Lösen Sie zum 17.03.09 die beiden Aufgaben der Datei 28

Themenkomplexe für die schriftliche Abiturprüfung Mathematik (Grundkurs)

Stoffgebiet	Stoffschwerpunkte	Rechenfertigkeiten
Analysis	· Nullstellen ganzrationaler Funktionen • Begriff der 1.Ableitung · Zusammenhang 1.Ableitung – Monotonie · Rechenverfahren Extrempunkte · Rechenverfahren Tangente und Normale an f in P_o · Zusammenhang 2.Ableitung – Krümmungs- verhalten · Rechenverfahren Wendepunkte (Sattelpunkte) · Ermitteln von Funktionsgleichungen aus den Eigenschaften des Graphen · Kurvendiskussionen für ganzrationale, gebrochenrationale und Exponentialfktionen · Aufgaben zu Kurvenscharen · Extremwertaufgaben · Flächenberechnungen zwischen Funktion und Abszissenachse · Flächenberechnung zwischen zwei Funktionsgraphen · Volumenberechnung von Rotationskörpern	· Grundkenntnisse über Zusammenfassen und Ausklammern von Termen, Binomische Formeln, Potenz- und Wurzelgesetze, Logarithmen · Lösen quadratischer Gleichungen · Lösen höherer Gleichungen ( direkte Umstellung, Aus- klammern, Substitution, Polynomdivision ) · Ableitungsregeln · Regeln zum Auffinden von Stammfunktionen · Gleichungen mit Formvariablen · Lineare Funktionsgleichung · Punkt-Richtungsgleichung
Analytische Geometrie (Vektor- rechnung)	· Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen (in Parameterform) · Umwandeln der versch. Ebenengleichungsformen ineinander (Parameter-, Koordinaten-, Normalen-, Achsenabschnittsform HNF) · Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade/Gerade, Gerade/Ebene und Ebene/Ebene (GLS und Vektoreigenschaft) · Berechnung von Schnitt- bzw. Durchstoß- punkten (Spurpunkte), Ermittlung von Schnittgeradengleichungen (Spurgeraden) · Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren, Geraden, Ebenen und Gerade/Ebene · Berechnen von Flächen und Volumina, Zeichnen von Körpern · Abstandberechnung Punkt/Punkt; Punkt/Gerade; Punkt/Ebene · Nachweis besonderer Eigenschaften (parallel, gleichlang, orthogonal)	· Begriff Vektor, Ortsvektor · Vektor zwischen zwei Punkten · Betrag eines Vektors · Skalarprodukt von Vektoren · Lösen von Vektorgleichungen · Lösen von Gleichungssystemen (auch unter- bzw. überbestimmte) · kollinear, komplanar · Lösen von Betragsgleichungen
Stochastik	· Grundbegriffe der Stochastik (Ereignis,Er- gebnis, Ergebnisraum, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit) · Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, Gegen- ereignis, Additionssatz · mehrstufige Zufallsversuche, Baumdiagramm · Binomialverteilung, Satz von Bernoulli	· Nachweis besonderer Ei- genschaften (parallel, gleichlang, orthogonal) · kombinatorische Rechenver- fahren (Permutation, Varia- tion, Kombination)

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Nullstellen von ganzrationalen Funktionen

1.) 3x³ + 10x² - 23x + 10 = 0 (eine Lösung durch Probieren)

(x – 1)·(3x² + 13x – 10) = 0 (Polynomdivision)

x₁ = 1 3x² + 13x – 10 = 0

x² + x - = 0

x_1/2 =

x₁ = x₂ =

L = { -5 ; ; 1}

2.) 2x³ - 7x² - 4x = 0 (mittels Ausklammern)

2x·( x² - 3,5x – 2 ) = 0

x₁ = 0 x² - x – 2 = 0

x_2/3 =

x₂ = = 4

x₃ =

L = {-0,5 ; 0 ; 4}

3.) 2x⁴ - 50x² + 288 = 0 / : 2

x⁴ – 25x² + 144 = 0

Substituieren : x² = z z² - 25z + 144 = 0

z_1/2 = 12,5

z_1/2 = 12,5 ± 3,5

z₁ = 16

z₂ = 9

Zurücksubstituieren: z = x²

x² = 16/√ x² = 9/√

|x| = 4 |x| = 3

x₁ = 2 x₃ = 3

x₂ = -2 x₄ = -3

L = {-3, -2, 2, 3}

4.) · x³ - 16 = 0 direktes Umstellen 3x⁴ – 48 = 0

· x³ = 16/ ·4 3x⁴ = 48/:3

x³ = 64/ x⁴ = 16/

x = + 4 |x| = 2

x₁ = -2 x₂ = 2

L = { 4 } L = { -2; 2}

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Weitere Übungen zu Nullstellen ganzrationaler Funktionen :

