nach Termen mit gemeinsamer Variablenkonstellation ordnen
zusammenfassen durch Ausklammern der gemeinsamen Variablenkonstellation
Tägliche Übungen - Mathematik Klasse 11-I GK
1.) Zusammenfassen von Termen
|
nach Termen mit gemeinsamer Variablenkonstellation ordnen |
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zusammenfassen durch Ausklammern der gemeinsamen Variablenkonstellation |
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Koeffizienten und Variablen gesondert multiplizieren |
|
bei Variablen gegebenenfalls Potenzschreibweise (und –gesetze) nutzen |
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erst
Multiplikationsterme vereinfachen, dann zusammenfassen |
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gleiche Vorzeichen:
Beträge addieren, Vorzeichen bleibt |
|
ungleiche Vorzeichen: Beträge subtrahieren, Vorzeichen von Zahl mit
größerem Betrag |
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Additionszeichen zwischen Termen kann wegfallen |
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Gesamtvorzeichen
Minus bei ungerader Anzahl von Minuszeichen |
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Punktrechnung
(RO zweiter Stufe) geht vor Strichrechnung (RO erster Stufe) |
b)·(-
b) + (
0,5
b²)·(-
)
= 2a² -
b²3.) Rechnen mit Klammern
|
Plusklammer:
Pluszeichen und Klammer fallen weg; alle Terme in der Klammer
behalten ihr
Vorzeichen bei |
|
Minusklammer:
Minuszeichen und Klammer fallen weg; von allen Terme in der Klammer ist das
Entgegen- gesetzte zu bilden |
| Mehrfachklammern:
schrittweise von innen nach außen auflösen |
|
jeder Summand in der Klammer ist mit dem (vorzeichenbehafteten) Faktor außerhalb der Klammer zu multiplizieren |
5·(
3x – 2 )
= 15x – 10
7·(
4s – 3t ) - 8·( 2s + 5t )
= 28s – 21t – 16s
– 40t
= 12s – 61t
–4t·(
2s – 3 ) + 2s·( 4t – 3 )
= -8st + 12t + 8st –
6s
= 12t – 6s
(
5k – 4 )·5 - 2·( 8k – 10 )
= 25k – 20 – 16k +
20
= 9k
2x·( 2 – 2x + 5y )
– 2y·( 5x – 2 )
= 4x – 4x² + 10xy –
10xy + 4y
= -4x² + 4x + 4y
–3(4a–3b–3b²+2a²)–4(-3a–1,5a²
= -12a +9b +9b² -6a²
+12a +6a²
= 9b² + 9b
4x(
x – y) –[ 3x(
x +y) –2x(
x –y)]
= 4x² - 4xy – [
3x² + 3xy – 2x² + 2xy]
= 4x² - 4xy – 3x² -
3xy + 2x² - 2xy
=
3x² - 9xy
5(-2a+b)–2[(3a–5b)·4+(12–9a)·a]=
-10a + 5b – 2[ 12a – 20b + 12a – 9a²]
=-10a
+5b – 4a +40b –24a +18a²
= 18a² - 58a + 45b
4[ 4s(t–s)
– (s+4t)·3]
– 7s(s+8) = 4[
4st – 4s² - 3s – 12t ] – 7s² - 56s
= 16st –16s² -12s
–48t –7s² -56s
= -23s² - 68s + 16st – 48t
10.
