiden sich gar nicht; sie liegen echt parallel zueinander
h(x) = 2x - 1  und  i(x) = -4x + 5   schneiden sich im Punkt  S(1|1)        unter einem Winkel von φ = 40,60°
h(x) = 2x - 1  und  j(x) = 2x + 1    schneiden sich gar nicht; sie liegen echt parallel zueinander
i(x) = -4x + 5 und  j(x) = 2x + 1   schneiden sich im Punkt  S(2/3|7/3)   unter einem Winkel v

LB.S.80 Nr.22 

  1. f(x) = 2x - 3  und  g(x) = 4x - 1  schneiden sich im Punkt S(-1|-5)   unter einem Winkel von φ = 12,53°
  2. f(x) = 2        und  g(x) = -3x      schneiden sich im Punkt S(-2/3|2)  unter einem Winkel von φ = 71,57°
  3. f(x) = 0,5x-3  und g(x) = 0,5x-4  schneiden sich gar nicht; sie liegen echt parallel zueinander
  4. f(x) = x + 1  und  g(x) = -x + 1  schneiden sich im Punkt S(0|1)      unter einem Winkel von φ = 90° (orthogonal)

LB.S.80 Nr.30 

  1. MAB(1|3) = MCD    daraus folgt über die beiden Gleichungen für die Mittelpunktkoordinaten einer Strecke  D(4|6)
  2. Gerade gAB: y = -2/5·x + 17/5    Gerade hCD:  y = x + 2      Schnittwinkel φ = 66,80°

Aufgabe: 

Aufgabe: 

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HA - Besondere Linien im Dreieck40,60°

LB.S.80 Nr.28 

Gerade gAB: y =-1/2·x + 2  Mittelpunkt von AB: M(5|-1/2)  Mittelsenkrechte über Punktrichtungsgleichung: y =2x-21/2

LB.S.80 Nr.29 

  1. Ma(4|1)    Seitenhalbierende gMA: y = -1/9·x + 13/9    Mc(-1|0)    Seitenhalbierende hCM: y = 2/3·x + 2/3
  2. nach Gleichsetzen ergibt sich:  xS = 1  durch Einsetzen von xS in beide Geradengleichungen:  yS = 4/3   S(1|4/3)

Aufgabensammlung: Koordinatengeometrie

  1. Von der Strecke AB sei bekannt: A(-4|3) sowie MAB(1|1). Berechnen Sie die Koordinaten von B, die Länge der Strecke sowie ihren Steigungswinkel.  B(6|-1)   AB=√125 (LE)   α=158,2°
  2. Berechne die Länge der Seitenhalbierenden sa im Dreieck ABC mit A(0|0), B(4|3) und C(-2|1).  MBC(1|2)   AMBC = √5 (LE)
  3. Gegeben seien die Punkte P(-3|4) und Q(5|2). Stellen Sie eine Gleichung der Geraden gAB auf und formen Sie diese in KNF, AGG und AAF um. y = -¼·x + 13/4   x + 4y =13 
  4. Von einem Parallelogramm ABCD sind die Eckpunkte A(-1|2) und B(5|-4) sowie der Diagonalenschnittpunkt M(0|1) gegeben. Berechnen Sie die Koordinaten der Parallelogrammeckpunkte C und D.  der Diagonalenschnittpunkt ist Mittelpunkt beider Diagonalen, also über Mittelpunktsformeln C(1|4)   D(-5|6)
  5. Gib die Koordinaten eines Punktes auf der Abszissenachse an, welcher von den Punkten B(-1|1) und C(3|3) gleichweit entfernt ist.   aus AB = AC  folgt  mit A(x|0)    daraus x = 2   also A(2|0)
  6. Gegeben sei eine Gerade g durch die Gleichung:  2x - 6y = 4. Vom Punkt R(4|4) wird das Lot auf die Gerade gefällt. Stellen Sie eine Gleichung für die Lotgerade l auf und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes beider Geraden.  mg = 1/3  also ml = -3  und mit Punktrichtungsgleichung l: y = -3x + 16  Schnittpunkt S(5|1)
  7. Das Dreieck ABC mit A(-2|2), B(3|-1) und C(4|1) soll zu einem Parallelogramm ergänzt werden. Welche Koordinaten muss dann der Punkt D besitzen?  so ähnlich wie Aufgabe 4 zuerst MAC(1|1,5)  und dann über die Mittelpunktsformeln D(-1|4)
  8. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der drei Höhen im Dreieck ABC mit A(-3|-1), B(2|2) und C(-2|6).  mAB = mc = 3/5   mAC = mb = 7   mBC = ma = -1 mittels Punktrichtungsgleichung  hc: y = -5/3·x + 8/3      hb: y = -1/7·x + 16/7   ha: y = x + 2   und mit zwei Gleichungen Schnittpunkt S(0,25|2,25)

Übungsaufgaben: Koordinatengeometrie

  1. gegeben seien die Punkte A(-1|3), B(1|-2), C(5|2) und die Gerade h:  y = -3/10·x + 7/2 
  1. Stellen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A und B verläuft, in der kartesischen Normalform auf.  y = -5/2·x + 1/2
  2. Welchen Steigungswinkel hat die Gerade g?   α=111,8°
  3. Geben Sie die Achsenabschnittsform der Gerade g an. In welchen Punkten schneidet die Gerade g die Koordinatenachsen.    Sx(1/5|0)  Sy(0|½)
  4. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g und h. Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen g und h?  S(-15/11|43/11)   φ = 51,5°
  5. Welchen Abstand hat der Punkt A vom Punkt C.  AC = √37 ≈ 6,1 (LE)
  6. Geben Sie die Gleichung der Gerade j an, die senkrecht auf der Gerade g steht und durch den Mittelpunkt der Strecke AB verläuft (in KNF).  MAB(0|½)  y = 10/3·x + ½
  7. Geben Sie die Gleichung der Gerade k an, die parallel zur Geraden h durch den Punkt T(2|-1) verläuft (in KNF).   y = -3/10·x - 2/5

 2.   Gegeben ist das Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte A(-5|-2), B(5|-4) und C(3|4)

  1. Zeichnen Sie das Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem.  
  2. Berechnen Sie die Koordinaten der Mittelpunkte Ma, Mb und Mc der Dreiecksseiten.   Ma(4|0) Mb(-1|1) und Mc(0|-3)
  3. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks.    Seitenhalbierenden: sa: y = 2/9·x - 8/9   sb: y = -5/6·x + 1/6   sc: y = 7/3·x - 3      S(1|-2/3)
  4. Zeichnen Sie die Seitenhalbierenden und den Schwerpunkt S des Dreiecks ein.  
  5. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels αmAB = -1/5   αAB=168,7°   mAC = 3/4   αAC=36,9°    und daraus mittels Zeichnung   α=48,2°
  6. Berechnen Sie die Maßzahl des Umfang und die Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC.  AB=√104≈10,2 (LE) AC=√100 = 10 (LE) BC=√68 ≈ 8,25  (LE)  u=28,44(LE)  und mittels Formel aus dem Tafelwerk A = √s·(s-a)·(s-b)·(s-c)  mit s = ½·u  folgt  A=38(FE)
  7. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der auf der Ordinatenachse liegt und von den Punkten A und C gleichweit entfernt ist.   Ähnlich wie Aufgabe 5 aus Aufgabensammlung mit Q(0|y)  folgt y = -1/3  also Q(0|-1/3)

Aufgabe: Von einem Dreieck ABC seinen die Seitenmittelpunkte Ma(-4|1), Mb(0|1) und Mc(2|-3) gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte A,B und C; die Innenwinkel α,β und γ sowie den Flächeninhalt des Dreiecks!

aus: I  -4 =     II  0  = III  2 =   folgt als Ansatz ein Gls mit drei Variablen und drei Gleichungen

I    -8 = xB + xC                        -8 = xB + xC        xB = -8 - xC                                                xB = -2

II    0 = xA + xC    xA = - xC                                                                                        xA = 6

III   4 = xA + xB                        4 = -xC + xB                            4 = -xC -8 - xC        xC = -6

nutzt man das gleiche Prinzip für die y-Koordinaten der Punkte erhält man:  yA = -1, yB = -5  und  yC = 3  und damit folgende Eckpunkt des Dreiecks:  A(6|-1)  B(-2|-5)  und  C(-6|3)    dieser Teil der Aufgabe ist recht schwierig!!

Innenwinkel:  α = 45°   β = 90° und γ = 45°    Seitenlängen: AB = √80    AC = √160    BC = √80

Flächeninhalt: entweder über  A = ½·a·b·sinγ  = ½·b·c·sinα  = ½·a·c·sinβ  = ½·√80·√160·sin45° = 40 (FE)

(s.TW S.40 )          oder über  A = ½·|[xA·(yB -yC) + xB·(yC-yA) + xC·(yA - yB)]| = ½·|[6(-5-3) -2(3+1) -6(-1+5)]| = 40

(Lösungsweg über A = ½·g·hg ist auch möglich, aber umständlich und sehr zeitaufwändig)

Aufgabe: Gib die Koordinaten eines Punktes auf der Abszissenachse an, welcher von den Punkten B(-2|5) und C(-3|6) gleichweit entfernt ist!

Punkt auf der Abszissenachse (x-Achse) hat die Koordinaten A(xA|0), damit ergibt sich als Ansatz aus AB = AC folgende Gleichung:   √(xA-(-2))2+(0-5)2 = √(xA-(-3))2+(0-6)2    also  (xA+2)2 + 25 = (xA+3)2 + 36  und daraus folgt unter Verwendung der binomischen Formeln:  4xA + 29 = 6xA + 45    also  xA = -8    dementsprechend  A(-8|0)

Aufgabe: Ein Dreieck ABC habe die Eckpunkte A(1|4) und B(-2|1). Der Eckpunkt C liege auf der Ordinatenachse, und der Flächeninhalt des Dreiecks betrage 6 (FE). Welche Koordinaten hat der Punkt C?