1/3·x³ + 9 = 0 L = {-3}
x³ - 5x² = 0 L = {0; 5}
x³ - 3x² - 10x = 0 L = {0; 5; -2}
3x – 1/3·x³ = 0 L = {0; -3; 3}
4x³ + 24x² + 27x = 0 L = {0; -4,5; -1,5}
6x³ + 9x² = 0 L = {0; -1,5}
¼·x³ - 3 = 0 L = { ≈2,29}
x⁴ – 10x² + 9 = 0 L = {-3; -1; 1; 3}
2x³ - 9x² + 4x = 0 L = {0; 4; 1/2}
x⁴ - 64 = 17 L = {-3; 3}
x³ + 12 = 13x L = {-4; 1; 3}
x² + 20 = x⁴ L = {- }
x³ + 9x² + 23x + 15 = 0 L = {-5 ; -3 ; -1}

LB. Klasse 11; S.121 Nr.22-26

22a) f(x) = x³ + x² - 9x – 9 Nullstellen: -3 -1 3

b) f(x) = x⁴ – 2,5x³ + 0,5x² + x -0,5 0 1 2

c) f(x) = 0,5x⁴ + 0,5x³ + x² + 2x + 4 -2 1

d) f(x) = (x³ - 1)·(x³ + 1,7x² + 0,1x – 0,6) -1,2 -1 0,5 1

e) f(x) = x⁴ + x³ - x² + x – 2 -2 1

f) f(x) = x⁵ + 3x⁴ + x³ - x - -1 -

23a) f(x) = x⁴ – 2x³ + 2x – 1 -1 1

b) f(x) = 3x³ + 6x² - 3x –2 keine ganzzahligen Nullstellen

c) f(x) = x³ + x² - 17x + 15 -5 1 3

d) f(x) = 2x⁴ – 6x³ + 6x² - 2x 0 1

24a) f(x) = x⁴ – 6,61x² + 2,25 -2,5 -0,6 0,6 2,5

b) f(x) = 36x⁴ – 97x² + 36 -1,5 - 1,5

c) f(x) = x⁴ + 10,25x² + 24,5 keine Nullstellen

d) f(x) = x⁴ – 3x² + 2 - -1 1

e) f(x) = 0,4x⁴ – 6,4 -2 2

f) f(x) = 4x⁴ – 18,25x² + 9 -2 - 2

25a) f(x) = x³ - x² + 2x – 3 g(x) = - x³ + x² - x +

0 = x³ - x² + 2x – 3 0 = - x³ + x² - x + /·(-6)

0 = x³ - x² + 2x – 3

beide Funktionen haben zwar die gleiche Nullstelle, diese ist aber nicht

ganzzahlig

b) f(x) = x³ + x² - x - g(x) = x³ + x² - x -

0 = x³ + x² - x - 0 = x³ + x² - x - / ·3

0 = x³ + x² - x -

beide Funktionen haben die gleichen Nullstellen, nämlich -1,-0,5 und 1

26a) f(x) = ( x² - 1 )² Nullstellen: -1 1

b) f(x) = x²·( x + 2 )²·( x² + 4 ) -2 0

c) f(x) = ( 4 – x² )²·( 8 – x³ )·( 2 + x ) -2 2

d) f(x) = x⁴ - 4⁴ -4 4

e) f(x) = ( x² - 1 )²·( x² - 2x + 1 ) -1 1

f) f(x) = x·( x⁴ – 125x ) 0 5

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Übungsaufgabe zu 01 (Nullstellen ganzrationaler Funktionen)

aus Prüfung 2006: Gegeben sei eine Funktionenschar durch die Gleichung:

f_a(x) = .

Der Graph einer solchen Funktion sei G_a!

1.) Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G₁!

2.) Berechnen Sie die Nullstellen der Kurvenschar!

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Rechenverfahren für:

I. Extrempunkte

1. Bildung der ersten Ableitung der Funktion, deren Extrempunkte ermittelt werden sollen

2. Berechnung der möglichen Extremstellen x_E (= die Nullstellen der Ableitung f ’(x) bestimmen)

3. f ’(x) besitzt Nullstellen f ’(x) besitzt keine Nullstellen

= keine Extrempunkte für f(x)

4. Bildung der zweiten Ableitung von f(x)

5. Nachweis für die Art des Extrempunktes (Einsetzen der, durch die erste Ableitung f ’(x) ermittelten, Extremstelle x_E in die zweite Ableitung f ’’(x))

6. f ’’(x_E) < 0 f ’’(x_E) > 0 f ’’(x_E) = 0

=> Hochpunkt => Tiefpunkt => kein Entscheidung möglich

=> f´(x) auf Vorzeichenwechsel

an der Stelle x_E prüfen

7. Berechnung des Extremwertes (= Einsetzen der, durch die erste Ableitung f ’(x) ermittelten, Extremstelle x_E in die Ausgangsfunktion f(x))

8. Angabe der Extrempunkte E (x_E/f(x_E))

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II. Wendepunkte

1. Bildung der zweite Ableitung der Funktion f(x), deren Wendepunkte ermittelt werden sollen

2. Berechnung der möglichen Wendestelle x_W (= die Nullstellen der Ableitung f ’’(x) bestimmen)

3. f ’’(x) besitzt Nullstellen f ’’(x) besitzt keine Nullstellen

= keine Wendepunkte für f(x)

4. Bildung der dritten Ableitung von f(x)

5. Nachweis für die Art des Wendepunktes (Einsetzen der, durch die zweite Ableitung ermittelten, Wendestelle x_W in die dritte Ableitung)