(-2)[(-3t)(2a
– b) – (-4a)(10
– 2t)]
– (-6)(3a + 7t) = (-2)[-6at + 3bt + 40a –
8at] + 18a +42t
= 12at – 6bt – 80a + 16at + 18a + 42t
=
-62a + 28at – 6bt + 42t
|
jeder Summand der einen Klammer ist mit jedem Summanden der anderen Klammer zu multiplizieren |
|
beachten Sie die Struktur der Terme (Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz) |
(
7t + 8e )( x + 1 )
=
7tx + 7t + 8ex + 8e
(
5t² - 8t )( 2t³ + 4 )
=
10t5 – 16t4 + 20t² - 32t
(
4x² + 2,5y )( -x – 2y )
= -4x³ - 8x²y – 2,5xy – 5y²
(2x–3y–2)(4–2x+2y)=8x
–4x² +4xy –12y +6xy –6y² -8 +4x –4 = -4x² + 12x + 10xy – 16y – 6y² - 8y
(
x – 2)( -3x – 5 – y) = -3x² -5x –xy +6x +10 +2y
= -3x² + x – xy + 2y + 10
(2x+y)(x–y)–[(x+3)(2x–4y)+3(4y–2x)]=2x²-2xy+xy–y²-[2x²-4xy+6x-12y+12y–6x]
= + 3xy – y²
(
a + b )( 2a – 1 )·b
= (2a² - a + 2ab – b)·b
= 2a²b – ab +
2ab² - b²
(x
– 1)(x² + 2x – 1) – (x² - 2x + 1)(x + 2) = x³ +2x² -x –x² -2x +1 = x³ + x² - 3x + 1
a(3a
– b + 2ab – 1) – (a – b)(3a – b) = 3a² -ab +2a²b –a – [3a²
-3ab –ab +b²]
= 2a2b + 3ab –
a – b²
(-3x)(2x+3y)-(2x–3y)(3+4x–2y)=-6x²-9xy–[6x+8x²-4xy–9y–12xy+6y²]= -14x² - 6x + 7xy + 9y – 6y
3.4) Ausklammern (Faktorisieren)
|
gemeinsame Faktoren aller Summanden vor die neugebildete Klammer |
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die Restglieder in der Klammer erhält man durch Division der Ausgangssummanden mit dem auszuklam- mernden Term |
4xy + 2x – 6xy = 2·2·x·y
+ 2·x – 2·3·x·y
= 2x · ( 2y
+ 1 – 3y ) =
2x·(-y +1)
a +
b -
c
=
· 2a +
· 5b -
· c
=
· (2a + 5b – c)
42abc² - 30ab²c – 28a²bc = 2·3·7·a·b·c·c
– 2·3·5·a·b·b·c
– 2·2·7·a·a·b·c
a³ - 2a² + 4a
= a·a·a
– 2·a·a + 2·2·a
= a · ( a² - 2a + 4 )
–a – b
= -1·a
– 1·b
=
-1 · ( a + b )
a(
5x – 2y ) – b( 5x – 2y )
= ( a – b ) · ( 5x –
2y )
x( 3a – b ) + y(-3a
+ b ) + 3az – bz
= x·(
3a – b ) - y·( 3a – b ) + z·(
3a – b )
3at –
5bt + 3as –
5bs = 3a ·(
t + s ) – 5b ·( t + s )
= ( 3a – 5b ) · ( t + s )
3bx–7ax+6b²-14ab–12ab+28a²=3·b·x–7·a·x+2·3·b·b–2·7·a·b-2·2·3·a·b+2·2·7·a·a=(3b-7a)·(x+2b-4a)
oder =
3b
·
(x
+
2b)
+a ·
(-7x
-
26b
+
28a)
sx²y–tx²y+3ps–3pt–4as+4at=s·x·x·y–t·x·x·y+3·p·s–3·p·t–4·a·s+4·a·t
|
benutzen
Sie die Formeln aus dem Tafelwerk
|
|
verwandeln
Sie Binome in Summen bzw.