(s.TW S.40 )          am besten über A = ½·|[xA·(yB -yC) + xB·(yC-yA) + xC·(yA - yB)]|   und  C(0|yC)

also:  6 = ½·|[1·(1-yC) - 2·(yC-4) + 0·(4 - 1)]|   oder  12 = |-3yC + 9|  und unter Beachtung der Tatsache, dass aus einer Betragsgleichung zwei Einzelgleichungen werden (Fallunterscheidung):  

-3yC + 9 = 12    mit yC = 1            und            3yC - 9 = 12    mit yC = 7    also beide möglichen Lösungen richtig und damit kann Punkt C bei C1(0|1) aber auch bei C2(0|7) liegen (an Skizze verdeutlichen!!)

Aufgabe: Von einem Parallelogramm ABCD seien die Eckpunkte A(-1|-2) und B(5|-4) sowie der Diagonalenschnittpunkt M(0|1) gegeben. Berechne die Koordinaten der Parallelogrammeckpunkte C und D!

unter Nutzung der Tatsache, dass sich in einem Parallelogramm beide Diagonalen einander halbieren, folgt M ist Mittelpunkt von AC und von BD, also gilt:  0 =    1 =   und  0 =     1 = und damit C(1|4) und D(-5|6)

Aufgabe: Bestimme die Länge der Seitenhalbierenden sa im Dreieck ABC mit A(0|0), B(4|3) und C(-2|1)!

MBC(1|2)    AMa = √(1-0)2+(2-0)2 = √5

Aufgabe: Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes der drei Höhen im Dreieck ABC mit A(-3|-1), B(2|2) und C(-2|6)!

Geradengleichung von Seite a:  gBC:  y - 2 = · (x - 2)        y = -x + 4
Geradengleichung von Seite b:  gAC:  y + 1 = (x + 3)     y = 7x + 20
Geradengleichung von Seite c:  gAB:  y +1 = (x +3)           y = 3/5·x + 4/5
Geradengleichung von Höhe ha:    y +1 = (x + 3)        y = x + 2
Geradengleichung von Höhe hb:    y - 2 = -1/7·(x - 2)       y = -1/7·x + 16/7                                S(1/4|9/4)
Geradengleichung von Höhe hc:    y - 6 = -5/3·(x + 2)      y = -5/3·x + 8/3

Aufgabe: Das Dreieck ABC mit A(2|2), B(3|3) und C(4|0) soll zu einem Parallelogramm ABCD ergänzt werden. Welche Koordinaten muss dann der Punkt D besitzen?

ähnlich der Aufgabe 4 gilt: MAC = MBD        MAC(3|1)    3 =          1 =          D(3|-1)

Aufgabe: Ermittle die Gleichung der sogenannten Eulerschen Gerade des Dreiecks ABC mit A(0|0), B(3|2) und C(-1|2),auf der die Schnittpunkte der Höhen H, der Seitenhalbierenden S und der Mittelsenkrechten M liegen.

Geradengleichung von Seite a:  gBC:  (y - 2)·(3 + 1) = (2 - 2)·(x - 3)        y = 2
Geradengleichung von Seite b:  gAC:  y + 0 = · (x + 0)                    y = -2x
Geradengleichung von Seite c:  gAB:  y +0 = · (x + 0)                        y = 2/3·x
Geradengleichung von Höhe ha: senkrecht zu einer waagerechten Gerade mit m1 = 0 heißt m2 =       x = 0
Geradengleichung von Höhe hb:    y - 2 = 1/2·(x - 3)       y = 1/2·x + 1/2                                H(0|1/2)
Geradengleichung von Höhe  hc:    y - 2 = -3/2·(x + 1)      y = -3/2·x + 1/2
Geradengleichung der Mittelsenkrechten ma:  Ma(1|2)                                    x = 1 
Geradengleichung der Mittelsenkrechten mb:  Mb(-½|1)    y - 1 = 1/2·(x + 1/2)    y = 1/2·x + 5/4        M(1|7/4)
Geradengleichung der Mittelsenkrechten mc:  Mc(3/2|1)    y - 1 = -3/2·(x - 3/2)    y = -3/2·x + 1/2
Gleichung der Seitenhalbierenden sa:    y -2 = · (x - 1)                y = 2·x
Gleichung der Seitenhalbierenden sb:    y - 1 = · (x + ½)          y = 2/7·x + 8/7        S(2/3|4/3)
Gleichung der Seitenhalbierenden sc:    y -1 = · (x - 3/2)            y = -2/5·x + 8/5
Gleichung der Eulerschen Gerade:    y - 1/2 · (x - 0)        y = 5/4·x  + 1/2

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HA - Der Flächeninhalt eines Dreiecks

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        HA - lineare Gleichungssysteme (2Variablen)

            I    -2x + 3y   =  5                y = 2/3·x +5/3                    2/3·x + 5/3  =  -6/11·x + 5/11     Gleichsetzungs-

            II    6x + 11y =  5                y = -6/11·x + 5/11                22x + 55    =   -18x + 15           verfahren

                                                                                                        40x   =   -40

                                                                                                            x   =  -1

                                                    y  =  2/3·(-1) + 5/3 =1

                                                    y  = -6/11·(-1) +5/11 = 1            S ( -1|1)    Kontrolle durch graphische Lösung

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1. Lösen Sie das Gleichungssystem!

  a) I  x + y  =  12       b) I    x - y  =  7       c) I    4x + 6y  =  2          d)  I           y = 2x - 4       e) I    5x + 2y  =  17

     II         y  =  5              II        x  =  2y          II            x   = y + 3           II   -3x + 5y  =  1            II  2x + 3y  =  12

    L = {[7|5]}                  L = {[14|7]}             L = {[2|-1]}                    L = {[3|2]}                L={[27/11|26/11]}

 

 f) I    4x + 6y = -1       g) I    2x - 4y  =  3       h) I    ¼·x + ·y = 8       i)  I    3x  =  5 - 4y      k)  I    2x - 3y  =  15

    II   6x + 4y = 1            II   ½·x - y  =  1            II   ·x + 0,2y = 7          II   9x + 2 =  12y          II  6x - 54  =  9y

     L = {[1/2|-1/2]}          L = Ø                            L = {[12|15]}           L = {[13/18|17/24]}              L = Ø   

 

 l) I   2(x+1) + 7(y+6) = 1       m) I   2(x-1) - 3(y-1) = 1       n) I   0,4x + 7,2y  =  4,6      p) I   0,5x + 0,9y = 0,3

    II  3(x-1) - 5(y+1)  = 5           II 4(2x+1)+3(3y-1) = 8           II  5,1x - 3,7y  =  8,9          II -0,4x + 0,3y = 1,8

     L = {[-4|-5]}                                     L = {[1/2|1/3]}           L = {[811/382|199/382]}              L = {[-3|2]}   

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        HA - Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme (2Variablen)

2. Benutzen Sie eine geeignetes Lösungsverfahren! Prüfen Sie  ihr Ergebnis mit der Determinantenmethode!

  a) I   y = 3x - 5           b) I   x = 4 - 7y           c) I   3x + y = 11           d) I   x - 2y = 4           e) I   5y = 2x + 9

     II  y = -x + 7                II  x = 3y + 9             II  -2x + y = 16               II x + 3y = 9                II  5y = 8x - 9

     L = {[1/2|-1/2]}          L = Ø                            L = {[12|15]}           L = {[13/18|17/24]}              L = Ø   

 

  f) I   3y + 1 = 4x          g) I   y - 2x = 13          h) I   4y  =  15 - x          i) I   4x - 5y = 8          k) I   x + y = -7

     II  3y + 1 = 5x              II 8x - 7y = 5                II  2x - 7 = 8y              II  7x + 5y = 3             II 2x + 7y = 6

     L = {[0|-1/3]}          L = {[-16|-19]}          L = {[37/4|23/16]}     L = {[1|-4/5]}              L = {[-11|4]} 

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        HA - Gaußscher Lösungsalgorithmus

I      x1  + 3x2 + x3  =  19            I   x1 + 3x2 + x3  =  19             I  x1 + 3x2 + x3  =  19

II   -x1  +   x2 -  x3  =  -7            II           4x2           =  12            II         4x2           =  12

III  2x1 + 2x2 + x3  =  18           III        -4x2 - x3   =  -20           III                 -x3  =  -8            L = {[2|3|8]}

LB.S.178/Übung 1 a - d

I     2x + 4y -  z  =  -13          I     3x - 2y + 2z  =  6          I     x + 2y -  z  +  t  =  -2          I     2x + 2y - 3z + 4t = 13 

II   3x - 2y + 2z  =  15          II    2x + 3y - 2z  =  6          II  2x +  y + 2z - 2t  =  -2         II   4x - 3y +  z + 3t  =  9

III 4x + 2y + 3z  =  7            III  5x  -  y  - 3z  =  2         III 3x + 3y + 3z + 2t = 14        III  6x + 4y + 2z + 2t = 8

L = {[1|-3|3]}                         L = {[2|2|2]}                    IV   x  +  y  + 2z +  t  =  9          IV  2x - 5y + 3z +  t  =  1

                                                                                                L = {[1|-2|3|4]}                        L = {[1|0|-1|2]} 

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        HA - Regel von Sarrus

LB.S.185/8

a)    I      x - 2y +  z  =  0            D = (-4) - (7 )  = -11 

       II          3y  +  z  =  9              D1 = -11                   D2 = -11              D3 = -33

       III  2x + y          =  4                L = {[1|2|3]}

b)    I    2x + 2y + 3z =  -2            D = (3) - (6 )  = -3 

       II     x          +  z  =  -1              D1 = -3                  D2 = -3                 D3 = 6

       III          y  + 2z  =  -3                L = {[1|1|-2]}

c)    I     4x - 2y  + 2z  =  2            D = (44) - ( 62)  = -18 

       II  -2x + 3y  - 2z  = 0              D1 = 0                    D2 = -36               D3 = -54

       III  3x - 5y +   z  =  -7                L = {[0|2|3]}

d)    I      x + 2y - 2z  =  -4            D = (-1) - (0 )  =  -1

       II   2x +  y  +  z  =  3              D1 = 2                           D2 = -3                        D3 = -4

       III 3x + 2y +  z  =  4                L = {[-2|3|4]}

e)    I    2x + 2y - 3z =  -7            D = (-5) - (24 )  =  -29

       II   -x - 2y  - 2z  =  3              D1 = -29                       D2 = 87                       D3 = -29

