Jahrgangsstufe:    11        Semester:    I

    Historische Entwicklung der Mechanik

ältestes Teilgebiet der Physik (seit ca. 4000 v.Chr.)

zunächst voneinander unabhängige Entwicklung von Technik und Wissenschaft

Archimedes:         - erste Naturgesetze (Hebelgesetz, Archimedisches Prinzip)

    (287 – 212 v.Chr.) - Anwendungen auf einfache Maschinen

Galileo Galilei:      - Begründer der theoretischen Physik

         (1564 – 1642)  - Experiment als Mittel zur Überprüfung theoretisch gefundener Aussagen

Isaac Newton:      - Begründer der klassischen Mechanik

 (1643 – 1727)  - Kraft  =  Masse x  Beschleunigung

 Physikalische Größen

 Basisgrößen: 

  1. Ort, Weg Länge         x, y, z,   s,  l        

  2. Zeit                               t                             Mechanik

  3. Masse                          m                        

  4. Temperatur                T  in Kelvin (K)

  5. el. Stromstärke           I   in Ampere (A)

  6. Stoffmenge                 n   in Mol  (mol)

  7. Lichtstärke                 IV  in Candela (cd)

·      werden ausschließlich über das Messverfahren definiert

zu (1)  1 m ist die Länge des Weges, den das Licht eines Gaslasers während der Dauer von s zurücklegt.

zu (2)  1 s   ist die Dauer von   9 192 631 770   Perioden der Strahlung des Nuklids Caesium 133.

zu (3)  Urkilogramm in Akademie der Wissenschaften (Paris)

 abgeleitete Größe:    z.B.   Kraft         F  =  m · a  =  m ·   =  m ·                  [F]  =  1kg ·   =  1N

            ·      werden mittels Gleichung aus den Basisgrößen abgeleitet

 http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/geschichte/01grundgroessen/index.htm

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        Augenblicksgeschwindigkeit - Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper (gegenüber einem anderen Körper) bewegt. Sie ist eine gerichtete Größe; d.h. für die Wirkung dieser Größe spielen sowohl ihr Betrag als auch ihre Richtung eine Rolle. Formelzeichen:                 Definitionsgleichung:   v  =                  Einheit:                      

v1 ist kleiner als v2, weil Tangente 1 flacher als Tangente 2

      

      

Die Augenblicksgeschwindigkeit gibt an, wie schnell und in welche Richtung sich ein Körper (gegenüber einem Bezugssystem) zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt. Sie ist im s-t-Diagramm als Anstieg der Kurve in einem Punkt (und damit als Anstieg der Tangente an die Kurve in diesem Punkt) erkennbar.

Man sagt:   Die Geschwindigkeit ist die 1.Ableitung des Weges nach der Zeit.                                             Symbolik:                      oder       

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        Klassifizierung der Bewegungen

mechanische Bewegungen
nach dem Betrag der Geschwindigkeit in

Bewegungsarten

nach der Richtung der Geschwindigkeit in

Bewegungsformen

gleichförmige Bewegungen v = konstant

beschleunigte (ungleichförmige)  Bewegungen                          v ändert sich

geradlinige Bewegungen Richtung konstant

krummlinige Bewegungen Richtung ändert sich

 

gleichmäßig beschleunigte Bewegung      v ändert sich gleichmäßig

ungleichmäßig beschleunigte Bewegung      freie  Änderung  von v

 

Bewegung auf Kreisbahn Richtung ändert sich gleichmäßig

beliebig krummlinige Bewegung  freie Änderung der Richtung

        Die geradlinig gleichförmige Bewegung

Ändert sich bei der Bewegung eines Körpers weder der Betrag noch die Richtung der Geschwindigkeit, so nennt man diese geradlinig gleichförmig. Will man eine solche Bewegung exakt beschreiben und zukünftig richtig voraussagen, benötigt man die sogenannten Bewegungsgesetze. Dies sind im Allgemeinen:

das Weg-Zeit-Gesetz
das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz

Frage:  Wie hängt bei einer gleichförmigen Bewegung der zurückgelegte Weg von der Zeit ab?

DE:   Bewegung eines Duplo-Elektrolok

t in s 0 1 2 3 4 5

Mit steigender Zeit wird der zurückgelegte Weg immer größer. Beide Größen scheinen einander annähernd proportional zu sein. mathematische Überprüfung:  Quotient s/t müsste konstant sein

s in cm 0 17 35 55 69 88
s/t in cm/s / 17 17,5 18,3 17,3 17,6

Obwohl der Quotient s/t nur in etwa konstant ist, kann man in Anbetracht der Messmethode (Handstoppung) von einer annähernd gleichförmigen Bewegung mit v ≈ 17,5 cm/s sprechen, was auch durch ein Einzeichnen der Messwertepaare in ein s-t-Diagramm bestätigt wird. Die Punkte, welche je ein Messwertpaar darstellen, liegen annähernd auf einer Geraden durch den Koordinatenursprung, was in der Mathematik Indiz für zueinander proportionale Zahlenreihen war. Dem Proportionalitätsfaktor kommt hier die Bedeutung der konstanten Geschwindigkeit zu. Sie ist als Anstieg der Gerade im Diagramm sichtbar. Unter Berücksichtigung bereits vor Beobachtungsbeginn zurückgelegter Wege ergibt sich also das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung

                                              s(t) =  s  =  v · t  +  so

Bei  gleichförmigen Bewegung werden in gleichen Zeiten auch gleiche Wege zurückgelegt (siehe E-Lok-Experiment).