Summen zurück in Binome |
( s + t )² = s² + 2st + t²
(
12s + 4t )²
= 144s² +
96st + 16t²
( 5x + 6y
)²
= 25x² +
60xy + 36y²
(
9a + 6b )²
= 81a² +
108ab + 36b²
4s²
+ 12st + 9t²
= (2s + 3t)²
9x² + 4y²
+ 12xy
= (3x + 2y)²
t² + 2t
+ 1
= (t + 1)²
400n² +
9m² + 120mn
= (20n + 3m)²
( 1,2x +
5y )²
= 1,44x² + 12xy + 25y²
( s
– t )²
= s²
- 2st + t²
( 8n – 0,5m )²
= 64n² - 8mn + 0,25m²
k² - 24kl + 144l²
= (k – 12l)²
16s²
+ 25t² - 40st
= (4s - 5t)²
x²
-x +
0,25
= (x -
0,5
)²
x²
- 2x + 1
= (x – 1)²
25d²
+ 36c² - 60cd
= (5d – 6c)²
9x² + 64y² - 24xy = kein vollständiges Quadrat (-24xy ist kein doppeltes Produkt!)
x4
+ 100 – 20x²
= (x² - 10)²
4x² +
0,25·
y² - xy
= (2x -
0,5
y)²
(
2s + 5t )( 2s – 5t )
= 4s²
- 25t²
( x
+ 12s )( x – 12s )
= x²
- 144s2
( 16x –
11y )( 16x + 11y )
= 256x² - 121y²
9y² - 25
= (3y + 5)·(3y – 5)
169 –
144x²
= (13 + 12x) ·(13 – 12x)
196a² -
225b²
= (14a + 15b)·(14a
– 15b)
256p² -
16pq +
0,25
q²
= (16p -
0,5
q)²
x² -
y² = (
x +
y)· (
x -
y)
36a² -
4ab +
b²
= (6a – 2b)²
+ 2x + 100x²
= (
+ 10x)²
(
x² - 6x )² =
x4 – x³ + 36x²
x4
– y4
= (x²
+ y²)·(x² - y²)
4x4
– 25x²
= (2x² + 5x)·(2x² - 5x)
a² -
b²
= (
a +
b)· (
a +
b)
6.) Bruchterme
6.1)
Grundmenge und Definitionsbereich
Aufgabe:
Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Bruchterme bzgl. des Grundbereichs der rationalen
Zahlen!
|
beachten Sie: ein Bruch ist nicht definiert , wenn der Nenner Null und der Zähler ungleich Null ist |
|
sollten
beide Terme für eine Zahl Null werden, kann der Bruch gekürzt werden |
NR: 3 – x ≠
0 DB = { x
R |
x ≠ 3}
NR: a + 4 ≠
0 DB = { a
R |
a ≠ -4}
NR: 2x ≠
0
DB = { x
R |
x ≠ 0}
NR:
3 – 8a ≠
0
DB = { a
R |
a ≠ 3/8}
NR: a – 7 ≠ 0 und a ≠ 0 DB = { a
R |
a ≠ 0 und a ≠ 7}
NR:
b² + 4 ≠
0 DB = { b
R }
Kürzen
von x möglich DB = { x
R}
NR: 12x–20 ≠ 0 DB = { x
R | x ≠ 5/3 }
NR: x – 1 ≠ 0
DB = { x
R |
x ≠ 1}
NR: 3x + 5 ≠
0
DB = { x
R |
x ≠ - 5/3}6.2)
Erweitern von Bruchtermen
Aufgabe: Erweitern Sie den Bruchterm mit dem angegebenen Erweiterungsfaktor!
|
beachten Sie: Erweitern eines Bruches bedeutet , Zähler und Nenner mit dem gleichen Term multiplizieren |
|
nutzen
Sie danach ihre Fertigkeiten beim Multiplizieren von Summen |
erweitern
mit 2x
erweitern mit ( 2a – 4
)
erweitern
mit ( 3xy – 2 )
erweitern
mit ( a – b )
erweitern
mit ( a + b )
Aufgabe: Erweitern Sie den Bruchterm so dass der angegebene Nenner entsteht!
 | ermitteln Sie zunächst den Erweiterungsterm durch Division des neuen Nenners durch den alten Nenner |
| erweitern Sie danach den Bruch wie in den vorhergehenden Aufgaben |
auf
den Nenner: 10b – 15
auf
den Nenner: 10ab² -
15ab
auf den Nenner: 12x²z +
18xz²
auf
den Nenner: a² - b²
Aufgabe: Machen Sie die jeweils gegebenen Bruchterme gleichnamig!