       III 4x +  y  - 2z  =  -1                L = {[1|-3|1]}

f)    I     2x +  y  -   z  =  6            D = (26) - (8 )  =  18

       II   5x - 5y  + 2z  = 6              D1 =  72                       D2 =  108                    D3 = 144

       III 3x + 2y -  3z  =  0                L = {[4|6|8]}

g)    I     2x     + 4z + 3t  =  5       I     2x     + 4z + 3t  =  5      I     2x     + 4z + 3t  =  5        I     2x     + 4z + 3t  =  5

      II          2y - 3z + 2t  =  6       II          2y - 3z + 2t  =  6    II          2y - 3z + 2t  =  6      II          2y - 3z + 2t  =  6

    III   4x +  y - 2z + 3t  =  9      III         y  - 10z - 3t = -1    III               17z + 8t =  8      III               17z + 8t =  8

    IV    x                  + 2t  =  3      IV                   4z - t  =  -1    IV                   4z - t  =  -1      IV                        49t = 49

  L = {[1|2|0|1]}

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        HA - Manigfaltigkeit der Lösungsmenge bei linearen GLS mit 3 Variablen

I   2a - 4b + c    =  -3

II  4a - 8b + 2c  =  -6

III   a + 6b -  4c  =  0     L = {[5/8·c-9/8|9/16·c+3/16|c]}

 

I     3x -  y + 2z  =  7                            I     4x1 -  x2 +  x3  =  7                            I      a +  b +  c  =  1

II    x +2y + 3z  =  14                          II    3x1 +  x2 -  x3  =  0                            II   a + 2b + 2c  =  3

III  x - 5y - 4z  =  -21                         III   5x1 + 2x2 + x3  =  -3                         III  2a +  b +  c  =  1

L = {[4 - x3|5 - x3|x3]}                        L = {[1|-11/3|-2/3]}                            L = Ø

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        HA - Gleichungssysteme mit Parametern

I       x  +  y  - 5z  =  6            D = -13a - 26        D1 = 37a - 148        D2 = 222        D3 = 23a + 46

II   2x -  ay + 7z  =  -1        für alle reellen Zahlen a ≠-2 gilt:   Gleichungssystem hat eindeutige Lösung

III 6x + 6y - 17z  =  13       für  a = -2 gilt:    L = Ø

 

I       x1 +  x2 +  x3  =  t        D = t2 - t - 2        D1 = -1        D2 = t3 - 2t - 1        D3 = -t2 + 2

II    tx1            - x3  =  1        für alle reellen Zahlen t ≠ 2 und t ≠-1 gilt:   Gleichungssystem hat eindeutige Lösung

III    x1 -  x2 - tx3  =  0         für  t = 2 und  t = -1  gilt:   L = Ø

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        HA - Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

LB. S. 188 Nr. 23b,c

b)      I       a  +  b +  c +  d  =  5                                          c)   I     8a + 4b + 2c + d  =  0

        II    8a + 4b + 2c + d  =  16                                              II     a  +  b  +  c  +  d  = -3

        III  -a  +  b  -  c  +  d  =  1                                                III   3a + 2b +  c          =  0

        IV   3a - 2b + c           =  8                                                 IV    2a  + b                  =  0

            L  =  {[2|-1|0|4]}                                                                         L  =  {[1,5|-3|1,5|-3]}

        f(x) = 2x3 - x2 + 4                                                                        f(x) = 1,5x3 - 3x2 + 1,5x - 3

 

Lösungen des Arbeitsblattes:  1.)    L = {[4|3|3]}

                                                    2.)    L = {[4/5·z|-2/5·z|z]}

                                                    3.)    für t = 1 unendlich viele Lösungen; für t = -1  leere Menge, für alle anderen 

                                                              Werte von t gibt es genau eine Lösung

                                                    4.)    f(x) = -x3 + 9x2 - 24x + 16

                                                    5.)    0,4x + 0,3y + 0,5z  =  4

                                                             0,5x + 0,2y + 0,3z  =  3,5

                                                             0,1x + 0,5y + 0,2z  =  2,5        L = {[4|3|3]}

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                        Hausaufgaben - Mathematik   Klasse 11-II GK      

HA - lineare Funktionen

AB 14.1 Lineare Funktionen

Geben Sie die Steigung der Gerade an. Bestimmen Sie jeweils die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen, zeichnen Sie die Gerade in ein kartesisches Koordinatensystemein, und zeichnen Sie ein Steigungsdreieck ein!

Funktion Steigung Achsenschnittpunkte  Graphik
f(x) = y = 2x - 1 m = 2 Sx(½|0)  Sy(0|-1)

f(x) = y = -3x + 3/2 m = -3 Sx(½|0)  Sy(0|3/2)
f(x) = y = 5/2·x - 1/2 m = 5/2 Sx(1/5|0)  Sy(0|-½)
f(x) = y = -½·x m = -½ Sx(½|0)  Sy(0|0)
f(x) = y = -¼·x + 1 m = -¼ Sx(½|0)  Sy(0|1)

Lesen Sie die Gleichungen der linearen Funktionen aus der Zeichnung ab.

Graphik lineare Funktionsgleichungen

f(x) = y = 2/3·x + 3
f(x) = y = -3/2·x + 3
f(x) = y = -2
f(x) = y = x + 2
f(x) = y = 3/5·x - 2/5

gegeben sei die folgende Wertetabelle:

x -3 1 5
y -2 1 4
  1. Weisen Sie nach, dass es sich um Wertepaare einer linearen Funktion f  handeln könnte!
  2. Geben Sie die Gleichung dieser Funktion an! Zeichnen Sie den Graph der Funktion f!
  3. Berechnen Sie die Nullstelle von f und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Zeichnung!
  4. Bestimmen Sie die Gleichung der Gerade g, die den Graphen von f im Punkt P(1/1) schneidet und senkrecht auf ihm steht!

      Hinweis zu 1.:   Prüfen Sie die für lineare Funktionen typische Eigenschaft  m = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1) = konstant für die 3 möglichen Kombinationen zweier Wertepaare! Nutzen Sie ihr Ergebnis für m zur Lösung der Aufgabe 2!

      Hinweis zu 4.:   Suchen Sie im Tafelwerk nach einer Beziehung zwischen den Anstiegen m1 und m2 zweier orthogonaler Geraden und nutzen Sie dann die Punktrichtungsform der Geradengleichung aus Semester 11/I!

LB.S.81 Nr.31 

  1. aus  0 = -1/3·x + 5   folgt xN = 15        aus  tanα = -1/3   folgt   α = 161,57°
  2. aus  -1/3·x + 5 = x - 1  folgt  xS = 9/2    und yS = 7/2    also S(4,5|3,5)    Schnittwinkel φ = 63,43°
  3. aus  y = m·x   mit  m·(-1/3) = -1  folgt m = 3   also   y = 3x

LB.S.81 Nr.32 

  1. 12 = -3·3,5 + 0,5  f.A.   nein, der Punkt P(3,5|12) liegt nicht auf der Gerade f 
  2. 8  = -3·xo + 0,5    xo = -2,5                            yo = -3·(-2) + 0,5    yo = 6,5
  3. über Punktrichtungsgleichung:  y - 0 = -3·(x + 3)        y = -3x - 9

LB.S.81 Nr.33 

  1. über Zweipunktgleichung: y + 3 = ·(x - 2)        y = 3x - 9
  2. über 3x-y=9 in AAF: x/3 + y/(-9) = 1   also Achsenabschnitt auf x-Achse: 3 und Achsenabschnitt auf y-Achse: -9
  3. M(3|0)
  4. tanφ=3  φ=71,57° ist gleichzeitig Schnittwinkel mit x-Achse; Schnittwinkel mit y-Achse:  90°-71,57°=18,43° 

LB.S.81 Nr.34 

  1. zweiter Achsenschnittpunkt liegt auf der y-Achse hat also die Koordinaten Q(0|y);                                           damit gilt: 5 = √(-4-0)2+(0-y)2   woraus sich ergibt:  y2 = 25-16 = 9  und wegen Lage auf positivem Teil der y-Achse folgt: Q(0|3)
  2. über Zweipunktgleichung: y - 0 = ·(x + 4)    oder über AAF: x/(-4) + y/3 = 1  folgt: y = 3/4·x + 3
  3. Fläche ist rechtwinkliges Dreieck, bei dem die beiden Achsenabschnitte die Kathetenlängen darstellen, also gilt:  A = ½·a·b = ½·|-4|·3 = 6 (FE)

LB.S.81 Nr.35 

Gerade h, auf der das Flugzeug fliegt:  y - 6 =  ·(x - 9)        y = 5/6·x - 3/2

Schnittpunkt zwischen h und f:  0,5x + 2 = 5/6·x - 3/2    S1(21/2|29/4)

Schnittpunkt zwischen h und g:  0,5x - 1 = 5/6·x - 3/2    S2(3/2|-1/4) und unter Beachtung der Flugrichtung gilt:       1. das Flugzeug verlässt den Flugkorridor im Punkt P2 und 2. ich sitze da nicht drin

LB.S.81 Nr.36 

die Rettungsstation R muss im Mittelpunkt des Dreieckumkreises liegen, also im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC:  

MAB(6|3)      gAB: y = 0,5·x    Mittelsenkrechte mc: y = -2x +15
MAC(6|5)      gAC: y = x - 1    Mittelsenkrechte mb: y = -x + 11   
MBC(10|7)     gBC: x = 10       Mittelsenkrechte ma: y = 7

Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten:  S(4|7) sollte der Standort der Rettungsstation sein

dann AS = BS = CS = √40 und die Summe der drei Strecken beträgt 3√40 ≈ 18,974

aber  AP = √34 = CP  und  BP = √10  und die Summe dieser drei Strecken beträgt 2√34 + √10 ≈ 14,824

um möglichst kurze Rettungswege zu haben, könnte es auch sinnvoller sein, die Rettungsstation im Punkt P(7|4) zu bauen

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            HA – quadratische Funktionen

  gegeben sei eine quadratische Funktion mit der Gleichung:  y = f(x) = - ½ x² + 1,5 x + 2

  1. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes mit Hilfe der Formel aus dem Tafelwerk!

  2. Wandeln sie die Funktionsgleichung in die Form:  y = a·(x+d)² + e  um und lesen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes ab! Vergleichen Sie mit dem Ergebnis von Aufgabe 1!