Bei der Frage nach dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung bedarf es keiner experimentellen Untersuchungen. Wegen der Definition der gleichförmigen Bewegung ist klar: Die Geschwindigkeit ist unabhängig von der ablaufenden Zeit immer gleichgroß. Es gilt deshalb:

                                              v(t) =  v = konstant

Im v-t-Diagramm ergibt das eine Parallele zur Zeit-Achse; die Rechteckfläche unter dieser Gerade ist ein Maß für den in der Zeit t zurückgelegten Weg.

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        Augenblicksbeschleunigung

Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert. Auch sie ist eine vektorielle Größe, bei der neben dem Betrag auch die Richtung große Auswirkungen auf das Ergebnis haben kann.  

 Formelzeichen:                 Definitionsgleichung:                    Einheit:   1 m/s2  

 

a1 ist positiv, weil die Tangente 1 monoton steigt; a2 ist negativ, weil Tangente 2 monoton fällt
a1 ist vom Betrag her kleiner als a2, weil Tangente 2 steiler fällt, als Tangente 1 steigt
      

      

Die Augenblicksbeschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körper (gegenüber einem Bezugssystem) zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. Sie ist im v-t-Diagramm als Anstieg der Kurve in einem Punkt (und damit als Anstieg der Tangente an die Kurve in diesem Punkt) erkennbar.

Man sagt:   Die Beschleunigung  ist die 1.Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.                                             Symbolik:                       oder       

 

        Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Eine Bewegung eines Körpers, bei der die Richtung der Geschwindigkeit konstant bleibt,  der Betrag der Geschwindigkeit jedoch gleichmäßig zu- oder abnimmt , nennt man  geradlinig gleichmäßig beschleunigt. Auch bei dieser Bewegungsart interessieren wir uns für die sogenannten Bewegungsgesetze. 

DE:   Gleiter auf Luftkissenbahn bei 5g Beschleunigungsmasse

t in s 0 0,58 0,89 1,08 1,43 1,85 2,08 Mit Blick auf das Diagramm wird klar, dass diesmal keine direkte Proportionalität zwischen beiden Größen besteht. Die Form der Kurve (Parabel) lässt einen quadratischen Zusammenhang vermuten. (Prüfung mit Quotienten s/t2)
s in cm 0 10 20 30 50 80 100
s/t2 in cm/s2 / 29,7 25,2 25,7 24,5 23,4 23,1

Auch bei genaueren Messverfahren kann man Messfehler nicht ganz vermeiden. Trotz Einsatz von Lichtschrankentechnik ist der Quotient s/t2 nicht komplett konstant. Aber mit Ausnahme des ersten Wertes bleiben die anderen fünf Werte annähernd konstant um den Mittelwert ≈24,5 cm/s2 wodurch die Proportionalität zwischen s und t2 ganz gut bestätigt wird. Die Bedeutung des  Proportionalitätsfaktor zwischen s und t2 wird erst nach Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Geschwindigkeit und Zeit vollständig klar, er hat jedenfalls die Dimension einer  (konstanten) Beschleunigung . Der Anstieg der Kurve im s-t-Diagramm  ist auch hier wieder als Momentangeschwindigkeit interpretierbar. Unter Berücksichtigung  von Anfangsgeschwindigkeit und bereits vor Beobachtungsbeginn zurückgelegter Wege ergibt sich also das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

                                              s(t) =  s  =  ½a · t2  +  vo·t + so

Bei  gleichmäßig beschleunigten Bewegung wachsen die in gleichen Zeiten zurückgelegten Wege mit der Zeit an.

 

t in s 0 0,58 0,89 1,08 1,43 1,85 2,08

Der Quotient (Prüfung mit v/t) bestätigt die vermutete direkte Proportionalität zwischen beiden Größen. Sie ist auch Kriterium für den Begriff der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, denn gleichmäßig zu- oder abnehmen kann man als linearen Zusammenhang zwischen beiden Größen interpretieren. (konstanter Proportionalitätsfaktor  49 cm/s2 ist etwa halb so groß wie der beim Weg-Zeit- Zusammenhang)

v in cm/s 0 30 45 50 70 92 100
v/t in cm/s2 / 51,7 50,6 46,3 49,0 49,7 48,1

Bei der Untersuchung des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes der gleichmäßig beschleunigten Bewegung können wir zwei verschiedene Messverfahren einsetzen. Die über eine Lochscheibe und den BM1 auf einem Spannungsmessgerät abgeschätzten Geschwindigkeitswerte erweisen sich erwartungsgemäß als ziemlich ungenau. Besserer Werte liefert die Messung mit einer einzelnen Lichtschranke. Das zugehörige Diagramm zeigt eine ansteigende Gerade durch den Koordinatenursprung. Der Quotient v/t ist definitionsgemäß die Beschleunigung a. Es gilt deshalb:

                                              v(t) =  a · t + vo

Auch hier ist die Fläche unter der Gerade  im v-t-Diagramm  ein Maß für den in der Zeit t zurückgelegten Weg.