|
ermitteln Sie zunächst den Hauptnenner beider Brüche als kleinstes gemeinsames Vielfache (kgV) beider Nenner |
|
erweitern Sie dann beide Brüche auf diesen Hauptnenner |
auf
den Nenner: 9a² + 6ab + b²
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
6.3) Kürzen von Bruchtermen
|
ermitteln Sie zunächst den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner (gegebenenfalls durch geschicktes Ausklammern) |
|
kürzen
sie dann gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner |
=
=
=
=
=
=
=
=
= 
=
=
= nicht
kürzbar, weil Zähler nicht in Produkt zerlegbar
=
= nicht
kürzbar, weil der Nenner nicht in Produkt zerlegbar
=
=
6.4)
Vereinfachung von Bruchtermen, Polynomdivision
Aufgabe:
Vereinfachen Sie den Bruchterm durch Zerlegen von Zähler und Nenner in
Faktoren und anschließendes Kürzen!
|
Verfahren
der Polynomdivision siehe Arbeitblatt
|
7.1)
Addition gleichnamiger Bruchterme
|
Zähler addieren,
Nenner beibehalten |
+
=
=
x2
-
=
-
-
=
-
-
=
=
-
-
=
=
7.2) Addition ungleichnamiger Bruchterme
|
ermitteln Sie zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner (Hauptnenner) |
|
erweitern sie dann beide Brüche auf den gemeinsamen Hauptnenner |
|
addieren
sie nun die gleichnamigen Brüche |
+
=
- 
=
-
- 
=
-
=
+
=
+
=
+
=
-
+
=
=
-
=
-
=
=
-
+
=
=
=
+
=
=
-
+
=
=
=
=
-
+
-
=
=
=
=
-
+
-
=
=
=
=
7.3)
Multiplikation von Bruchtermen
|
multiplizieren
Sie zunächst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner |
|
kürzen
sie dann gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner und vereinfachen Sie den
Bruch |
·20xy
=
=
16uy
=
=
=
=
=
ap²r
· ( 20x – 25y ) =
xy
=
=
=
· ( a + 2 )
7.4) Division von Bruchtermen
|
ersetzen
Sie zunächst die Division mit dem 2.Bruch (Divisor) durch eine Multiplikation
mit dessen Reziproken |
|
gehen
sie nun vor wie beim Multiplizieren zweier Brüche |
=
: 2x =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
8.)
Lineare Gleichungen und Bruchgleichungen
8.1)
Grundbereich, Definitionsbereich und Lösungsmenge
|
Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die Lösungsmenge der Gleichung jeweils für den Grundbereich der rationalen Zahlen Q, der ganzen Zahlen Z und der natürlichen Zahlen N! |
=
2
DB = {xR|x≠0}
x = 4
LQ = {4}
LZ = {4}
LN = {4}
=
DB = {xR|x≠2
und x≠0,25} x
= 1 LQ
= {1}
LZ
= {1}
LN = {1}
=
1
DB = {xR|x≠0,75} x = -1
LQ
= {-1}
LZ
= {-1}
LN = Ø
8.2)
Bestimmung der Lösungsmenge einfacher Gleichungen
1.
5x + 7 =
3x + 25 /-3x
2x +
7 =
25 /-7
2x =
18 /:2
x = 9
x = 6,8 
3.
2x – 9( 3x + 1 ) =
3( x – 7 ) + 5( x + 2 )
2x – 27x – 9 = 3x – 21 + 5x
+ 10
-25x – 9 = 8x – 11
/+25x
-9 =
33x – 11 /+11
2 =
33x /:33
( 0,0606)
(3,40909)
5.
13( 2x – 6 ) – 5( 3 + x ) =
4( 23 – 4x ) + 2( x – 7 ) + 7( x – 13 )
26x – 78 – 15 – 5x
= 92 – 16x + 2x – 14 +
7x – 91
21x – 93 =
-7x – 13 /+7x
28x – 93 =
-13 /+93
28x
= 80 /:28
x =
(2,857142)
6.