  3. Skizzieren Sie den Graphen von f ins Koordinatensystem! Bestimmen sie die Nullstellen von f sowohl graphisch als auch rechnerisch!

                                                          

4.        Mit der Gleichung: y = g(x) = (x-1)² - 4 sei eine zweite quadratische Funktion gegeben. Berechnen Sie die

        Schnittpunkte zwischen den Graphen von f und g! Überprüfen Sie ihre Lösung graphisch (Vorsicht: keine

        Schablone verwenden) !

        Hinweis zu 4.:    Ansatz  f(x) = g(x) nutzen und beim Auflösen an Binomische Formel und Normalform der quadratischen Gleichung denken! Nutzen Sie zum Einzeichnen der Graphen die berechneten (bzw. abgelesenen) Scheitelpunkte sowie die 5-Punkte-Methode! Achtung: bei Funktion f Streckungsfaktor -½ berücksichtigen!

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            HA – Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen  

LB.S.95 Nr.26

  1. f(x) = x2 + 2x - 4                    0 = x2 + 2x - 4            xN1 = -1+√5              xN2 = -1-√5

  2. f(x) = -0,5x2 - 1,25x - 2,5        0 = x2 + 2,5x + 5         keine Nullstellen

  3. f(x) = (x+1,4)·(x-1,2)                                               xN1 = -1,4                  xN2 = 1,2

  4. f(x) = -x2 + 2x + 3                 0 = x2 - 2x - 3              xN1 = -1                      xN2 = 3

  5. f(x) = -2,2x2 + x - 3,6             0 = x2 - 5/11·x + 11/18  keine Nullstellen

  6. f(x) = -7x2 + 3x + 1               0 = x2 - 3/7x - 1/7        xN1 = (3+√37) /14     xN2 = (3-37)/14

LB.S.95 Nr.27

  1. f(x) = x2 - 8x + 16                  0 = x2 - 8x + 16            xN1/2 = 4                       f(x) = (x-4)·(x-4) = (x-4)2

  2. f(x) = x2 - 36                         0 = x2 -36                     xN1 = -6        xN2 = 6        f(x) = (x+6)·(x-6) 

  3. f(x) = 2x2 + 2x - 40                0 = x2 + x - 20              xN1 = -5        xN2 = 4        f(x) = 2·(x+5)·(x-4) 

  4. f(x) = 2x2 + 3x - 9                 0 = x2 + 1,5x - 4,5         xN1 = -3       xN2 = 1,5       f(x) = 2·(x+3)·(x-1,5) 

  5. f(x) = x2 + (1-a)·x - a             0 = x2 + (1-a)·x - a        xN1 = a          xN2 = -1       f(x) = (x-a)·(x-1) 

  6. f(x) = 2x2 - (a+4)·x + 2a        0 = x2 - (a+4)/2·x + a     xN1 = a/2     xN2 = 2         f(x) = 2·(x-a/2)·(x-2) 

LB.S.95 Nr.28

  1. xN1 = -3,5    xN2 = 2,5          f(x) = (x+3,5)·(x-2,5)         f(x) = x2 - x - 8,75    

  2. xN1 = 3        xN2 = 4               f(x) = (x-3)·(x-4)              f(x) = x2 -7x + 12 

  3. xN1 = -5        xN2 = -2             f(x) = (x+5)·(x+2)            f(x) = x2 + 7x + 10   

  4. xN1 = 0       xN2 = 1,5             f(x) = x·(x-1,5)                 f(x) = x2 - 1,5x  

  5. xN1 = 0          xN2 = 0             f(x) = x·x                         f(x) = x2

  6. xN1 = -0,4     xN2 = a             f(x) = (x+0,4)·(x-a)           f(x) = x2 + (0,4-a)·x - 0,4a   

LB.S.95 Nr.29

  1. x2 - 2x - 8 < 0                  0 = x2 - 2x - 8            xN1 = -2        xN2 = 4                  L = {-2 < x < 4}

  2. -3x2 -6x + 3 >0                0 = x2 + 2x -1            xN1 = -1+√2     xN2 = -1-√2            L = {-1-√2 < x < -1+√2}

  3. 2x2  - 8 >0                       0 = x2 - 4                  xN1 = -2            xN2 = 2                  L = { x < -2 und x > 2}

  4. 2x2 + 5,4x + 3,6  > 0        0 = x2 + 2,7x + 1,8     xN1 = -1,5       xN2 = -1,2              L = { x < -1,5 und x > -1,2}

  5. 1,2x2 - 4,92x + 4,8 < 0      0 = x2 - 4,1x + 4        xN1 = 1,6          xN2 = 2,5               L = {1,6 < x < 2,5}

  6. 2x2 - 4x + a  < 0 (a>2)     zunächst für a = 2    0 = x2 - 2x + 1      xN1/2 = 1     für a > 2    L = Ø

 

  1.     x2  =  4
  2.     x2 - 3  =  0
  3.     2x2 - 1  =  0            x2  =  ½            |x|  =          x1/2 = ± 
  4.     x2  =  6
  5.     (x + 2)2  =  64            |x + 2|  =  8            Betragstriche auflösen führt zu einer Fallunterscheidung:      falls  x + 2 < 0 ist:       - (x + 2 )  = 8            andernfalls gilt:        x + 2 =  8    und dies führt zu den beiden Lösungen:                            x  =  -10                                                    x  =  6
  6.     x2 - 6x + 9  =  6,25    wandeln Sie zunächst das vollständige Quadrat in eine Binom um, dann siehe 5.
  7.     x2 - 6x  =  31            x2 - 6x - 31  =  0            x1/2 = 3 ± √40  =  3 ± √(4·10) = 3 ± 2√10
  8.     x2 + 4x  =  -1,75
  9.     x2 - x  =  -             eine Doppellösung
  10.     x2 - 3x  =  -6,25        keine Lösung
  11.     2x2 + 4x - 7  =  0      die einzige in der Lösung auftretende Wurzel lautet:   
  12.     x2 - ¼·x - =  0
  13.     x2 + 2px + q  =  0        x1/2  =  -p ± √(p2 - q)
  14.     ax2 + bx + c  =  0

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            HA – Lagebeziehung zwischen Parabeln und Geraden  

 

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            HA – Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen

LB.S.98 Nr.37b

A = a·b  und aus u = 2a + 3b = 50 ergibt sich a =½(50 - 3b) eingesetzt in die Ausgangsgl. A = ½(50-3b)·b =-1,5b2+25b  also mathematisch die Funktionsgleichung f(x) = -1,5x2+25x deren Scheitelpunkt bei S(25/3|625/6) liegt     also x= b = 8,33(m) und y= A = 104,17(m2) und durch Einsetzen von b=8,33 in umgestellte Umfangsgl.  a = ½(50-3·8,33) = 12,5(m)

LB.S.101 Nr. 41

Koordinatenursprung mittig zwischen die Nullstellen erlaubt Benutzung der Gleichung  f(x) = a·x2+c                       für f1 gilt dann:  P(-96|0)   Q(96|0)   R(0|192)        daraus ergibt sich f1(x) = -1/48·x2 + 192                                    für f2 gilt dann:  P(-81,5|0)   Q(81,5|0)   R(0|187)   daraus ergibt sich f2(x) = -0,028·x2 + 187

LB.S.101 Nr. 42

bei Koordinatenursprung in den Fußpunkt des linken Strommastes folgt:     P1(0|45)   P2(150|45)   und   P3(200|?)

den Wert y3 erhält man aus der Summe der Hanghöhe bei 200m und den 45m Masthöhe                    P3(200|75)

das Gleichungssystem liefert dann die Werte a = 0,003   b = -45  und  c =45 mit dem Scheitelpunkt S(75|28,125) erhält man Informationen über das Durchhängen der Stromleitung

noch interessanter wäre freilich der Punkt mit dem geringsten Abstand zum Boden; dieser läge bei T(100|30) mit lediglich 15m Abstand zum Boden

LB.S.102 Nr.49

 

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   HA - Potenzfunktionen

Gegeben ist die Funktion f1 mit der Gleichung   f1(x)  = x-2   =  1/x2         ( x  R ;  x 0 )

1.      Berechnen Sie die folgenden Funktionswerte und tragen Sie sie in nachstehende Tabelle ein:

x -3 -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3
y 0,11 0,25 1 2 / 2 1 0,25 0,11

2.      Tragen Sie die so erhaltenen Wertepaare in ein kartesisches Koordinatensystem ein, und zeichnen  Sie den Graph der Funktion!    siehe unten

3.      Zeigen Sie, dass das Zahlenpaar ( / )  zur Funktion gehört!

f(x)  =  1/x        =  (1/ )2          =    wahre Aussage, also gehört das Wertepaar zur Funktion f

4.      Geben Sie einen Wert für x an, so dass für den zugehörigen y-Wert gilt:  y > 4!

für x = -0,4 gilt  y = 6,25 > 4  (alle x mit  -0,5 < x < 0  und   0 < x < 0,5 möglich 

5.      Geben Sie alle positiven Werte für x an, so dass für die zugehörigen y-Werte gilt:           y <  !

f(x) = 1/x2  < 0,01        1 < 0,01·x2           100 < x2            x > 10

6.      Durch die Gleichung  f2(x) = x² + 2x – 3  ist eine quadratische Funktion gegeben. Ermitteln Sie den Scheitelpunkt und stellen Sie diese Funktion im gleichen Koordinatensystem im Intervall  -3 x 2 dar! Geben Sie weiterhin den Wertebereich von  f2 im angegebenen Intervall an und prüfen Sie rechnerisch, ob das geordnete Zahlenpaar  (3|9) zur Funktion f2 gehört!