Nun lassen sich auch für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen zurückgelegte Wege, benötigte Zeiten oder erreichte Geschwindigkeiten im Voraus berechnen.

Bsp.: Ein Auto steigert in 2,5 s seine Geschwindigkeit von 45 km/h auf 72 km/h. Wie groß ist der dabei zurückgelegte Weg?
geg.:  v1 = 45 km/h = 12,5 m/s                       ges.:  s

         v2 = 72 km/h = 20 m/s

         t = 2,5 s

Lösung:  a = v/t = (20m/s - 12,5m/s)/2,5s = 3 m/s2

         s = ½a·t2 + v1·t = 1,5m/s2·(2,5s)2 + 12,5m/s · 2,5s = 40,625 m 

oder  aus dem Flächeninhalt des Trapezes:   A = ½·(a + c)·h   folgt   s = ½·(v1 + v2)·t = ½·(12m/s + 20m/s)·2,5s    dabei erhält man ebenfalls:                  s = 40,625 m

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        Verbundene Bewegungen

Unter verbundenen Bewegungen versteht man mechanische Bewegungen, welche aus mehren Teilen unterschiedlicher Bewegungsart bestehen. Dabei kommt es darauf an, die einzelnen Bewegungsabschnitte richtig den bekannten Bewegungsarten zuzuordnen und die physikalischen Größen den Bewegungsabschnitten übersichtlich zuzuweisen (z.B. durch Verwendung geeigneter Indize). Ein Beispiel soll dies belegen:

Ein Aufzug beschleunigt zunächst gleichmäßig aus der Ruhe und erreicht nach  3 s  eine Höhe von 2,7 m über dem Erdgeschoss. In den nächsten  5 s bewegt er sich gleichförmig auf eine Höhe von 11,7 m  . Danach bremst er  2 s  lang gleichmäßig ab und kommt in einer Höhe von 13,5 m  zum stehen.

a)    Berechnen Sie die maximal erreichte Geschwindigkeit und die beiden Beschleunigungen!

b)    Zeichnen Sie das s-t-Diagramm, das v-t-Diagramm und das a-t-Diagramm!

Das s-t-Diagramm ist ohne jede Rechnung aus den Angaben des Textes zeichenbar. Beachten Sie bitte, dass im ersten (gleichmäßig beschleunigten) Abschnitt im Diagramm ein nach oben geöffnete Parabelstück mit Scheitelpunkt in O(0|0) ; im dritten (gleichmäßig verzögerten) Abschnitt ein nach unten geöffnetes Parabelstück , dass wegen des im Stillstand Endens der Bewegung mit Scheitelpunkt P(10|13,5) gezeichnet werden muss.
vII = s/t = (11,7m - 2,7m)/5s = 9m/5s = 1,8 m/s
oder
aI = (2s)/t2 = 5,4 m/9s2 = 0,6m/s2
vEI = v(3s) = a · t = 0,6m/s2 · 3s = 1,8 m/s

konstant ansteigende Gerade in Abschnitt 1 wegen der gleichmäßigen Geschwindigkeitszunahme, Parallele zur Zeitachse in Abschnitt 2 wegen der gleichförmigen Bewegung; konstant abfallende Gerade wegen des Bremsens in den Stillstand im Abschnitt 3

aI = v/t = (1,8m/s - 0)/3s = 0,6m/s2
aIII = v/t = (0 - 1,8m/s)/2s = -0,9m/s2
oder
aI = (2s)/t2 = 5,4 m/9s2 = 0,6m/s2
aIII = (2s)/t2 = (-)3,6 m/4s2 = (-)0,9m/s2

Parallele zur Zeitachse im 1.Quadranten; Beschleunigung gleich Null im gleichförmigen Bewegungsabschnitt; Parallele zur Zeitachse im IV.Quadranten wegen der Geschwindigkeitsabnahme und der damit verbundenen negativen Bremsbeschleunigung

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        Der freie Fall als Sonderfall gleichmäßig beschleunigter Bewegungen

Die Bewegung eines Körpers, auf den außer seiner zum Erdmittelpunkt gerichteten Schwerkraft (Gewichts- kraft)  keine zusätzliche Kraft wirkt, nennt man freien Fall. Im Vakuum fallen alle Körper unabhängig von ihrer Masse und Form gleichschnell.

 Frage:    Ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung?