1,5( x – 4 ) -
0,5·
( 7 – 8x ) =
0,75·
( 16x – 7 ) – 8( 12x + 0,5 ) + 74,5x
1,5x – 6 – 3,5 + 4x =
12x – 5,25 - 96x – 4 + 74,5x
5,5x – 9,5 =
-9,5x – 9,25 /+9,5x
15x – 9,5 =
-9,25 /+9,5
15x =
0,25 /:15
x =
(0,0166)
7.
( x – 7 )² - 15( x + 7 ) =
( x – 2 )( x + 2 ) – 5( 3 + 4x ) + 8x
x² - 14x + 49 –15x – 105 =
x² - 4 – 15 – 20x + 8x
x² - 29x – 56 = x² - 12x –
19 /-x²
- 29x – 56 = -12x –
19 /+29x + 19
- 37 =
17x
x =
(-2,176470588)
8.
3x( x – 5 ) + 2( 3 – 2x )²
= 2x( 9 + 2x ) + ( 5 – 3x
)( 2 – 5x ) – 8x²
3x² - 15x + 2( 9 – 12x + 4x² ) = 18x + 4x² + 10 – 25x – 6x + 15x²
- 8x²
3x² - 15x + 18 – 24x + 8x² =
18x + 4x² + 10 – 25x – 6x + 15x² - 8x²
11x² - 39x + 18 =
11x² - 13x + 10 /-11x²
- 39x + 18 =
- 13x + 10 /+39x -10
+ 8 =
26x /:26
x =
(0,307692)
9.
( x – 5 )( 5 – x ) – 4x( 2 – x )
= ( 7x – 2 )( x + 5 ) –
2x( 2x + 3 )
5x
– x² - 25 + 5x – 8x + 4x² = 7x² + 35x –
2x – 10 – 4x² - 6x
3x² + 2x – 25 =
3x² + 27x – 10 /-3x²
2x – 25 =
27x – 10 /-2x + 10
-15
= 25x
/:25
x =
(-0,6)
10.
5x( x – 2 )² +
0,2·
( 4x – 2 )( 8 – 5x ) + 5x =
2( 6x + 4 )( 7 – 2x ) – x( 7 – 5x² )
5x( x² - 4x + 4 ) + 0,2·( 32x – 20x² - 16 + 10x ) + 5x = 2( 42x – 12x²
+ 28 – 8x ) – 7x + 5x³
5x³ - 20x² + 20x + 6,4x – 4x² - 3,2 + 2x + 5x
= 84x – 24x² + 56 – 16x
– 7x + 5x³
5x³ - 24x² + 33,4x – 3,2 =
5x³ - 24x² + 61x + 56 /-5x³
-24x² + 33,4x – 3,2 =
-24x² + 61x + 56 /+24x²
33,4x – 3,2 =
61x + 56 /-33,4x - 56
-59,2 =
27,6x /:27,6
(-2,14493)
11.
4 -
= 3 -
/·20
4·20
-
= 3·20 -
80 - 4·( 7 – 3x ) =
60 - 2·( 3 – 7x ) + 10·( x + 1 )
80
– 28 + 12x =
60 – 6 + 14x + 10x + 10
12x + 52 =
24x + 64 /-24x
-12x + 52 =
64 /-52
-12x =
12 /:( -12)
x =
-1
Probe: 2
= 2 w.A.
12.
- 4 =
1 -
/·12
- 12·4
= 12·1 -
4·( 4x – 1 ) – 48 =
12 - 2·( x – 4 ) + 3·( 3x + 5 ) - 3·17
16x – 4 – 48 =
12 – 2x + 8 + 9x + 15 – 51
16x – 52 =
7x – 16 /-7x
9x – 52 =
-16 /+52
9x = 36
/:9
x = 4 Probe: 1 = 1 w.A.
13.