6. f ’’’(x_W) < 0 f ’’’(x_W) > 0 f ’’’(x_W) = 0

=>Wendepunkt mit Rechts- =>Wendepunkt mit Links- => keine Entscheidung möglich

in Linkskrümmung in Rechtskrümmung => f´´(x) auf Vorzeichenwechsel

an der Stelle x_W prüfen

7. Berechnung des vollständigen Wendepunktes (= Einsetzen der, durch die zweite Ableitung f ’’(x) ermittelten, Wendestelle x_W in die Ausgangsfunktion f(x))

8. Angabe des Wendepunktes W (x_W/f(x_W))

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III Sattelpunkte

Sattelpunkt = Wendepunkte mit waagerechter Tangente

S (x_S/f(x_S)) ist Sattelpunkt genau dann, wenn:

f ’(x_S) = 0 woraus folgt ,dass m_t = 0 f hat waagerechte Tangente in x_S
f ’’(x_S) = 0
f´´´(x_S) ≠ 0 woraus folgt, dass x_S ist eine (besondere) Wendestelle

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Leistungskurs Mathematik

Quotientenregel

Die Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion mit einer Gleichung der Form: erfolgt nach der Quotientenregel: .

Bsp.: f(x) = (x+1)/(x-1) f'(x) = {1·(x-1) - [(x+1)·1]}/(x-1)² = {x-1-x-1}/(x-1)² = (-2)/(x-1)²

f(x) = (2x³ - 5x)/(x²-1) f'(x) = {(6x²-5)·(x²-1) - [(2x³-5x)·2x]}/(x²-1)² = (2x⁴+11x²-5)/(x²-1)²

f(x) = 1/(3x²+5x+1) f'(x) = {0·(3x²+5x+1) - [1·(6x+5)]}/(3x²+5x+1)² = (-6x-5)/(3x²+5x+1)²

Sonderform der Quotientenregel: wenn dann

Differenziert man eine gebrochenrationale Funktion mehrmals, so sollte man darauf achten, dass bei jeder Ableitung mit der Quotientenregel der Exponent am Nennerterm nur um 1 größer wird. Das bedeutet, dass man spätestens bei der 2.Ableitung nach Anwendung der Kettenregel auf den Nennerterm in Zähler und Nenner etwas kürzen kann.

Bsp.: f(x) = (2x²+1)/(x²-4) f'(x) = {4x·(x²-4) - [(2x²+1)·2x]}/(x²-4)² =(-18x)/(x²-4)²

f''(x) = {-18·(x²-4)² - [(-18x)·2(x²-4)·2x]}/(x²-4)⁴

= (x²-4)·{-18·(x²-4) - [(-18x)·4x)]}/(x²-4)⁴

= {-18x²+72 - [(-72x²)]}/(x²-4)³

f''(x) = (54x²+72)/(x²-4)³

f(x) = (x²+2x)/(5-2x²) f'(x) = {(2x+2)·(5-2x²) - [(x²+2x)·(-4x)]}/(5-2x²)² = (4x²+10x+10)/(5-2x²)²

f''(x) = {(8x+10)·(5-2x²)² - [(4x²+10x+10)·2(5-2x²)·(-4x)]}/(5-2x²)⁴

f''(x) = {(8x+10 )·(5-2x²) - [(4x²+10x+10)·(-8x)]}/(5-2x²)³

f''(x) = (16x³+60x²+120x+50)/(5-2x²)³

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^{Kurvendiskussionen
gebrochenrationaler Funktionen}

Funktionen mit Gleichungen der Form: nennt man gebrochenrationale Funktionen, wenn die Zählerfunktion u(x) und die Nennerfunktion v(x) ganzrationale Funktionen sind.

Bei der Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen gibt es einiges zu beachten, was bei den bisher behandelten Funktionsklassen keine Rolle spielt. So sollte man z.B. nicht unbedingt mit den Ableitungen der Funktion beginnen, weil man bei der genaueren Untersuchung der Definitionslücken u.U. bemerkt, dass die Funktionsgleichung vereinfacht werden kann.

f(x) = 2x/(x²+1)

DB = {x| x

Symmetrie: f(-x) = 2(-x)/((-x)²+1) = -2x/(x²+1) = -f(x) Graph von f ist zentralsymmetrisch zum Koord.ursprung

Nullstellen: u(x)=0 2x=0 x=0 x_n=0 mögliche Nullstelle; v(0)=1≠0 x_n = 0 gesicherte Nullstelle

Definitionslücken: v(x)=0 x²+1=0 x²=-1 n.l keine Polstellen, keine senkrechten Asymptoten, Graph stetig

Ableitungen: f '(x) = (2-2x²)/(x²+1)² f ''(x) = (4x³-12x)/(x²+1)³f '''(x) = (-12x⁴+72x²-12)/(x²+1)⁴

Extrempunkte: (2-2x²)/(x²+1)² =0 2-2x²=0 x²=1 x_E1=-1 und x_E2=1 mögliche Extremstellen; f ''(-1)=1>0 x_E1=-1 gesicherte Tiefpunktstelle f ''(1)=-1<0 x_E1=1 gesicherte Hochpunktstelle f(-1)=-1 f(1)=1 Graph hat bei T(-1|-1) einen lokalen Tiefpunkt und bei H(1|1) einen lokalen Hochpunkt