Weg s in m 0 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8
Zeit t1 in s 0 0,24 0,25 0,3 0,33 0,39
Zeit t2 in s 0 0,22 0,27 0,27 0,37 0,41
Zeit t3 in s 0 0,18 0,23 0,3 0,38 0,39
Zeit t in s  0 0,21 0,25 0,29 0,36 0,40
  a =  / 9,1 9,6 9,5 9,3 9,4
  v = / 1,9 2,4 2,8 3,3 4

Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der konstanten Beschleunigung  a = g  in Richtung des Massenmittelpunktes des Himmelskörpers, auf dem der Körper fällt. 

gErde (mitteleuropäische Lage)  =  9,81 m/s²

gErde (Äquator)  =  9,79 m/s²

gErde (am Nordpol)  =  9,83 m/s²

gMond  =  1,62 m/s² 

Für den freien Fall können aus den Gesetzmäßigkeiten der gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhelage die Fallgesetze abgeleitet werden:

Weg - Zeit - Gesetz Geschwindigkeit - Zeit - Gesetz Beschleunigung - Zeit - Gesetz
  s = -½·g·t2 v = -g · t a = -g = konstant

Ist der Körper dem Luftwiderstand ausgesetzt, so strebt seine Geschwindigkeit nach anfänglich beschleunigter Bewegung einem konstanten Wert zu. Dann gilt nach einer gewissen Zeit nämlich folgendes Kräftegleichgewicht:   

   FG = FL (Luftreibungskraft)   

  m·g = ½·ρ·A·cw·v2    

     v =

(ρ - Dichte der Luft; A - Querschnittsfläche; cw - Luftwiderstandswert)  

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        Überlagerte Bewegungen - Das Unabhängigkeitsprinzip

Körper können gleichzeitig mehreren Bewegungseinflüssen unterliegen

z.B.:   Schwimmer im Fluss,  Flugzeug im Wind  u.ä.

Dabei gilt das Unabhängigkeitsprinzip (auch Superpositionsprinzip genannt):

Teilbewegungen überlagern sich störungsfrei zu einer resultierenden Gesamtbewegung (die ein außenstehender Beobachter wahrnimmt)

Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen addieren sich vektoriell

                              

Das Unabhängigkeitsprinzip gilt nur für kleine Geschwindigkeiten  (v << c).

 Es können sich überlagern:

zwei gleichförmige Teilbewegungen

zwei gleichmäßig beschleunigte Teilbewegungen 

eine gleichförmige mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Winkel zw. Geschwindigkeiten Skizze

resultierender Weg

resultierende Geschwindigkeit

beliebiger Winkel

  <  α  <  180°

s = v =

rechter Winkel

α  =  90°

s = v =

gleichgerichtet

α  = 

s  =  s1  +  s2 v  =  v1  +  v2

entgegengesetzt gerichtet

α  =  180°

s  =  s1  -  s2 v  =  v1  -  v2

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        Der senkrechte Wurf

Der senkrechte Wurf ist eine überlagerte Bewegung aus:

einer gleichförmigen Bewegung mit 
+voy in Richtung der y-Achse (Wurf nach oben
 -voy gegen die Richtung der y-Achse (Wurf nach unten)
einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit 
a = -g (freier Fall) gegen die  Richtung der y-Achse 
Weg-Zeit-Gesetz y = voy · t + yo y = -½g · t2 + yo

y(t) = -½g · t2 + voy · t + yo

Steighöhe:

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz vy = voy = konstant vy = -g · t

vy(t) = -g · t + voy

    Steigzeit:  

Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ay = 0 ay = -g = konstant

ay(t) = -g = = konstant

Bahnkurve da beide Bewegungsanteile in entgegengesetzte (oder in gleiche) Richtung zeigen, erfolgt die Bewegung des senkrecht geworfenen Körpers entlang einer Geraden

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        Der waagerechte Wurf

Der waagerechte Wurf ist eine überlagerte Bewegung aus:

einer gleichförmigen Bewegung mit 
vox in Richtung der x-Achse 
einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit 
a = -g (freier Fall) gegen die  Richtung der y-Achse 
Weg-Zeit-Gesetz x = vox · t 

y = -½g · t2 + yo  

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz vx = vox = konstant

vy = -g · t

Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ax = 0 

ay = -g = konstant

Bahnkurve

da beide Bewegungskomponenten im rechten Winkel zueinander stehen und unterschiedlicher Art sind (gleichförmig bzw. glm. beschleunigt) durchläuft der waagerecht geworfene Körper eine parabelförmige Flugbahn (Wurfparabel)            

Gesamtgeschwindigkeit v =
Auftreffwinkel tanα  =  vy/vx  =  (-g·t)/vox

Aufgabe:

Ein Flugzeug fliegt horizontal mit einer Geschwindigkeit von 270 km/h in einer Höhe von 125 m und soll eine Spreng- ladung für das Aufbrechen eines eingefrorenen Flusslaufes abwerfen. In welchem horizontalen Abstand vor dem Ziel muss die Sprengladung abgeworfen werden?

bei Aufgaben zum waagerechten Wurf gibt es häufig zwei verschiedene Lösungsmöglichkeiten:

über Zerlegen in Bewegungskomponenten über die Gleichung der Wurfparabel
 aus   y = -½g · t2 + ybzw. 0 = -4,905m/s2 · t2 + 125m erst einmal die Fallzeit ermitteln:  tF = 5,05 s

danach über x = vox · t = 75m/s · 5,05s = 378,75m

oder aus durch Umstellen nach x

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        Der schräge Wurf 

Der schräge Wurf ist eine überlagerte Bewegung aus:

einer gleichförmigen Bewegung mit 
vo in Richtung einer Geraden unter einem Winkel α zur x-Achse 
einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit 
a = -g (freier Fall) gegen die  Richtung der y-Achse 
diese Anfangsgeschwindigkeit vo kann man

                vox = vo · cosα

in zwei Komponenten zerlegen

             voy = vo · sinα

Weg-Zeit-Gesetz x = vo · cosα · t  y = -½g · t2 + vo · sinα·t + yo
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz vx = vox = vo · cosα = konstant vy = -g · t + vo · sinα
Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ax = 0  ay = -g = konstant
Bahnkurve

da beide Bewegungskomponenten im rechten Winkel zueinander stehen und unterschiedlicher Art sind (gleichförmig bzw. glm. beschleunigt) durchläuft der waagerecht geworfene Körper eine parabelförmige Flugbahn (Wurfparabel)      

(Bahnkurve vom schrägen Wurf nicht verwechseln mit y-t-Diagramm beim senkrechten Wurf!)

Gesamtgeschwindigkeit

Auftreffwinkel

tanα  =  vy/vx  =  (-g·t+vo·sinα)/(vo · cosα)

charakteristische Werte: Steighöhe:Steigzeit: Wurfweite:

Aufgabe:

Ein Stein wird unter einem Winkel von 60° gegen die Horizontale mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s abgeworfen. (Der Einfluss des Luftwiderstandes soll unberücksichtigt bleiben!)

  1. Bis zu welcher Höhe über dem Abwurfort steigt der Stein?                              sh = 15,3 m
  2. Welche Zeit benötigt er, bis er den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat?    th = 1,77 s
  3. Welche Flugweite legt er zurück? (Abwurf- und Auftreffort in gleicher Höhe)      xW = 35,3 m
  4. In welcher Höhe über dem Abwurfort befindet er sich nach 3 s Flugzeit?           y(3s) = 7,82 m
  5. Welche Geschwindigkeit hat er im höchsten Punkt seiner Bahn?                      v(1,77s) = vox = 10 m/s

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        Einführung in die Dynamik 

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        Die physikalische Größe Kraft 

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        Kräfteaddition, Kräftezerlegung 

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        Die Newton'schen Axiome 

Erfahrungssätze, aufgestellt von Isaac Newton (1643 – 1727)

 (1)  Trägheitsprinzip

a) Ist die Summe aller auf einen Körper einwirkenden Kräfte gleich Null, so bewegt er sich geradlinig gleichförmig weiter (wenn er sich bewegt hat) oder verharrt in Ruhe (wenn er vorher in Ruhe war).

b) Soll der Bewegungszustand eines Körpers geändert werden (Betrag oder Richtung der Geschwindigkeit),        muss eine Kraft auf ihn einwirken.

            

Hinweis:  Trägheit  -  Beharrungsvermögen eines Körpers gegenüber Bewegungsänderungen

              -  je größer die Masse m des Körpers, desto träger ist der Körper

(2)  Grundgesetz der Dynamik (Newtonsches Grundgesetz)

 DE:  Beschleunigung eines Wagens auf Luftkissenbahn durch Gewichtskraft eines Massestücks 

m = 300g = 0,3kg = konstant FB = 0,05N = konstant

FB in N

 0,05

 0,1

 0,15

a in m/s²

 0,12

 0,23

 0,38

m in kg

 0,3

 0,2

 0,1

a in m/s²

 0,12

 0,17

 0,33

 

a  ~  F , wenn  m = konstant  a  ~  , wenn  F = konstant

F =  m · a             

Die zum Erreichen einer bestimmten Beschleunigung erforderliche Kraft ergibt sich aus dem Produkt der gewünschten Beschleunigung mit der Masse des Körpers (Kraft gleich Masse mal  Beschleunigung).

 (3)  Wechselwirkungsprinzip

Wirken zwei Körper aufeinander ein, so greift an jedem der beiden Körper je eine Kraft an. Diese Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet und gleichgroß.          F12  =  - F21 

 

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        Spezielle Kräfte - Prinzip von d'Alambert 

1.  Gravitationskraft

F = γ·   

γ - Gravitationskonstante 

gibt an, wie stark sich zwei Körper aufgrund ihrer Massen anziehen (spielt nur bei sehr massereichen Körpern eine Rolle)

Gewichtskraft   

F = g · m      

        

gibt an, wie stark ein Körper auf seine Unterlage drückt bzw. an seiner Aufhängung zieht
zum Erdmittelpunkt gerichtet
g – Fallbeschleunigung (Quotient γ· entspricht der Fallbeschleunigung)
g = f(r) 
2.  Federkraft 

FF = D · Δl

 

gibt an, wie stark eine Feder ihrer Verformung F = D·Δl entgegenwirkt 
D - Federkonstante  Maß für die Härte der Feder
Δl - Längenänderung  - der Verformung entgegengerichtet der Feder 
3.  Reibungskraft