+ 6
= 
/·30
·( x + 3 ) + 30·6 =
10·( 7x – 2 ) - 24·( x + 3 ) + 180
= 45·( x + 2 )
70x – 20 – 24x - 72 + 180 =
45x + 90
46x – 88 =
45x + 90 /-45x
x + 88 =
90 /-88
x =
2
Probe: 6
= 6 w.A.
14.
/ ·120
8·( 2x – 3 ) - 6·( 4x – 9 ) =
4·( 8x – 27 ) – 5·( 16x – 81 ) - 3·9
16x – 24 – 24x + 54 = 32x –108 –
80x + 405 – 27
-8x + 30 =
-48x + 270 /+48x
40x
+ 30 = 270
/-30
40x =
240 /:40
x =
6
Probe:
w.A.
8.3)
Bruchgleichungen
·
Ermitteln Sie die Lösungsmenge
folgender Bruchgleichungen, in dem Sie:
-
den Definitionsbereich bestimmen
-
mit dem Hauptnenner beide Seiten
multiplizieren
-
die bruchfreie Gleichung lösen
-
überprüfen, ob die Lösung im
Definitionsbereich liegt
- eine Probe in der Ausgangsgleichung machen
1.
= -
- 33 /·4x
DB = { x
R |
x ≠ 0}
5 = -28 – 132x /+28
33 = - 132x
x = -1/4 = -0,25
Probe: -5 = -5 w.A.
L = {-1/4}
2.
=
/·(2-x)(3-x)
DB = { x
R |
x ≠ 2 und x ≠ 3 }
3·(3
– x) = 2·(2 – x)
9 – 3x = 4 – 2x /+3x /-4
5 = x
Probe: -1 = -1 w.A.
L = {5}
3.
+
=
/·(2-3x)(x+3)
DB = { x
R |
x ≠ 2/3 und x ≠ -3 }
x + 3
+ 2·(2 – 3x) = 3·(2 – 3x)
7 – 5x = 6 – 9x /+9x – 7
4x = -1
x = -1/4 = -0,25
Probe: 12/11 = 12/11 w.A.
L = {-1/4}
4.
=
+ 3 /·2(2-x)
DB = { x
R |
x ≠ 2}
7 = 10 + 3·(4 – 2x)
7 = 22 – 6x /+6x – 7
6x = 15
x = 5/2 = 2,5
Probe: -7 = -7 w.A.
L = {5/2}
5.
+
=
2 /·(2+x)(3-x)
DB = { x
R |
x ≠ -2 und x ≠ 3 }
2x·(3
– x) + 3·(2 + x) = 2·(2 + x)(3 – x)
6x – 2x² + 6 + 3x = 2·(6 + x – x²)
-2x² + 9x + 6 = -2x² + 2x + 12 /+2x²
9x + 6 = 2x + 12 /-2x – 6
7x = 6
x = 6/7
Probe: 2 = 2 w.A.
L = {6/7}
6.
=
/·6(3x+2)
DB = { x
R |
x ≠ -2/3 }
3·(7x
– 4) = 2·(5x – 6)
21x – 12 = 10x – 12 /-10x + 12
11x = 0
x = 0
Probe: -1 = -1 w.A.
L = {0}
7.
-
=
-
/·2(3+x)(2+x)
DB = { x
R |
x ≠ -3 und x ≠ -2 }
8·(2
+ x) – 14·(3 + x) = 3·(3 + x) – 5(2 + x)
16 +
8x – 42 – 14x = 9 + 3x – 10 – 5x
-6x – 26 = -2x – 1 /+6x + 1
-25 = 4x
x = -25/4 = -6,25 Probe:
92/221 = 92/221 w.A.
L = {-25/4}
8.
=
+
/·(x+7)(x-7)
DB = { x
R |
x ≠ 7 und x ≠ -7 }
(3 +
x)(x + 7) = x² + 9·(x – 7)
x² +
10x + 21 = x² + 9x – 63 /-x²
10x + 21 = 9x – 63 /-9x – 21
x = -84
Probe: 81/91 = 81/91 w.A.