Wendepunkte: (4x³-12x)/(x²+1)³=0 4x³-12x=0 4x·(x²-3)=0 x_W1=0 x_W2=√3 x_W1=-√3 mögliche Wendestellen f '''(0)=-12≠0 f '''(√3)=3/8≠0 f '''(-√3)=3/8≠0 x_W1=0 x_W2=√3 x_W1=-√3 gesicherte Wendestellen f(0)=0 f(√3)=½·√3 f(-√3)=-½·√3 Graph hat bei W₁(0|0) ,W₂(√3|½·√3) und bei W₃(-√3|-½·√3) Wendepunkte

Verhalten im Unendlichen:

der Graph nähert sich für sehr kleine bzw. sehr große Argumente der waagerechten Gerade (Asymptote) y = 0 (x-Achse)

Wertetabelle:

x 0,5 3 5

y 0,8 0,6 0,38

graphische Darstellung:

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^{Nullstellen
gebrochenrationaler Funktionen}

Eine Zahl x_n heißt Nullstelle einer gebrochenrationaler Funktion f mit f(x) = u(x)/v(x) , wenn gilt: u(x_n) = 0 und v(x_n) ≠ 0

u(x) = x² - 4 = 0

x² = 4

x_N1 = -2 x_N2 = 2

v(-2) = 9≠0 v(2) = 9≠0

f hat zwei Nullstellen bei 2 und -2

u(x) = x + 1 = 0

x_N = -1

v(-1) = 0!

f hat keine Nullstellen

u(x) = 2x² - x - 3 = 0

x² - 0,5x - 1,5 = 0

x_N1/2 = 1/4 ± √(1/16 + 3/2)

x_N1 = 1,5 x_N2 = -1

v(1,5) = 8,75≠0 v(-1) = 0!

f hat nur eine Nullstelle bei 1,5

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^{Polstellen
gebrochenrationaler Funktionen}

Eine Zahl x_P heißt Polstelle einer gebrochenrationaler Funktion f mit f(x) = u(x)/v(x) , wenn gilt: v(x_P) = 0 und u(x_P) ≠ 0

v(x) = 2x² + 1 = 0

x² = -½ n.l.

f hat keine Polstellen

v(x) = x² - 1 = 0

x² = 1

x_P1 = -1 x_P2 = 1

u(-1) = 0! u(1) = 2≠0

f hat nur eine Polstelle bei 1

senkrechte Asymptote bei x = 1

f hat an der Stelle x=-1 eine hebbare Definitionslücke (Loch im Graphen)

Termvereinfachung möglich zu:

v(x) = x² + 3x + 2 = 0

x_P1/2 = -3/2 ± √(9/4 - 2)

x_P1 = -2 x_P2 = -1

u(-2) = 7≠0 u(-1) = 0!

f hat nur eine Polstelle bei -2

senkrechte Asymptote bei x = -2

f hat an der Stelle x=-1 eine hebbare Definitionslücke (Loch im Graphen)

Termvereinfachung möglich zu:

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^{Verhalten
gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen}

Der Graph einer gebrochenrationaler Funktion schmiegt sich "an den Rändern des Koordinatensystems" dem Graphen einer anderen Funktion asymptotisch an. Welcher Art diese Asymptote ist , hängt vom Ergebnis der Grenzwertberechnung (und damit vom Grad der höchsten Potenz von x in Zähler- und Nennerterm) ab.

waagerechte Asymptote bei y = 0,5

höchste Potenz von x im Nenner = höchste Potenz von x im Zähler

waagerechte Asymptote bei y = 0

höchste Potenz von x im Nenner höher als höchste Potenz von x im Zähler

schräge Asymptote bei y = 0,5x

höchste Potenz von x im Zähler höher als höchste Potenz von x im Nenner

Auch den Graphen von quadratischen oder höhergradigen Funktionen können sich die Graphen von gebrochen- rationalen Funktionen annähern. Wenn jedoch der Zählergrad von x um 1 höher ist als der Nennergrad von x, so ist die Asymptote stets der Graph einer lineare Funktion mit m ≠ 0 . Ihre Funktionsgleichung erhält man als ganzrationalen Teil bei der Polynomdivision: Zählerterm durch Nennerterm.

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^{Kurvendiskussionen
gebrochenrationaler Funktionen (2.Teil)}

f(x) = x³/[(x+2)·(x-2)] = x³/(x²-4)

DB = {x| x ≠ -2 und x ≠ 2 }

Symmetrie: f(-x) = (-x)³/((-x)²-4) = -x³/(x²-4) = -f(x) Graph von f ist zentralsymmetrisch zum Koord.ursprung

Nullstellen: u(x)=0 x³=0 x=0 x_N=0 mögliche Nullstelle; v(0)=-4≠0 x_N = 0 gesicherte Nullstelle

Definitionslücken: v(x)=0 (x+2)·(x-2)=0 x_P1=-2 x_P2=2 mögliche Polstellen, u(-2)=-8≠0 u(2)=8≠0 x_P1=-2 x_P2=2 gesicherte Polstellen, senkrechten Asymptoten bei x=-2 und x=2