FR = μ · FN   

gibt an, wie stark die Bewegung eines Körpers behindert wird 
der Bewegungsrichtung entgegengerichtet
μ – Reibungszahl - (beschreibt die Oberflächenbeschaffenheit einer Stoffkombination)
FN – Normalkraft   - senkrecht auf die Unterlage wirkende Kraft   

Luftwiderstandskraft

FR = 0,5·A·cW·ρ·v²   

gibt an, wie stark die Bewegung eines Körpers durch Luftreibung behindert wird
A – Querschnittsfläche des bewegten Körpers
ρ – Dichte des Mediums
v – Geschwindigkeit
cW – Strömungswiderstandswert 
4.  Trägheitskraft  

FT = m · a   

berücksichtigt den Einfluss der trägen Masse auf das Bewegungsverhalten von Körpern
der Beschleunigungsrichtung entgegengerichtet
5.  Zentripetalkraft

FZ = m·   

Kraft, die erforderlich ist, um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten
stets zum Kreismittelpunkt gerichtet
 r – Bahnradius

Prinzip von d’Alambert:        Σ(Fstatisch + Fdynamisch)  =  0

                                      wichtig: Richtung der Kräfte durch Vorzeichenwahl berücksichtigen

                  statische Kräfte:           FG , FR (Haftreibung)

                                                                  dynamische Kräfte:      FT , FR (Gleit- oder Rollreibung) , FZ

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Jahrgangsstufe:    11        Semester:    II

        Mechanische Arbeit und Energie

mechanische Arbeit

mechanische Energie

· wird verrichtet, wenn ein Körper verformt, gehoben, beschleunigt oder gegen die Reibung gleichförmig bewegt wird

 W  =  F · s     (F = konstant; Kraft wirkt in Wegrichtung)

 [W]  =  1 Nm  =  1 J

· besitzt ein Körper (oder eine mechanisches System), wenn es in der Lage ist, mechanische Arbeit zu verrichten (oder Wärme abzugeben oder Licht auszusenden)

 E

 [E]  =  1 Nm  =  1 J  = 1 kg·m2·s-2

 

Hubarbeit:    

 FHub = FG = m·g

Whub = Fhub·h = m·g·h

potentielle Energie: Arbeitsvermögen, das ein mechanisches System aufgrund seiner gehobenen Lage oder seiner elastischen Verformung hat (Bezugssystem nötig)

Bsp.:  gehobener Rammbär, gespannter Bogen

 Verformungsarbeit:     wird später extra behandelt

Beschleunigungsarbeit: 

  WB = FB·s = m·a·s

 WB = 0,5·m·v2  (aus der Ruhe)

kinetische Energie: Arbeitsvermögen, das eine mechanisches System aufgrund seines Bewegungszustandes besitzt (Bezugssystem erforderlich)

Bsp.:  herabfallender Rammbär, Wasserkraftwerk, Orkan

Reibungsarbeit:  Arbeit, zur Überwindung der Reibung   

 Fzug = FR μ·FN = μ·FG = μ·m·g (waagerechte Unterlage)

  WR = Fzug·s = μ·m·g·s                   

wandelt mechanische Energie in thermische Energie um
 Satz von der Erhaltung der mechanischen Arbeit

 F1 · s1 = F2 ·s2     (Goldene Regel der Mechanik)

 Energieerhaltungssatz der Mechanik (EESdM)

 Epot + Ekin = konstant = Eges (abgeschlossenes System)

Die mechanische Arbeit ist eine Prozessgröße, mit der Energieänderungen mechanischer Systeme erfasst werden Die mechanische Energie ist eine Zustandsgröße, mit der das Arbeitsvermögen von mechanischen Systemen erfasst wird
Zusammenhang: Die Änderung der mechanischen Energie des Systems entspricht der verrichteten Arbeit am System.

                                               W  =  ∆E  =  EEnde - EAnfang

                           WB  =  ∆Ekin;             WHub  =  ∆Epot;               WR = ∆Etherm  =  -∆Emech

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Verallgemeinerung des Arbeitsbegriffes

Die einfache Gleichung zur Berechnung mechanischer Arbeit:  W  = F · s  unterliegt zwei wichtigen Einschränkungen. Sie ist nur gültig, wenn:

die wirkende Kraft über den gesamten Weg  konstant bleibt
Kraft- und Wegvektor in dieselbe Richtung zeigen

Bei Beschleunigungsarbeit, Hubarbeit und Arbeit zur Überwindung der Reibung ist das häufig erfüllt; aber es gibt auch Gegenbeispiele.

 

     

Lösung:  a) es gilt:   cosα = Fs/F      woraus folgt:    Fs = F·cosα       und damit:   W = Fs · s

                                                                                                                                        W = F · cosα · s

                  b)    WR   = μ ·m·g·s                                                                                                       W = 180N·cos20°·800m

                       m =  Wr/(μ·g·s) = 135,3·103Nm/(0,1·9,81m/s·800m)          W = 135 kNm = 135 kJ

                           m = 172, 42 kg

allgemein gilt also für die mechanische Arbeit:        W  =  F · s · cosα    oder     W  =    (Skalarprodukt)

                                                        Bedingung:        entlang des gesamten Weges greift eine konstante Kraft an

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        Federspannarbeit

Beim Spannen einer Feder (eines Bogens) ist die Spannkraft über den gesamten Spannweg nicht konstant, sondern häufig proportional zum Spannweg.

    es gilt für eine konkrete Feder :  Fs ~  s

    und damit das Hookesche Gesetz:   Fs  =  D · s

                   D - Federkonstante (beschreibt den Bau der Feder) [D]  =  1 N/m

    Die Fläche unter dem Graphen im F - s - Diagramm ist ein     

   Maß für die beim Spannvorgang verrichtete Spannarbeit.