S(-1|-4)        WB = {-4 y 5}        Zahlenpaar (3|9) gehört nicht zur Funktion, da  f2(3) = 12 9

7.      Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f2  und geben Sie die Schnittpunkte des Graphen dieser           Funktion mit den Koordinatenachsen an!        xN1 = -3   xN2 = 1        S1(-3|0)    S2(1|0)    S3(0|-3)

8.      Kennzeichnen Sie alle Schnittpunkte der Graphen von f1 und f2 unter Beachtung des Intervalls  und geben Sie näherungsweise ihre Koordinaten an!    S(1,2|0,8) liegt im Intervall

9.      Für welche n hat die folgende quadratische Gleichung keine Lösung?

x² - 4x  =  2n   ( x, n  R )

(Hinweis:  Gleichung mit -2n in Normalform bringen; nach Lösungsformel lösen (q enthält die Variable n) und dann die Diskriminante darauf prüfen, für welche n sie kleiner als Null werden kann!)

x2 - 4x - 2n  =  0        xN1/2 = 2 ± 4+2n        wenn Diskriminante < 0, dann keine Lösung der quadratischen Gleichung

also:   4 + 2n < 0        -2n  <  4            n > -2

10.  Skizzieren Sie mit Hilfe ihrer selbstgefertigten Schablone für den Graphen der Funktion  y = f(x) = x4 den Graphen der Funktion g mit der Gleichung:   g(x) =  ( x – 3)4 + 2  ins Koordinatensystem!

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        HA - Nullstellen ganzrationaler Funktionen

1. 16x3 + 2  =  0                   2. ·x3 + 3x2  =  0            3. 8x3 + 2x2 - 3x  =  0            4. ½·x3 + 4x  =  0

    L = {-½}                                L = {0; -9}                            L = {-¾ ;0 ;½}                    L = {0}

5. 4x3 + 24x2 + 27x = 0      6. 4x3 - ½·x2 = 0               7. ½·x3 - ½  =  0                    8. x4 - 3x3 - 4x2  =  0

    L = {-4,5; -1,5;0}                L = {0; ⅛}                            L = {1}                                    L = { -1; 0 ; 4}

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    LB.S.131/13a; 14b,c

    22a)    f(x) = x3 + x2 - 9x - 9        0 = x3 + x2 - 9x - 9        0 = (x+1)·(x2-9)        xN1 = -3  xN2 = -1  xN3 = 3

    23b)   f(x)  =  3x3 + 6x2 - 3x - 2        0  = 3x3 + 6x2 - 3x - 2    keine ganzzahligen Nullstellen

    23c)   f(x)  =  x3 + x2 - 17x + 15        0 = x3 + x2 - 17x + 15        0 = (x-1) · (x2 + 2x - 15)

                                                                                                                     xN1 = -5  xN2 = 1  xN3 = 3   

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    LB.S.131/25

    a) f(x) = x4 - 6,61x2 + 2,25         z2 - 6,61z + 2,25 = 0        z1 = 6,25    z2 = 0,36    L = {[-2,5; -0,6; 0,6; 2,5]}

    b) f(x) = 36x4 - 97x² + 36            z2 - 97/36z + 1 = 0          z1 = 2,25    z2 = 4/9     L = {[-1,5; -2/3; 2/3; 1,5]}

   c) f(x) = x4 + 10,25x² + 24,5       z2 + 10,25z + 24,5 = 0    z1 = -3,8    z2 = -6,45    L = Ø

   d) f(x) = x4 - 3x² + 2                      z2 - 3z + 2 = 0                  z1 = 2    z2 = 1                L = {[-2; -1; 1; 2]}

  e) f(x) = 0,4x4 - 6,4                         0,4z2 - 6,4 = 0                   z = 4                                L = {[-2; 2]}

  f) f(x) = 4x4 - 18,25x² + 9              z2 - 4,5625z + 2,25 = 0  z1 = 4    z2 = 9/16     L = {[-2; -3/4; 3/4; 2]}

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    LB.S.131/13

  1. f(x) = x3 + x2 - 9x - 9                                  0 = (x + 3)(x - 3)(x + 1)                xN1 = -3    xN2 = 3    xN3 = -1
  2. f(x) = x4 - 2,5x3 + 0,5x2 + x                      0 = x·(x - 1)(x - 2)(x + 0,5)  xN1 = 0   xN2 = 1  xN3 = 2   xN4 = -0,5
  3. f(x) = 0,5x4 + 0,5x3 + x2 + 2x - 4             0 = (x - 1)(x + 2)(0,5x2 + 2)   Restterm liefert keine weiteren NS
  4. f(x) = (x3 - 1)·(x3+ 1,7x2 + 0,1x - 0,6)   0 = (x3 - 1)(x + 1)(x + 1,2)(x - 0,5)
  5. f(x) = x4 + x3 - x2 + x - 2                           0 = (x - 1)(x + 2)(x2 + 1)         Restterm liefert keine weiteren NS
  6. f(x) = x5 + 3x4 + 8/3·x3 - x- 1/3              0 = (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x - √(1/3))(x + √(1/3))

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    LB.S.132/22

  1. 0 = x4 - 3,25x2 + 2,25     0 = z2 - 3,25z + 2,25     z1= 1  z2 = 2,25       xN1 = -1,5 xN2 = -1 xN3 = 1 xN4 = 1,5
  2. f(-x) = (-x)4 - 3,25·(-x)2 + 2,25 = x4 - 3,25x2 + 2,25 = f(x)   Graph ist axialsymmetrisch zur y-Achse
  3. P liegt auf Graph, weil 5,25 = (-2)4-3,25·(-2)2+2,25 w.A.  Q liegt nicht auf Graph, weil f(0,5)=1,5 nicht 0,75
  4. siehe Zeichnung
  5. der Graph von f müsste um 2,25 Einheiten parallel zur y-Achse nach unten geschoben werden; dann wäre die Doppelnullstelle 0 die dritte Nullstelle:    g(x) = x4 - 3,25·x2
  6. x4-3,25x2+2,25=x2-1  x4-4,25x2+3,25=0   z2-4,25z+3,25=0   z1=1  z2 = 3,25   S1(-1,8|2,25) S2(-1|0) S3(1|0) S4(1,8|2,25)
  7. siehe Zeichnung
  8. Zweipunktgleichung:  y + 1 =(0+1)/(1-0) · (x - 0)     y = x - 1

f(x) =x4 - 3,25x2 + 2,25

f(x) = x2-1

f(x) = x2+1

f(x) = x4 - 3,25x2 

f(x) = y = x - 1

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        HA - Symmetrieeigenschaften ganzrationaler Funktionen

LB.S120/14

f(x) =  4x3 - 1,2x                       f(-x) = -4x3 + 1,2x = -f(x)    zentralsymmetrisch zum KU

f(x) = 3x6 + 7x2 - 12                f(-x) = 3x6 + 7x2 - 12  = f(x)    axialsymmetrisch zur y-Achse

f(x) = x5 - 4,5x3 - 3,75x - 1,5   f(-x) = -x5 + 4,5x3 + 3,75x - 1,5  weder ... noch zentralsymmetrisch zum KU

f(x) = 15                                    f(-x) = 15 = f(x)    axialsymmetrisch zur y-Achse

f(x) = 2/3·x11 - 4x7 + 3x6       Ergebnis:   weder axialsymmetrisch zur y-Achse noch zentralsymmetrisch zum KU

f(x) = 3(x - 1)3 =3x3 - 9x2 + 9x - 3      f(-x) = -3x3 - 9x2 - 9x - 3     weder ... noch zentralsymmetrisch zum KU

f(x) = x2·(2 - x)2 = x4 - 4x3 + 4x2     f(-x) = x4 + 4x3 + 4x2     weder axials... noch zentralsymmetrisch zum KU

f(x) = x3·(x-5)·(x+5) = x5 - 25x3    f(-x) = -x5 + 25x3 = -f(x)   zentralsymmetrisch zum KU

 

LB.S.123 Nr.32

f(x) = 2/25·x5 - x3 + 25/8·x

g(x)= -x3 + 2x

a) Nullstellen:  0  =  2/25·x·(x4 - 12,5x2 + 625/16)

 xN1 = 0     z2 - 12,5z + 625/16  =  0     z1/2 = 6,25     xN2 = -2,5  xN3 = 2,5

b) f(-x) = -2/25·x5 + x3 - 25/8·x = -f(x)  axialsymmetrisch zur y-Achse
d)    f(x) = g(x)                  2/25·x5 - x3 + 25/8·x = -x3 + 2x

  2/25·x5 + 9/8·x = 0         2/25·x·(x4 + 225/16) = 0        xS = 0      S(0|0)

e)  -1,5·g(x) = 1,5x3 - 3x
f)   g(x) + a = -x3 + 2x + a = 0       NR.:  (-x3 + 2x + a):(x-1) = -x2 - x +1

   nur wenn a = -1 ist, geht die Polynomdivision auf

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        HA - Potenzen und Logarithmen

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        HA - Eigenschaften der Exponentialfunktionen

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        HA - exponentielles Wachstum und exponentieller Abfall

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        HA - Logarithmusfunktionen

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    Hausaufgaben - Mathematik   Klasse 12-I GK      

        HA - Zahlenfolgen

AB Nr.1     expl.BV                                                                                          rekursive Bildungsvorschrift

  1.     (an) = (2n-2) = ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; .... )                         a1 = 0  und  an+1 = an + 2
  2.     (an) = ((n-1)2) = ( 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; .... )                      a1 = 0  und  an+1 = an + (2n-1)
  3.     (an) = (3n) = ( 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ; 729 ; 2187 ; 6561 ; 19683 ; ....)          a1 = 3  und  an+1 = an · 3
  4.     (an) = (19-4n) = ( 15 ; 11 ; 7 ; 3 ; -1 ; -5 ; -9 ; -13 ; -17 ; ....)                   a1 = 0  und  an+1 = an - 4
  5.     (an) = (40/2n) = ( 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; 1,25 ; 0,625 ; 0,3125 ; 0,15625 ; 0,078125 ; ....)   a1 = 20  und  an+1 = an : 2
  6.     (an) = (n2-1) = ( 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; 48 ; 63 ; 80 ; ....)                        a1 = 0  und  an+1 = an + (2n+1)
  7.     (an) = ( ? ) = ( 2 ; 3 ; 6 ; 18 ; 108 ; 1944 ; 209952 ; 408146688 ; ....)   a1 = 2 ; a2 = 3 und  an+2 = an+1 + an
  8.     (an) = ((-1)n+1·(4n2-4n+2)) = ( 2 ; -10 ; 26 ; -50 ; 82 ; -122 ; 170 ; -226 ; 290 ; ....)    a1 = 2  