Ableitungen: f '(x) = (x⁴-12x²)/(x²-4)² f ''(x) = (8x³+96x)/(x²-4)³f '''(x) = (-24x⁴-576x²-384)/(x²-4)⁴

Extrempunkte: (x⁴-12x²)/(x²-4)² =0 x²·(x²-12)=0 x_E1=0 x²=12 x_E2=-2√3 und x_E3=2√3 mögliche Estellen; f ''(0)=0 ??? offen lassen, dort könnte noch Extrempunkt sein; könnte aber auch Sattelpunkt werden f ''(-2√3)=-¾√3<0 x_E1=-2√3 gesicherte HPstelle f ''(2√3)=¾√3>0 x_E1=2√3 gesicherte TPstelle f(-2√3)=-3√3 f(2√3)=3√3 Graph hat bei H(-2√3|-3√3) einen lokalen Tiefpunkt und bei T(2√3|3√3) einen lokalen Hochpunkt

Wendepunkte: (8x³+96x)/(x²-4)³=0 8x³+96x=0 8x·(x²+12)=0 x_W=0 einzige mögliche Wendestelle f '''(0)=-1,5≠0 x_W=0 gesicherte Wendestelle f(0)=0 Graph hat bei W(0|0) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente (siehe Extrempunktberechnung!), also einen Sattelpunkt S(0|0)

Verhalten im Unendlichen:

der Graph nähert sich für sehr kleine bzw. sehr große Argumente einer schrägen Asymptote: y = x (Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten)

Wertetabelle:

x 0,5 1 1,5 2,5 3 5

y -0,03 -0,3 -1,93 6,94 5,4 5,95

graphische Darstellung:

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^{Kurvenscharen
gebrochenrationaler Funktionen}

f_k(x) = (kx-2)/x²(k≠0) Variable k steht für den Scharparameter, für jeden konkreten Wert von k entsteht eine neue Funktion mit einem neuen Graphen; alle Funktionen (und damit alle Graphen) besitzen ähnliche Eigenschaften und werden deswegen zu einer Funktionsklasse zusammengefasst

DB = {x| x ≠ 0 }

Symmetrie: f_k(-x) = (k(-x)-2)/(-x)² = (-kx-2)/x² ≠ -f_k(x) und ≠ f_k(x) Graph von f_k ist weder zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung noch axialsymmetrisch zur y-Achse

Nullstellen: u(x)=kx-2=0 kx=2 x=2/k x_N=2/k mögliche Nullstelle; v(2/k)=4/k²≠0 x_N = 2/k gesicherte Nullstelle

Definitionslücken: v(x)=x²=0 x=0 x_P=0 einzige mögliche Polstellen, u(0)=-2≠0 x_P=0 gesicherte Polstelle, senkrechten Asymptote bei x=0

Ableitungen: f_k'(x) = (4-kx)/x³ f_k''(x) = (2kx-12)/x⁴f_k'''(x) = (48-6kx)/x⁵

Extrempunkte: 4-kx =0 kx=4 x_E=4/k einzig mögliche Extremstelle; f_k''(4/k)=-k⁴/64 stets kleiner Null gesicherte Hochpunktstelle f_k(4/k)=k²/8 Graph hat bei H_k(4/k|k²/8) einen (von k abhängigen) lokalen Hochpunkt

Wendepunkte: 2kx-12=0 2kx=12 kx=6 x_W=6/k einzig mögliche Wendestelle f_k'''(6/k)=k⁵/648≠0 x_W=6/k gesicherte Wendestelle f_k(6/k)=k²/9 Graph hat bei W_k(6/k|k²/9) einen (von k abhängigen) Wendepunkt

Verhalten im Unendlichen:

der Graph nähert sich unabhängig vom Parameter k für sehr kleine bzw. sehr große Argumente der waagerechten Asymptote: y =0 (y-Achse)

Ortskurve der Extrema: x_E = 4/k k = 4/x_E y_E = k²/8 = (4/x_E)²/8 = 16/x_E²)/8 = 2/x_E²Ortskurve: y=2/x²

Ortskurve der Wendepunke: x_W = 6/k k = 6/x_W y_W = k²/9 = (6/x_W)²/9 = 36/x_W²)/9 = 4/x_W²Ortskurve: y=4/x²

Wertetabellen:

x	-5	-3	-2	-1	0,5	1	1,5	2	4	6
y für k=3	-0,68	-1,22	-2	-5	-2	1	1,11	1	0,625	0,44
y für k=5	-1,08	-1,89	-3	-7	2	3	2,44	2	1,125	0,78
y für k=7	-1,48	-2,56	-4	-9	6	5	3,78	3	1,525	1,11
y für k=-5	0,92	1,44	2	3	-18	-7	-4,22	-3	-1,375	-089

graphische Darstellung:

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^{Flächenberechnung
an gebrochen rationalen Funktionen}

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^{Komplexe
Zahlen}

Will man Gleichungen der Form: x² + 1 = 0 lösbar machen, muss man das Wurzelziehen aus negativen Radi- kanden zulassen; es kommt dadurch zu einer Zahlenbereichserweiterung mit dem Ziel, jeder Polynomgleichung im neuen Zahlbereich C mindestens eine Lösung zuordnen zu können. Die neuen Zahlen nennt man komplexe Zahlen und schreibt sie in der Form: z = a + i·b mit i = √-1 bzw. i² = -1.