    Also gilt:             Ws = ½· Fs · s  =  ½· D · s2

Aufgabe: Einer in einer Hülse sitzende Feder wird durch eine daraufgelegte Kugel von 50 g Masse um x = 2 mm zusammengedrückt. Wie hoch fliegt die Kugel, wenn die Feder weitere 15 cm zusammengedrückt und dann plötzlich entspannt wird?

Bestimmung der Federkonstanten aus der Veränderung der Feder von A nach B:

  F  =  D · ∆l

  D  =  F/∆l  =  FG/∆l

  D  =  (0,05kg·9,81m/s2)/(0,002m)

  D  =  245,25 N/m

  A              B             C              D             E

 

 E=0   Epotv(b) < Epotv(c) = Ekin + Epot = Epot

     Wv klein   Wv groß

Epotv(c)  =  EpotL(e)

  ½·D·s2  =  m·g·(h + s)

      h + s  =  (½·D·s2) /(m·g)

            h  =  (D·s2)/(2·m·g) - s

           h  =  5,624 m

                für F = konstant                   für F ~ s                         für den allgemeinen Fall:  F ist beliebige Funktion von s  

                                               

    W = F · s                            W = ½· F · s                         W  = 

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        Die mechanische Leistung

Die physikalische Größe "mechanische Leistung" gibt an, wie schnell eine mechanische Arbeit verrichtet wird.

Formelzeichen:    P            Gleichung:    P  = W/∆t        Einheit:    1 W(att) =    1 J/s    =    1 Nm/s

Beispiel:    Stangenklettern im Sportunterricht  ( h = 4 m )

                Schüler 1 (m1 = 54 kg):    ∆t1 = 2,5 s        P1 = (m1·g·h)/∆t1 = 2118,96J/2,5s = 847,6 W 

                Schüler 2 (m2 = 72 kg):    ∆t2 = 3,2 s        P2 = (m2·g·h)/∆t2 = 2825,28J/3,2s = 882,9 W

Schlussfolgerung: Schüler 2 hat die größere Leistung vollbracht, obwohl er länger benötigt zum Hochklettern.

Herleitung einer neuen Leistungsformel:      = W/∆t = (F·s)/∆t = F · v    (Voraussetzung: gleichförmige Bew.)

Aufgabe:     Eine Elektrolok mit einer Leistung von 1,34 MW bringt im Gebirge eine Zugkraft von 105 kN auf.

                    Mit welcher Höchstgeschwindigkeit fährt diese Lok auf der Gebirgsstrecke?

Lösung:    P  = F · v        v  =  P/F  =  1,34 MW/105 kN  =  1,34·106W/105·103

                                                                                              = 1,34·106Nm/1,05·105Ns = 12,762 m/s = 45,9 km/h

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        Impuls und Kraftstoß

Kraftstoß   Impuls 
· erfährt ein Körper, wenn auf diesen eine Kraft über einen Zeitraum (Zeitspanne) einwirkt · besitzt ein Körper zu jedem Zeitpunkt gegenüber einem anderen Körper aufgrund seiner Geschwindigkeit und seiner Masse

   [S] = 1 Ns

   [p] = 1(kg·m)/s

Schwerpunktsatz:

Der Massenmittelpunkt eines Systems wird solange nicht beeinflusst, solange nur innere Kräfte wirken.

 

 

Impulserhaltungssatz:

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Einzelimpulse konstant.    

Der Kraftstoß ist eine vektorielle Prozessgröße, mit der Impulsänderungen von Körpern (Systemen) erfasst werden Der Impuls ist eine vektorielle Zustandsgröße, mit der der Bewegungszustand eines Körpers oder mechanischen Systems erfasst wird.
Zusammenhang:   Die Änderung des Impulses entspricht dem auf den Körper ausgeübten Kraftstoß.