L = {-84}
9.
+
=
/·6(5+x)(5-x)
DB = { x
R |
x ≠ 5 und x ≠ -5 }
3x·(5
+ x) – 2·(5 – x) =
6·(0,5x² + x)
15x + 3x² - 10 + 2x =
3x² + 6x
3x² + 17x – 10 =
3x² + 6x /-3x²
17x – 10 =
6x /-6x + 10
11x = 10
x = 10/11
Probe: 32/585 = 32/585 w.A.
L = {10/11}
10.
-
=
-
/·2(1-x)(1+x)
DB = { x
R |
x ≠ 1 und x ≠ -1 }
10·(1
+ x) – 6x·(1 – x) =
6x² - 3·(1 – x)
10 + 10x – 6x + 6x² =
6x² - 3 + 3x
6x² + 4x + 10 =
6x² + 3x – 3 /-6x²
4x + 10 =
3x – 3 /-3x – 10
x = -13
Probe: -81/28 = -81/28 w.A.
L = {-13}
11.
-
=
/·2(5+x)(2-x)
DB = { x
R |
x ≠ 2 und x ≠ -5 }
8x·(2
– x) – 8x·(5 + x) =
16x·(2 – x)
16x – 8x² - 40x – 8x² =
32x – 16x²
-16x² - 24x =
-16x² + 32x /-8x²
-24x =
32x /+24x
0 = 56x /:56
x = 0
Probe: 0 = 0 w.A.
L = {0}
12.
+
=
+
/·3x(x-5)(x+2)
DB = { x
R |
x ≠ 5 und x ≠ -2 und x ≠ 0 }
9x·(x
+ 2) + 6x·(x – 5) = 12x·(x – 5) + 3·(x² - 3x – 10)
9x²
+ 18x + 6x² - 30x =
12x² - 60x + 3x² - 9x - 30
15x² -12x =
15x² - 69x – 30 /-15x²
-12x =
-69x – 30 /+69x
57x
= -30
x = -10/19 Probe: 57/70 = 57/70 w.A. L = {-10/19}
13.
+
=
+
/·2x(x-3) DB
= { x
R |
x ≠ 0 und x ≠ 3 }
2x +
6·(x – 3) = 6·(x – 3) + x
2x
+ 6x – 18 =
6x – 18 + x
8x – 18 = 7x – 18 /-7x
+ 18
x = 0
14.
-
=
/·7(3+2x)² DB = { x
R |
x ≠ -3/2 }
7·(3 + 2x) – 7x =
3,5·(3 + 2x)
21 + 14x – 7x =
10,5 + 7x
21 + 7x = 10, 5 + 7x /-7x
– 10,5
10,5 = 0 Widerspruch Probe: nicht möglich L = Ø
15.
+
=
-
/·2x(3+x)(3-x) DB = { x
R |
x ≠ 3 und x ≠ -3 und x ≠ 0 }
4x·(3
– x) + 2x·(3 + x) =
-4x² – 2·(9 – x²)
12x – 4x² + 6x + 2x² =
-4x² – 18 + 2x²
-2x² + 18x =
-2x² - 18 /+2x²
18x = -18
x = -1
Probe: 5/4 = 5/4 w.A.
L = {-1}
9.)
Ungleichungen und Bruchungleichungen
9.1)
Bestimmung der Lösungsmenge einfacher Ungleichungen
- beachten Sie die Unterschiede bei den Äquivalenzumformungen zwischen Gleichungen und Ungleichungen und geben Sie die Lösungsmenge im Bereich der reellen Zahlen an!
1.
3 + 2x
-7 – 3x /+3x – 3
2. 4 + 7x
> 3x – 16 /-3x – 4
5x
-10 /:5
4x > -20 /:4
x
-2
L = {x
R| x
-2 } x > -5
L = {x
R| x > -5 }
3.