                                                                                                                          und  an+1 = (|an| + 8n)·(-1)n

  1.     (an) = ( ) =                                           a1 = 1/6  und  an+1 = ?
  2.  
  3.     (an) = ( ) = ( 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; .... )    a1=1 ; a2=1 und an+2 = an+1 + an
  4.     (an) = ( ) =                                                                        a1 = 0  und  an+1 = ?
  5.     (an) = (√(2n)) = ( √2 ; 2 ; 2√2 ; 4 ; 4√2 ; 8 ; 82 ; 16 ; 162 ; ....)                a1 = 2  und  an+1 = an ·2

                                                                                                    arithmetische Folgen    geometrische Folgen

LB.S.9 Übung 3                                                                                             explizite BV                rekursive BV

a)  1; 16; 81; 256; 625; 1296; 2401                                                   (an) = (n4)                 schwierig   

b)  1; 1/10; 1/100; 1/1000; 1/10000; 1/100000; 1/1000000                   (an) = (10/10n)      an+1 = an /10

c)  3; 5; 9; 17; 33; 65; 129                                                                (an) = (2n+1)           an+1 = an + 2n

d)  1; 9; 17; 25; 33;41;49                                                                  (an) = (8n - 7)         an+1 = an + 8

e)  3; 33; 333; 3333; 33333; 333333; 3333333                                     (an) = schwierig      an+1 = an + 3·10n

f)  5; 10; 20; 40; 80; 160; 320                                                            (an) = (2,5·2n)        an+1 = 2 · an 

LB.S.9 Übung 4

  1. (an) = (1/n2)    x = 1/100        1/100 = 1/n2    n2 = 100    n1 = 10    (n2 = -10 entfällt da n  N)        1/100 ist das zehnte Glied dieser Folge

  2. (an) = (1+1/n)    x = 1,0001    1,0001 = 1+1/n    0,0001 = 1/n    n = 10000  →  1,0001 ist das zehntausendste Glied dieser Folge 

  3. (an) = (1+1/2n)    x = 5125/5120    5125/5120 = 1+1/2n    5/5120 = 1/2n    2n = 1024    n = 10    5125/5120 ist das zehnte Glied dieser Folge 

  4. (an) = (n/(n3-504))    x = 1      1 = n/(n3-504)        n3-n-504 = 0    n = 8    1 ist das achte Glied dieser Folge 

  5. (an) = ((n2-1)/(2n))   x = 3/4   3/4 = (n2-1)/(2n)          4n2-4 = 6n    n2 -1,5n -1 = 0    n1 = 2    (n2 = -0,5 entfällt da n  N)        3/4 ist das zweite Glied dieser Folge

  6. (an) = (5-3/n)    x = 15/4    15/4 = 5-3/n    5/4 = 3/n    n = 12/5   N    →  15/4 ist kein Glied dieser Folge

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        HA - Grenzwerte von Zahlenfolgen

LB.S.13 Nr.1b,d,e

Vermutung: -2 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (an) Vermutung: 3 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (an) Vermutung: 3 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (an)
ε >0; beliebig, aber fest ε >0; beliebig, aber fest ε >0; beliebig, aber fest
0 < ε
2 < ε · (n+1)
nur endlich viele natürliche Zahlen n werden kleiner sein als diese feste reelle Zahl
aber unendlich viele natürliche Zahlen sind mit Sicherheit größer als diese feste Zahl, egal wie groß sie ist
damit gilt die letzte Ungleichung (und damit auch die erste Ungleichung) für fast alle natürliche Zahlen n
damit ist der Nachweis erbracht: 
Aussage ist für alle natürlichen Zahlen wahr
damit ist der Nachweis erbracht: 
es gilt:   es gilt:   es gilt:  

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        HA - Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

LB.S.15 Nr.10

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        HA - Grenzwerte von Funktionen

LB.S.17 Übung 3

LB.S.19 Übung 5

LB.S.19 Übung 7

Arbeitsblatt

Nr.1  Grenzwert von Folgen

  1.         

Nr.2  Grenzwert von Funktionen

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        HA - Das Tangentenproblem

 

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        HA - Die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle xo

 

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        HA - elementare Ableitungsregeln

f(x) = 4·x - 8                                                
f(x) = -x - 5                                                
f(x) = -0,5·x3 + 2·x                                       
f(x) = 5/8·x5 - 4/3·x3 - 1/4·x + 6                          
f(x) = (2x - 5)·(1 - 3x) = -6x2 + 17x - 5            
f(x) = (2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9                       
f(x) = 2/3·x3 - 6x + 1/x3  = 2/3·x3 - 6x + x-3        
f(x) = 1/2·x4 + 4√x =   1/2·x4 + 4·x0,5                
f '(x) = 4  
f '(x) = -1
f '(x) = -1,5x2 + 2
f '(x) = 25/8·x4 - 4x2 - 1/4
f '(x) = -12x + 17
f '(x) = 8x - 12
f '(x) = 2x2 - 6 -3·x-4 =  2x2 - 6 - 3/x4
f '(x) = 2x3 + 4·0,5·x-0,5  = 2x3 + 2/√x

LB.S.37/Übung 4

  1. f(x) = 5x7
  2. f(x) = 4x3 - 3x2
  3. f(x) = 0,5x5 - 2x3
  4. f(x) = x5 + ½x4 + x3 + 2
  5. f(x) = ax2 + bx + c
  6. f(x) = 3x20 - 2x2
  7. f(x) = 1/5·(x2 + x + 5) = 1/5x2 + 1/5x + 1
  8. f(x) = 2x2 · (3x + 4) = 6x3 + 8x2
  9. f(x) = a · (bx2 + cx + d)
  1. f '(x) = 35x6
  2. f '(x) = 12x2 - 6x
  3. f '(x) = 2,5x4 - 6x2
  4. f '(x) = 5x4 + 2x3 + x2
  5. f '(x) = 2ax + b
  6. f '(x) = 60x19 - 4x
  7. f '(x) = 2/5x + 1/5
  8. f '(x) = 18x2 + 16x
  9. f '(x) = a·(2bx + c) = 2abx + ac

LB.S.45/24

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        HA - Rechenverfahren Tangente (Normale)

LB.S.40 Nr.8

                           f'(x) = -2x + 8         g'(x) = 1

f(x) = g(x)     -x2 + 8x - 11 = x - 1     0 = x2 - 7x + 10     xS1 = 2   xS2 = 5  

                       S1(2|1) 

 f'(2)= 4  α = 76,0°    g'(x) = 1  β = 45,0° 

φ = α - β = 76,0° - 45,0° = 31,0°

                   S2(5|4) 

f'(5)= -2  α = 116,6°   g'(5) = 1  β = 45,0°

φ = α - β = 116,6° - 45,0° = 71,6°

LB.S.40 Nr.9

  1. f(x) = x2      xo = -2     f(-2) = (-2)2 = 4/3    

                                         f '(x) =    f '(-2) = (-2) = -4/3 = mt   

                                         y - 4/3 = -4/3·(x + 2)          y = -4/3·x - 4/3

  1. m2 = -1/m1 = 3/4           y - 4/3 = 3/4·(x + 2)           y = 3/4·x + 17/6

LB.S.40 Nr.10

                         f'(x) = 3x2          g'(x) = 2x + 1

f(x) = g(x)     x3 +1 = x2 + x     0 = x3 - x2 - x + 1     xS1 = -1   xS2 = 1  

            S1(-1|0) 

 f '(-1)= 3      g '(-1) = -1  

f '(-1)    g'(-1)  Graphen schneiden sich

                 S2(1|2) 

f '(1)= 3  =   g '(1) = 3     Berührung

y - 2 = 3·(x - 1)     y = 3x - 1

Aufgabe:  gegeben sei eine Funktion f mit der Gleichung    f(x) = 0,25·x3 -2        f '(x) = 0,75·x2

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen!   Sx(2|0)  Sy(0|-2)
  2. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t1, die den Graphen in seinem Schnittpunkt mit der Abszissenachse berührt!    f '(2) = 0,75·22 = 3 = mt             y - 0 = 3·(x - 2)        Tangente t1y = 3x - 6
  3. Gibt es eine weitere Tangente t2 an den Graphen von f, die parallel zur Tangente t1 verläuft? Wenn ja, geben Sie Berührungspunktkoordinaten und Gleichung der Tangente t2 an!    f '(x) = 3 = 0,75·x2      4 = x2      x1=2   x2=-2 f(-2) = 0,25·(-2)3-2 = -4   Berührungspunktkoordinaten Po2(-2|-4)   Tangente t2:  y + 4 = 3·(x + 2)    y = 3x + 2 
  4. Zeichnen Sie die Parabel (Wertetabelle) und die Tangenten in ein Koordinatensystem ein!

Aufgabe: gegeben sei eine Funktion f mit der Gleichung  f(x) =  x2 - 3    f '(x) = 2x

  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte mit der Abszissenachse und zeichnen Sie die Parabel in ein KS! Schnittpunktkoordinaten  S1(-√3|0)    S2(√3|0)

  2. Stellen Sie für beide Schnittpunkte S1 und S2 die Gleichung der jeweiligen Tangente an den Graph von f in S!   Tangente t1:  y - 0 = -2√3 ·(x + √3)     y = -2√3·x - 6     Tangente t2:  y - 0 = 2√3 ·(x - √3)     y = 2√3·x - 6   

  3. Zeichnen Sie beide Tangenten ins Koordinatensyst. und berechnen Sie den Schnittwinkel beider Geraden! φ=28°

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        HA - Anwendungen zur Steigung

LB.S.42 Nr.17

 f(x) = a·x2 + c  mit      P2(80|50)     P1(0|18)

I  f(80) = 50      50 = a·802 + c     a = 1/200                II  f(0) = 18       18 = a·02 + c      c = 18

f(x) = 1/200·x2 + 18          f '(x) = 1/100·x 

mS = (y2-y1)/(x2-x1) = 32/80 = 2/5 = 0,4                       y -50 = 0,4·(x - 80)       y = 0,4·x + 18

f'(80) = 80/100 = 4/5 = mt = tanα          α = 38,66°

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        HA - Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

LB.S.64 Nr.13

  1. f(x) = x·(1+x²) = x³ + x                      f ’(x) = 1·(1+x²) + x·2x  =  1 + x² + 2x²  = 3x² + 1