Definition:

Komplexe Zahlen sind geordnete Paare (a,b) reeller Zahlen (d.h. (a,b)

R×R=R²) für die die Relation Gleichheit sowie die Operationen Addition und Multiplikation wie folgt definiert sind:

	(a,b) = (c,d) genau dann, wenn a = c und b = d
	(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
	(a,b) • (c,d) = (a·c-b·d,a·d+b·c)
	(a,0) = a (die reellen Zahlen sind ein Spezialfall der komplexen Zahlen)

In diesem neuen Zahlbereich gelten die aus dem Zahlbereich der reellen Zahlen bekannten Rechengesetze:

	(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b) Kommutativgesetz der Addition
	[(a,b) + (c,d)]+(e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)] Assoziativgesetz der Addition
	(a,b) • (c,d) = (c,d) • (a,b) Kommutativgesetz der Multiplikation
	[(a,b) • (c,d)] • (e,f) = (a,b) • [(c,d) • (e,f)] Assoziativgesetz der Multiplikation
	[(a,b) + (c,d)] • (e,f) = (a,b)•(e,f) + (c,d)•(e,f) Distributivgesetz
	es gibt eine kompl. Zahl (0,0) so, dass für alle (a,b) gilt: (a,b) + (0,0) = (a,b) neutrales Element der Addition
	es gibt eine kompl. Zahl (1,0) so, dass für alle (a,b) gilt: (a,b) • (1,0) = (a,b) neutrales Element der Multiplik.

Komplexe Zahlen lassen sich auf drei verschiedene Arten darstellen:

Normalform (oder Zahlenpaar)

z = x + i·y oder (x,y)

z = a + i·b oder (a,b)

x,a - Realteil y,b - Imaginärteil

Trigonometrische Form

z = r·(cosφ + i·sinφ)

r - Radius,Betrag

φ - Winkel,Argument

Exponentialform

z = r·e^iφ

r - Radius,Betrag

φ - Winkel,Argument

x = a = r·cosφ y = b = r·sinφ

r = √(a² + b²) φ = arc tan (b/a)

Eulersche Beziehung:

eⁱ^φ=cosφ+isinφ

wenn x=(a,b); y=(c,d) und z=(e,f)

wenn x + y = x + z dann y = z
zu jeder komplexen Zahl x gibt es genau eine Zahl y mit x+y = (0,0) y-additive Inverse
|x| = |(a,b)| = √(a²+b²)
·für alle komplexen Zahlen:|x|>=0
·wenn x reell , dann |x| = √x²
·|x·y| = |x| · |y|
wenn x·y=0,dann x=0 und/oder y=0
aus x·y=x·z folgt y=z falls x≠(0,0)
es gibt genau eine komplexe Zahl z mit x·z=y (z=y/x) Division ist möglich
z = (a,b) = a+b·(0,1) = a+bi a-Realteil (Re z) b-Imaginärteil (Im z) = a - bi zu z konjugierte kom. Zahl
(a+ib)·(c+id) = (ac-bd) + i(bc+ad) (0,1)·(0,1) = -1
(Re z)² + (Im z)² = | z |² Pythagoras
Re z <=|Re z|<= |z| , Im z <=|Im z|<= |z|
|z₁+z₂| <= |z₁| + |z₂| Dreiecksungleichung

	z = a + ib = r·cosφ + i· r·sinφ
	z = r·(cosφ + i· sinφ)
	φ - Arg z (Argument von z)
	φ - Hauptwert (-π<=Arg z<=π)
	arg z = Arg z ± 2nπ

Mehrfachdarstellung komplexer Zahlen möglich:

z = r·(cos(φ±2nπ) + i· sin(φ+2nπ))

wenn z = a + i·b, dann

e^z =e^a+ib=e^a ·e^ib=e^a·(cosb+i·sinb)

wenn z = 0 + i·φ

e^z =e⁰⁺ⁱ^φ=e⁰ ·eⁱ^φ= (cosφ +i·sinφ)

Produkt z₁·z₂in trigonometrischer Form

	=r₁·(cosφ₁ + i· ) · r₂·( + i· sinφ₂)
	=r₁·r₂[cosφ₁cosφ₂ + i· (cosφ₁sinφ₂+cosφ₂sinφ₁) + i²sinφ₁ sinφ₂]
	= r₁·r₂[cosφ₁cosφ₂ -sinφ₁ sinφ₂+ i·sin(φ₁+φ₂)
	= r₁·r₂[cos(φ₁+φ₂)+ i·sin(φ₁+φ₂)]

Mult. der Beträge Addition der Argumente

Potenzen zⁿ in trigonometrischer Form

= [r·(cosφ + i· sinφ)]ⁿ

= rⁿ·(cosnφ + i· sinnφ) Satz von Moivré

z^-1 =

z^-1 =

Vorteile:

	e^z1+z2 = e^z1 · e^z2
	z₁·z₂ = r₁·r₂·e^i(φ1+φ2)
	zⁿ = rⁿ · e^inφ

	aus z = r·eⁱ^φfolgt: und damit:
	z = r·(cos(φ±2nπ) + i· sin(φ+2nπ)) besser z = r · e^i(φ+2kπ)
	zur Gleichheit (z₁=z₂) von z₁= r₁·e^iφ1und z₂ = r₂·e^iφ2gehört: r₁=r₂ und φ₁= φ₂+2kπ