13x – 5
10x + 23 /-10x + 5
4. 25x – 12 <
20x + 28 /-20x + 12
3x
28 /:3
5x < 30 /:5
x
L
= {x
R| x
28/3 }
x <
6
L = {x
R| x < 6 }
5.
3x + 5 <
5x – 7 /-5x - 5
6. x – 3
< 2x + 5 /-2x + 3
-2x < -12 /:(-2)
-x < 8 /·(-1)
x > 6
L = {x
R| x > 6 }
x > -8
L = {x
R| x > -8 }
7.
2x – 0,2 <
4x + 3 /-4x + 0,2
8. 2x + 2,5
6x – 1,5 /-2x + 1,5
-2x < 3,2 /:(-2)
4
4x /:4
x > -1,6
L
= {x
R| x > -1,6 }
x
1
L = {x
R| x
1 }
9.
0,5x – 7
-2x – 8 /+2x + 7
10. –1,5( x – 3 ) + x
2x -
x
-1 /·
-1,5x + 4,5 + x
2x -
x
-
L = {x
R|
x
-2/5
}
-0,5x
2x
-
/-2x
-
x
-
/·(-
)
-4 -3
-2 -1
0 1
2 3
x
L = {x
R|
x
3/20 }
Die
Lösungsmenge einer Ungleichung ist in der Regel eine unendlich große
Zahlenmenge, die durch einen bestimmten Bereich auf der Zahlengerade
veranschaulicht werden kann.
9.2)
Bruchungleichungen
Bestimmen
Sie die Lösungsmenge der Bruchungleichungen, in dem Sie:
-
den Definitionsbereich der
Ungleichung ermitteln
-
die Ungleichung mit dem Hauptnenner
durchmultiplizieren
-
dabei eine Fallunterscheidung
vornehmen für den Fall, dass der Hauptnenner größer(gleich) Null bzw. dass
der Hauptnenner kleiner als Null ist
-
die entstandenen Teilungleichungen
lösen und mit der Fallbedingung vergleichen
-
die Gesamtlösungsmenge aus den Lösungsmengen
der beiden Teilungleichungen zusammensetzen und graphisch veranschaulichen
-
mit geeigneten ganzen Zahlen aus
der Lösungsmenge eine Probe machen
1.
>
0 /·x
DB =
{ x
R| x ≠ 0}
x < 0
x > 0
x + 2
< 0 /-2
x +
2 > 0 /-2
x < -2
x >
-2
L1 = { x
R| x < -2}
L2 = {x
R| x > 0}
-3
-2 -1
0
1
2
3
>
0 /·x DB
= { x
x < 0
x > 0
3 -
x < 0 /+x
3 -
x > 0 /+x
x >
3 x
< 3
L1
= Ø
L2 = {x
R| 0 < x < 3}
L
= {x
R|
0 < x < 3}
0
/·x
DB = { x
R|
x ≠ 0}
x < 0
x > 0
x -
5
0 /+5 x -
5
0 /+5
x 5
x
5
L1
= Ø L2 = {x
R| 0 < x
5}
5}
4.
0
/·3x DB = { x
R|
x ≠ 0}
x < 0
x > 0
1 - 2x
0 /+2x 1 - 2x
0 /+2x
2x
1 /:2 2x
1
x
0,5
x
0,5
L1
= Ø L2 = {x
R| 0 < x
0,5}
R|
0 < x
0,5}
5.
>
0
DB = { x
R|
x ≠ 1}
>
0
3 >
0 L
= {x
R}
6.
0 /·(x+2)
DB = { x
R|
x ≠ -2}
x < -2
x > -2
x -
1
0
/+1
x -
1
0 /+1
x
1
x
1
L1 = Ø L2 = {x
R|
-2 < x
1}
L
= {x
R|
-2 < x
1}
7.
0
/·(x-4)
DB = { x
R|
x ≠ 4}
x < 4
x > 4
2x +
5
0 /-5
2x +
5
0
/-5
2x
-5 /:2 &nbs