  2. f(x) = ¼ · x4                                           f ’(x) = 0·x4 + ¼·4x³  = 

  3. f(x) = √x · √x  =  x                                 f ’(x) = · √x + √x · =  ½ + ½  =  1

  4. f(x) = (x²-1)·(2x²+5)=2x4+3x²-5     f ’(x) = 2x·(2x²+5) + (x²-1)·4x  =  4x³ + 10x + 4x³ - 4x  = 8x³ + 6x 

  5. f(x) = (ax+b)·(ax²+b)                 f ’(x)=a·(ax²+b)+(ax+b)·2ax=a²x²+ab+2a²x²+2abx= 3a²x²+2abx+ab              =a²x³+abx²+abx-b²

  6. f(x) == (x²+1) = x +    f ’(x) = 2x· + (x²+1)·( ) = 2 - =

LB.S.64 Nr.14

  1. f(x) = √x ·(x+x²)           f ’(x) = ·(x+x²)+ √x ·(1+2x) = =
  2. f(x) = ·                     f ’(x) = ·   + ·( ) =   -  =         
  3. f(x) = g(x)·x                   f ’(x) = g’(x)·x + g(x)·1 

  4. f(x) = √(2x+1)·√x         f ’(x) = ·√x+√(2x+1)·=                   

  5. f(x) = ·√(x-1)       f ’(x) = ·√(x-1)+ · =

  6. f(x) = ·                 f ’(x) = · + ·( )=  -  =  

 

LB.S.64 Nr.15

  1. f(x) = (1 + 5x)3                      f ’(x) = 3·(1 + 5x)2 · 5 = 15(1 + 5x)2 = 15 + 150x + 275x

  2. f(x) = ()3                             f ’(x) = 3·(x²)2 · 2x = 6x(x²)2 = 6x5

  3. f(x) = (1 – 3x)2                      f ’(x) = 2·(1 – 3x) · (-3) = -6(1 – 3x) = -6 + 18x        

  4. f(x) =                               f ’(x) =
  5. f(x) =(1 - x)-3                        f ’(x) = -3·(1 – x)-4 · (-1) = 3(1 – x)-4 =
  6. f(x) = (√x – 2)2                     f ’(x) = 2·(√x - 2) · ( ) =  
  7. f(x) =                       f ’(x) =
  8. f(x) =           f ’(x) =
  9. f(x) = 2x – (3-½x)-1            f ’(x) = 2 +

LB.S.64 Nr.16

  1. f(x) = (3x-1)·(x²-3)                        f ’(x) =3·(x²-3) + (3x-1)·2x =3x²-9+6x²-2x = 9x²-2x-9

  2. f(x) = (4x-1) – (1-x)-1                        f ’(x) = 4 – (-1)·(1-x)-2·(-1) = 4 -

  3. f(x) = (4x-1)·(1-x)-1                       f ’(x) = 4·(1-x)-1 + (4x-1)·(-1)·(1-x)-2·(-1)=  
  4. f(x) =                                       f ’(x) =
  5. f(x) = = (x²-1)-1    f ’(x) = -1·(x²-1)-2·2x=  
  6. f(x) =                                        f ’(x) =

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        HA - Zusammenhang zwischen erster Ableitung und Monotonieverhalten von f

LB.S.75 Nr.3

  1. f(x) = ·x3 - x     
  2. f(x) = ·x3 + x2 + x     
  3. f(x) = ¼·x4 - ·x3 - x2

Berechnen Sie zunächst die erste Ableitung f' der Funktion f! Bestimmen Sie dann die Nullstellen der ersten Ableitung, weil nur an diesen Stellen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändern kann! Ermitteln Sie nun entweder über eine Zeichnung von f' oder über Probeberechnungen des Funktionswertes von f' in den Intervallen, die sich aus den berechneten Nullstellen der ersten Ableitung ergeben, das Vorzeichen der ersten Ableitung und leiten Sie daraus die Monotoniebereiche der eigentlichen Funktion f ab! Orientieren Sie sich am unter Übung vorgerechneten Beispiel! Viel Erfolg!

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        HA - Zusammenhang zwischen zweiter Ableitung und Krümmungsverhalten von f

f(x) = 1/2·x3 - 3/2·x

1. f '(x) = 3/2x2 - 3/2     

f ''(x) = 3·x 

2.      0 = 3·x 

bei  x = 0  könnte sich das Krümmungsver- halten von Gf ändern

3.

- ∞ < x < 0

0  < x < ∞

4.

f ''(-1) = -3 < 0           Gf ist im Intervall rechtsgekrümmt

f ''(1) = 3 > 0           Gf ist im Intervall linksgekrümmt

5. der Graph ändert bei x=0 seine Krümmung, er hat also bei x = 0 einen Wendepunkt            f(0) = 0  also ist  W(0|0)

 

f(x) = 1/4·x4 - 1/3·x3

1. f '(x) = x3 - x2     

f ''(x) = 3x2 - 2x

2.      0 = 3x2 - 2x

     0 = x·(3x - 2)

bei  x = 0  und bei x = 2/3  könnte sich das Krümmungsverhalten von Gf ändern

3.

- ∞ < x < 0

0 < x < 2/3 

2/3  < x < ∞

4.

f ''(-1) = 5 > 0   Gf ist im Intervall linksgekrümmt

f ''(0,5)=-0,25>0 Gf ist im Intervall rechtsgekrümmt

f ''(1) = 1 > 0    Gf ist im Intervall linksgekrümmt

5. der Graph ändert bei x=0 und bei x=2/3 seine Krüm- mung, er hat also bei x=0 und x=2/3 je einen Wendepunkt                                                      f(0)=0 also ist W1(0|0);  f(2/3)=-4/81  W2(2/3|-0,05)

 

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        HA - Rechenverfahren Extrempunkte

LB.S.88 Nr.16b,c

f(x) = x3 - 3·x2 + 3·x

1. f '(x) = 3x2 - 6x + 3    

f ''(x) = 6x - 6 

2. 0 =  3x2 - 6x + 3

0 = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2

xE1 = 1  ist mögliche Extremstelle von f

3. f ''(1) = 0 also kann man nicht sagen, ob bei x= 1 ein EP ist
4. f(1) = 1  damit S(1|1) Sattelpunkt
die Untersuchung auf Monotonie mittels Teststellenverfahren zeigt, dass bei x = 1 kein Vorzeichenwechsel der 1.Ableitung und damit kein Monotoniewechsel des Funktionsgraphen vorliegt; somit ist P(1|1) kein Extrempunkt

 

f(x) = x4 - 2·x

1. f '(x) = 4x3 - 6x2   

f ''(x) = 12x2 - 12x

2. 0 =  4x3 - 6x2  

0 = 2x2·(2x - 3)

xE1/2 = 0  und   xE3 = 1,5  sind mögliche Extremstelle von f

3. f ''(0) = 0 also kann man nicht sagen, ob bei x= 0 ein E P ist

f ''(1,5) = 9 > 0 also bei xE=1,5  TP

4. f(0) = 0  damit S(0|0) Sattelpunkt

f(1,5)= -27/16  damit T(3/2|-27/16)

die Untersuchung auf Monotonie mittels Teststellenverfahren zeigt, dass bei x = 0 kein Vorzeichenwechsel der 1.Ableitung und damit kein Monotoniewechsel des Funktionsgraphen vorliegt; somit ist P(0|0) kein Extrempunkt

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        HA - Rechenverfahren Wendepunkte

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        HA - Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

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        HA - Kurvenscharen ganzrationaler Funktionen

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        HA - Rekursionsaufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Arbeitsblatt:  Funktionsuntersuchung bei realen Prozessen (Hochsprung Fosbury-Flop)

    f(x) = -1,5·x2 + 2,73·x + 1,05

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        HA - Extremwertaufgaben mit ganzrationalen Funktionen

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                Hausaufgaben - Mathematik   Klasse 12-II GK 

        HA - Einführung in die Integralrechnung

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        HA - Die Streifenmethode

Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x2 und der x-Achse im Intervall I[0|1]:

    für n = 4 gilt:   

                          

also gilt:    0,219 < A01 < 0,469

    für n = 8 gilt:   

                          

also gilt:    0,273 < A01 < 0,398

n

Untersumme sn

 

Fläche

Obersumme Sn

 

      1

              0

0

  A01

             1

1

      2

            1/8

0,125

  A01

           5/8

0,625

      3

            5/27

0,185185

  A01

         14/27

0,518518

      4

            7/32

0,21675

  A01

         15/32

0,46875

      5

            6/25

0,24

  A01

         11/25

0,44

     10

         57/200

0,285

  A01

         77/200

0,385

    100

     6567/20000

0,32835

  A01

     6767/20000

0,33835

   1000

 665667/2000000

0,3328335

  A01

 667667/2000000

0,3338335

  10000

66656667/200000000

0,333283

  A01

66676667/200000000

0,3333833

     ...

           ...

 

  A01

...