Komplexe Wurzeln: aus wⁿ = z folgt:

w_k= =

w_o,...,w_n-1 kompl.Zahl hat n versch. kompl.Wurzeln

Division z₁:z₂ = z₁·z₂^-1

Fundamentalsatz der Algebra:

Jede Funktion(Polynom) p mit p(z) = c_nzⁿ + c_n-1z^n-1+...+ c₁Z + c_o mit komplexen Koeffizienten vom Grade n >= 1 hat wenigstens eine Nullstelle.

Anwendungen komplexer Zahlen:

in der Geometrie:

Eine Abbildung Dφ: C → C mit Dφ(z)= z·e^iφ heißt Drehung der Ebene E um den Winkel φ.

Eine Abbildung S_α: C → C mit D_α(z)= z·e^2iα heißt Spiegelung der Ebene E an einer Gerade g_α mit Anstiegswinkel α.

in der Physik: bei Wechselstromwiderstände gilt für Scheinwiderstand Z Z = R + i·X

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^{Matrizenrechnung}

Matrix - Zahlenschema

A_(m,n) = ist (m,n) - Matrix oder m×n - Matrix a_ij - Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte

m = beliebig, n = 1 Spaltenvektor: m = 1 , n = beliebig Zeilenvektor: ( a₁, a₂, ..., a_n)

m = n > 1: quadratische Matrix m=n=1: Zahl

O_(m,n) = heißt Nullmatrix heißt Diagonalmatrix E = I_(n)= heißt Einheitsmatrix

A'_(n,m) = = A^T_(n,m) ist die transponierte Matrix zu A (eine (n,m) - Matrix oder n×m - Matrix)

Relationen und Operationen mit Matrizen

gegeben seien zwei Matrizen: A = (a_ij)_m,nund B = (b_ij)_p,q

	A_(m,n) = B_(p,q) genau dann, wenn: m = p; n = q und a_ij = b_ij für alle i = 1...m und alle j = 1...n
	C =(c_ij) = (a_ij+b_ij) = (a_ij) + (b_ij) = A + B nennt man die Summe von A und B, falls m=p und n=q
	D =(d_ij) = (a_ij-b_ij) = (a_ij) - (b_ij) = A - B nennt man die Differenz von A und B, falls m=p und n=q
	F = (f_ij) = (λ·a_ij) = λ·(a_ij) = λ · A nennt man das Produkt der Matrix A mit der *reellen Zahl* λ
	G = (g_mk) = (a_i1·b_1j+a_i2·b_2j+...+a_in·b_nj) =A·B nennt man das Produkt zweier *Matrizen* für i=1...m und j=1...k

für diese Rechenoperationen gelten folgende Rechengesetze:

A + B = B + A Kommutativgesetz der Addition
(A + B) + C = A + (B + C) Assoziativgesetz der Addition
es gibt eine Matrix O mit: A + O = O + A = A neutrales Element der Addition
für alle Matrizen A existiert eine Matrix (-A) mit A + (-A) = (-A) + A = O inverses Element der Addition
λ · (μ·A) = (λ·μ) · A Assoziativgesetz der Zahlmultiplikation
λ·(A + B) = λ·A + λ·B 1.Distributivgesetz
(λ+μ) · A = λ·A + μ·A 2.Distributivgesetz
0 · A = O vernichtendes Element der Zahlmult.
1 · A = A neutrales Element der Zahlmult.
(A·B) · C = A · (B·C) Assoziativgesetz der Matrixmultiplik.
(A+B) · C = A·C + B·C bzw. A · (B+C) = A·B + A·C Distributivgesetz der Matrixmultiplik.
(A·B)' = B' · A'
für quadratische Matrizen gilt: A^k = A·A·...·A Potenzschreibweise bei Matrixmultiplik.

Quadratische Matrizen und Determinanten

Als Determinanten n-ter Ordnung bezeichnet man die Summe von n! = 1·2·...·n mit Vorzeichen versehenen Produkten aus n Elementen, wobei aus jeder der n Zeilen und jeder der n Spalten nur ein Element genommen wird.

∆ = det(A) = |A| = Vorzeichen · a_1k1·a_2k2·...·a_nkn Vorzeichen + wenn entsprechende Permutation gerade