 

     ∞

           1/3

 

  A01

1/3

 

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        HA - Verallgemeinerung der Streifenmethode - Riemannsches Integral

-2 1(1/3·x2)dx = 1/3· -2 1(x2)dx = 1/3·[13/3 - (-2)3/3] = 1/3·[1/3 + 8/3] = 1/3·3 = 1

-1 4(-4·x2)dx = -4· -1 4(x2)dx = -4·[43/3 - (-1)3/3] = -4·[64/3 + 1/3] = -260/3

1 4(x3+x2+1)dx = 1 4(x3)dx + 1 4(x2)dx + 1 4(x0)dx = [44/4 - 14/4] + [43/3 - 13/3] + [4 - 1] = [255/4] + [21] + 3 = 351/4

-1 1(x3+1)dx = -1 1(x3)dx + -1 1(x0)dx = [14/4 - (-1)4/4] + [1 - (-1)]= [0] + [2] = 2

-1 0(x+1)dx + 0 3(x+1)dx = -1 0(x)dx + -1 0(1)dx + 0 3(x)dx + 0 3(1)dx

                                   = [02/2 - (-1)2/2] + [0 - (-1)] + [32/2 - (0)2/2] + [3 - (0)]= [-1/2] + [1] + [ 9/2] + [3] = 8

oder  -1 0(x+1)dx + 0 3(x+1)dx = -1 3(x+1)dx = -1 3(x)dx + -1 3(1)dx = [32/2 - (-1)2/2] + [3 - (-1)] = 4 + 4 = 8

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        HA - Regeln zum Auffinden von Stammfunktionen

LB.S.28  Nr.3

  1. x6dx = 1/7·x7 + c
  2. 6x2dx = 6·1/3·x3 + c = 2x3 + c
  3. n·x2n-1dx = 1/2n·x2n + c = ½·x2n + c
  4. (4x2+2x)dx = 1/3·x3 + 2·1/2·x2+ c = 4/3·x3 + x2 + c 
  5. (2x3-4x+1)dx = 1/4·x4 - 4·1/2·x2+ +x + c = ½·x4 - 2x2 + x + c 
  6. (ax2+6x)dx = 1/3·x3 + 6·1/2·x2+ c = a/3·x3 + 3x2 + c 
  7. (3·x-2)dx = (-1)·x-1 + c = -3/x + c 
  8. (2x+1/x)·xdx = (2x2+1)dx = 2·1/3·x3 + x + c = 2/3·x3 + x + c 
  9. (x+3/x2)dx = (x+3·x-2)dx =1/2·x2 + 3·(-1)x-1+ c = ½x2 - 3/x + c 
  10. 6xdx = 6·x½dx =6·2/3·x3/2 + c = 4x3  + c 
  11. 3xdx = xdx = 3/4·x4/3 + c = 3/4·3x4  + c 
  12. 3ax2dx = 3a·1/3·x3 + c = ax3  + c 

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        HA - Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

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        HA - Fläche zwischen Funktionsgraph und Abszissenachse

LB.S.39 Übung 1

  A = A1 + A2 = |0 1xdx| + 1 4(x)dx  = |[2/3·(x3)-x]01|+[2/3·(x3)-x]14

  A = |2/3 - 1 - (0)| + 16/3 - 4 - (2/3 - 1)  = |-1/3| + 4/3 - (- 1/3)

  A = 2 (FE)

altes LB.S.115 Übung 1

e) S(1,5|-¼)  Parabel nach oben geöffnet,  xN1 = 1   xN2 = 2; 

Fläche vollständig über der x-Achse;   

A = = 9 - =

A = 5/6 (FE)

f) S(-¾|25/16)  Parabel nach unten geöffnet,  xN1=-2  xN2 =½;

Fläche vollständig über der x-Achse;  

A = = =  

A = 11/12 (FE)

g) S(0|-4)  Parabel nach oben geöffnet,  xN1 = -2   xN2 = 2; 

Fläche vollständig unter der x-Achse;   

A = = =

A = 16/3 (FE)

h) Parabel dritten Grades von Quadrant III nach I,xN1=-1 xN2/3=0; 

Fläche vollständig über der x-Achse; 

A = = =

A = 2/3 (FE)

i) S(0|-1)  Parabel dritten Grades von Quadrant III nach I,xN1=1 ; 

Fläche teilweise über bzw. unter der x-Achse;     

A = = =

A = (FE)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Fläche, welche vom Graphen der Funktion f mit der Gleichung :  f(x) =   , der x-Achse sowie den senkrechten Geraden x1 = 0 und x2 = 4 eingeschlossen wird!

A = A1  +  A2  = =       A = =

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Fläche, welche vom Graphen der Funktion f mit der Gleichung :  f(x) = x² - 2x - 3  , der x-Achse sowie den senkrechten Geraden x1 = -2 und x2 = 1 eingeschlossen wird!

A = A1  +  A2 =

A = =

A =

geg.:   f(x) = -1/6·x3 + ½·x2+3/2·x

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und berechnen Sie die Flächeninhalte, die der Graph von f mit der Abszissenachse in folgenden Intervallen einschließt: a)  I[1|3]     b)  I[-1,5|-0,5]     c)  I[-1|2]

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        HA - Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

LB.S.132 Nr.39

a)    A = +   = 4/3 + |-63/16| = 253/48 ≈ 5,27 (FE)

b)    A = +   = 3/4 + |-32| = 131/4 = 32,75 (FE)

c)    A = +   = 80/9 + |-33/8| = 937/72 ≈ 13,01 (FE)

d)    A = +   = 2 · = 2 · 64/15 = 128/15 ≈ 8,53 (FE)

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        HA - Rotationsvolumina

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        HA - Wiederholung - Exponentialfunktionen

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        HA - Die Funktionen f(x) = ex  und  f(x) = lnx

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        HA - Anwendungsaufgaben - unbegrenztes Wachstum

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        HA - Anwendungsaufgaben - begrenztes Wachstum

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        HA - Ableitung und Stammfunktion von Exponentialfunktionen

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        HA - Kurvendiskussion und Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen

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        HA - Kurvenscharen bei Exponentialfunktionen

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                             Hausaufgaben - Mathematik   Klasse 13-I GK  

        HA - Wiederholung - Lösen von Gleichungssystemen

a)   I     3x -  y + 2z  = 7            I    3x -  y + 2z  = 7           D=0

      II    x + 2y + 3z  = 14         II        -7y - 7z  = -35        D1=0    D2=0    D3=0

       III   x - 5y - 4z  = -21         III                  0  = 0           L={[-z+4|-z+5|z]}   z R

b)   I     4x1 - x2 + x3  = 7          I    4x1 - x2 + x3  = 7           D=21

      II    3x1 + x2 - x3  = 0         II        -7x2 + 7x3  = 21       D1=21    D2=-77    D3=-14

       III  5x1+ 2x2+ x3  = -3       III              -84x3 =  56        L={[1|-11/3|-2/3]} 

c)   I       a +  b +  c  = 1            I    a +  b +  c  = 1           D=0

      II    a + 2b + 2c = 3         II              b + c  = 2           D1=0    D2=1   D3=-1

       III  2a + b +  c  = 1          III            -b - c = -1          L=Ø 

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        HA - Einführung in die Vektorrechnung

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        HA - Rechenoperationen zwischen Vektoren

AB "Einführung in die Vektorrechnung" Nr.4a

a + b = AM = HG = EF = MC = c
a + c = AF = HC
b + c = AG = EC
a - b = HE = DM = MB = GF
c - a = EM = AH = HD = MG = BF = FC
b - c = MH = FM = GD = CG = EA = BE
b - a = EH = MD = BM = FG 
b - a + c = EG = AD = BC = 
a + b - c = AA = BB = ... = o  der Nullvektor!!!

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        HA - Vektorraum, Basis, Komponenten, Koordinaten

AB "Einführung in die Vektorrechnung" Nr.4b

AF =   2·a + 1·b                                                AF =  1·a + 1·c
BD = -2·a  - 2·b                                                BD = -4·a +2·c
GE =  0·a  - 2·b                                                GE =  2·a - 2·c
HB =  2·a  - 1·b                                                HB =  3·a - 1·c
AC =  2·a  + 2·b                                               AC =  0·a + 2·c
GF =  1·a   - 1·b                                               GF  =  2·a - 1·c
FM = -1·a  + 0·b                                               FM = -1·a + 0·c
EC =  1·a  + 2·b                                               EC = -1·a 2·c

Ergebnis:  Bei unterschiedlichen Basisvektoren hat ein und derselbe Vektor unterschiedliche Koordinaten (was sehr ungünstig ist für die eindeutige Beschreibung eines Vektors durch seine Koordinaten)

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        HA - Rechnen mit Vektoren in Koordinatenschreibweise

    LB. S. 35 Nr. 5c,d               

c)                                                d)       

          I     3r + s + 2t  =  19                                                   I     r + 2s + 5t =  0              L = Ø                                

        II     -r +  s  -  t   = -11                                                 II            s  + 2t =  0        Darstellung nicht möglich, weil

        III   -r  +  s  + 3t =  13        L = [{3|-2|6]}              III   2r +  s + 4t = 10      Vektoren a,b,c linear abhängig

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        HA - Lineare Unabhängigkeit von Vektoren; kollineare und komplanare Vektoren

LB.S.29 Nr.1c,d

  1. und sind nicht kollinear, weil sie keinen einheitlichen Vervielfachungsfaktor besitzen; es scheitert aber nur am Vorzeichen
  2. und sind zueinander kollinear, wenn a = 10 gewählt wird, weil ; dann Vervielfachungsfaktor entweder 2/3 oder 3/2

LB.S.31 Nr.11d,e,f

  1. D = 0    Vektoren sind linear abhängig (komplanar)
  2. D = -3   Vektoren sind linear unabhängig (nicht komplanar)
  3. D = -4   Vektoren sind linear unabhängig (nicht komplanar)

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        HA - Berechnen von Punktkoordinaten, Mittelpunkt, Teilungspunkt  

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        HA - Vektorielle Geradengleichungen  

LB.S.68 Nr.9

  1. Gerade gAB     Gerade gAC       Gerade gBC:   
  2. MAB(-2|2,5|1,5)        Gerade s1:             MAC(-1|1,5|2)       Gerade s2    MBC(1|1|2,5)        Gerade s3:  

LB.S.69 Nr.13

a.    Gerade gAB:            b.    Gerade gBC:            c.    Gerade gDC:       d.    Gerade gAC:         e.    Gerade gAF            f.    Gerade gDS:   

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        HA - Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade  

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        HA - Lagebeziehung zwischen Gerade und Koordinatenebene 

LB.S.76 Nr.11

  1. Gerade gAB:          Dxy(-4|6|0)    Dyz(0|2|-16/7)    Dxz(2|0|-24/7)
  2. Gerade gAB:            Dxy(11|15|0)    Dyz(0|-1,5|55/6)    Dxz(1|0|25/3)
  3. Gerade gAB:          Dxy(3|2|0)    Dyz(0|0|1)    Dxz(0|0|1)
  4. Gerade gAB:             Dxy(-5|2,5|0)    Dyz(0|1,25|2,5)    Dxz(5|0|5)

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        HA - Lagebeziehung zwischen zwei Geraden  

LB.S.78 Nr. 17

a)           Gerade g :            Gerade h:

 und  sind zueinander kollinear weil

  nicht kollinear zu  und g und h echt parallel zueinander

 

b)          Gerade g :            Gerade h:

 und  sind zueinander kollinear weil

   kollinear zu  und