	= a₁₁·a₂₂ - a₂₁·a₁₂ nach der Methode Hauptdiagonale - Nebendiagonale
	= a₁₁·a₂₂·a₃₃+a₁₂·a₂₃·a₃₁+a₁₃·a₂₁·a₃₂ - (a₃₁·a₂₂·a₁₃+a₃₂·a₂₃·a₁₁+a₃₃·a₂₁·a₁₂) nach *Sarrus*
	= a₁₁·a₂₂·a₃₃·a₄₄ - a₁₁·a₂₂·a₃₄·a₄₃ - a₁₁·a₂₃·a₃₂·a₄₄ + a₁₁·a₂₃·a₃₄·a₄₂ + a₁₁·a₂₄·a₃₂·a₄₃ - a₁₁·a₂₄·a₃₃·a₄₂ - a₁₂·a₂₁·a₃₃·a₄₄ + a₁₂·a₂₁·a₃₄·a₄₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁·a₄₄ - a₁₂·a₂₃·a₃₄·a₄₁ - a₁₂·a₂₄·a₃₁·a₄₃ + a₁₂·a₂₄·a₃₃·a₄₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂·a₄₄ - a₁₃·a₂₁·a₃₄·a₄₂ - a₁₃·a₂₂·a₃₁·a₄₄ + a₁₃·a₂₂·a₃₄·a₄₁ + a₁₃·a₂₄·a₃₁·a₄₂ - a₁₃·a₂₄·a₃₂·a₄₁ - a₁₄·a₂₁·a₃₂·a₄₃ + a₁₄·a₂₁·a₃₃·a₄₂ + a₁₄·a₂₂·a₃₁·a₄₃ - a₁₄·a₂₂·a₃₃·a₄₁ - a₁₄·a₂₃·a₃₁·a₄₂ + a₁₄·a₂₃·a₃₂·a₄₁ gerade Permutationen ergeben positives Vorzeichen ungerade Permutationen ergeben Minusvorzeichen

Eigenschaften von Determinanten

|A| = |A^T|
bei Vertauschung von Zeilen oder Spalten ändert sich das Vorzeichen der Determinante
gemeinsamen Faktor der Elemente einer Zeile oder Spalte kann man ausgeklammern
und

wichtiger Spezialfall:
algebraische Ergänzung A_ij (Adjunkte,Unterdet.) des Elementes a_ij einer Determinante |A| n-ter Ordnung: Produkt aus Vorzeichen (-1)^i+j und einer Determinante (n-1)-ter Ordnung, die man aus |A| erhält, in dem man die Zeile und die Spalte streicht, auf deren Kreuzung das Element a_ij steht aus folgt:
= a_i1·A_i1 + a_i2·A_i2 + ... + a_in·A_in Entwicklungssatz für Determinanten
= b₁·A_i1 + b₂·A_i2 + ... + b_n·A_in
a_i1·A_k1 + a_i2·A_k2 + ... + a_in·A_kn = 0
stufenförmige Determinante
wenn A,B quadratische Matrizen gleicher Ordnung, so gilt: |C| =|A·B| = |A| · |B|
Das Produkt der Matrizen A und B ist quadratisch, wenn Anzahl der Spalten von A gleich Anzahl der Zeilen von B. Das Produkt der Matrizen A und B ist quadratisch, wenn Anzahl der Zeilen von A gleich Anzahl der Spalten von B.
|C| = |A·B| ist gleich der Summe der Produkte aller Unterdeterminanten von A mit allen entsprechenden Unterdeterminanten von B. (Satz von Binet-Cauchy)

Inverse Matrizen

Wenn zu einer Matrix A Matrizen L und R existieren, so dass gilt: L·A = E und A·R = E, so gilt L=R und man nennt eine solche Matrix inverse Matrix A^-1. Zu jeder quadratischen Matrix A mit |A| ≠ 0 (reguläre Matrix) existiert eine inverse Matrix A^-1.

A^-1 =

        Der Rang einer Matrix

Fixiert man in einer m×n-Matrix k Zeilen und k Spalten mit k<= min(m,n) , so entsteht einer Teilmatrix, deren Determinanten auch Unterdeterminante oder Minor k-ter Ordnung von A genannt wird. Aus einer 4×5-Matrix kann man erhalten: 5 Minore 4-ter Ordnung, 40 Minore 3-ter Ordnung, 60 Minore 2-ter Ordnung und 20 Minore 1-ter Ordnung. Allgmein gilt für die Anzahl der Minore einer m×n-Matrix: N =

Die größte Ordnung, für die in der gegebenen Matrix ein von Null verschiedener Minor existiert, heißt Rang der Matrix A (rang(A), r(A)). (Anzahl der voneinander unabhängigen Zeilen einer Matrix)

Durch elementare Umformungen (wie Addition mit Proportionalelementen einer anderen Zeile(Spalte), Multiplikation einer Zeile(Spalte) mit von Null verschiedener Zahl, Vertauschen zweier Zeilen(Spalten)) ändert sich der Rang einer Matrix nicht. Durch solche Umformungen kann man jede Matrix auf eine Trapezform bringen (Gaußscher Algorithmus). Dann gilt: Der Rang der Matrix ist gleich der Anzahl der von Null verschiedener Zeilen der Matrix in der Trapezform. Mit Hilfe des Rangs von Matrizen kann man die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen klären.

Anwendungen:

in der Mathematik:    Lösen von Gleichungssystemen mittels Gaußschen Lösungsalgorithmus bzw. Cramerscher Regel Berechnen von Flächeninhalten (Dreieck,Parallelogramm) in der Ebene bzw. von Volumina (Quader,Würfel,Spat) im Raum

in der Wirtschaft:       Lösen von Optimierungsaufgaben (wie z.B.   n Erzeugnisse für die Fertigung eines Endproduktes werden in m Abteilungen anteilig gefertigt   oder    Logistikaufgaben u.ä.)

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