Herleitung des Impulserhaltungssatzes(am Beispiel eines elastischen Zusammenstosses zweier Körper):

                 v1                v2

 

          u1                       u2      

vor dem Stoß

 

Zusammenstoß

 

nach dem Stoß

                  F21  =  - F12  (Wechselwirkungsgesetz)

              m1·a1  = - m2·a2  (Newtonsches Grundgesetz)

    m1·(∆v1/∆t)  = - m2·(∆v2/∆t)  (Definition: Beschleunigung)

     m1·(u1 - v1) = - m2·(u2 - v2) (Geschwindigkeitsdifferenzen)

            m1·u1 - m1·v1  =  - m2·u2 + m2·v2              

           m1·u1 + m2·u2  =  m1·v1 + m2·v2                  

            m1·v1 + m2·v2  =  m1·u1 + m2·u2                  

(p1 + p2) vor dem Stoß  =  (p1 + p2) nach dem Stoß

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        Stoßvorgänge in der Mechanik

gerader Stoß
Körper bewegen sich vor und nach dem Stoß auf geradlinigen Bahnen
zentraler Stoß
Körper bewegen sich vor und nach dem Stoß auf der Verbindungslinie ihrer  Massenmittelpunkte
elastischer Stoß
Körper bewegen sich nach dem Stoß unabhängig voneinander (mit verschiedenen Geschwindigkeit)
 alle beim Kraftstoß aufgetretenen Formänderungen bilden sich vollständig wieder zurück
es gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik (EESdM)
unelastischer Stoß
Körper bleiben nach dem Stoß zusammen und bewegen sich mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiter
die beim Kraftstoß aufgetretenen Formänderungen bilden sich nicht vollständig zurück
der Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt nicht (Emech Etherm)

           Der gerade, zentrale elastische Stoß

                                                           v1                                         v2

es gelten:    IES:   m1v1 + m2v2  =  m1u1 + m2u2            EES:     0,5m1v12 + 0,5m2v22  =  0,5m1u12 + 0,5m2u22

                                    m1v1 - m1u1  =    m2u2 - m2v2                                    m1v12 - m1u12  =    m2u22 - m2v22

                                    m1(v1 - u1)  =    m2(u2 - v2)                                m1(v12 - u12)  =    m2(u22 - v22)

                                                                                                 m1(v1 + u1)(v1 - u1)  =    m2(u2 - v2)(u2 - v2)

 

                            EES : IES        v1 + u1  =  v2 + u2     Gleichung I

                                            m1(v1 - u1)  =    m2(u2 - v2)    Gleichung II

                    · (v1 - u1)  =  u2 - v2         nun Einsetzungsverfahren

                                    u2  =  · (v1 - u1) + v2                                v1 + u1  =  v2  · (v1 - u1) + v2

                                                                                                                                        v1 + u1  =  2v2  · (v1 - u1

                                                                                                                                        m2v1 + m2u1  =  2m2v2 + m1 v1 - m1u1

                                                                                                             m2u1  + m1u1 =  2m2 v2 + m1 v1 - m2v1  

                                                                                                            (m2  + m1)u1 =  2m2 v2 + (m1 - m2)v1  

                                                                                                                            u1 v + v2

                                                                                 analoge Herleitung ergibt:            u2 v2 + v    

                                                                    u1                                            u2

 

        Sonderfälle des elastischen Stoßes

  v1,v2 beliebig v1 beliebig, v2=0 Beispiele
m1 = m2 u1 = v2

u2 = v1

Körper tauschen ihre Geschwindigkeiten

u1 = 0

u2 = v1

 

Stoß von Billiardkugeln, Curlingssteinen u.ä.
m1 >> m2 u1 = v1

u2 = -v2 + 2·v1

leichter Körper von schwerem Körper weggestoßen

u1 = v1

u2 = 2·v1

 

Aufschlag bei Tennis, TT, Abschlag beim Golf
m2 >> m1   u1 = -v1 + 2·v2

u2 = v2

leichter Körper prallt am schweren Körper ab

u1 = -v1

u2 = 0

 

Ball gegen Wand werfen

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        Der gerade, zentrale unelastische Stoß

Merkmale: eine gemeinsame Geschwindigkeit nach Stoß, EESdM gilt wegen bleibender Formänderung nicht

                                            p1(vor dem Stoß) + p2(vor dem Stoß)  =  p(nach dem Stoß)

                                                                                m1·v1    +    m2·v2    =    (m1 + m2) · u

                                            u     =    · v1  +  · v2

    

        Sonderfälle des unelastischen Stoßes

 

v1= -v2  

v1 beliebig, v2=0

Beispiele

m1 = m2 u = 0

Körper neutralisieren sich 

u = 0,5·v1 Frontal- und Auffahrunfälle
m1 >> m2 u = v1

schwerer Körper reißt den leichten Körper mit

u = v1 Beladen von fahrenden Fahrzeugen
m2 >> m1 u = v2

leichter Körper bleibt im schweren Körper stecken

u = 0  Erlegen von Wild

        Umkehrung des unelastischen Stoßes - das Rückstoßprinzip       

bei unelastischem Stoß gilt:        p1(vor dem Stoß)  + p2(vor dem Stoß)  =  p(nach dem Stoß)

im Sonderfall (z.B. gleiche Massen bewegen sich mit gleichen Geschwindigkeitsbeträgen aufeinander zu):    p1(vor dem Stoß)  + p2(vor dem Stoß)  =  0         

Beim Rückstoß läuft der physikalische Prozess genau umgekehrt ab; zwei zunächst ruhende Körper eines Systems bewegen sich nach Wirkung innerer Kräfte in entgegengesetzte Richtung auseinander:                           

                                                    0  =  p1(nach dem Stoß)  + p2(nach dem Stoß)

                                                                0  =  m1·u1  +  m2·u2

                                                                u2  =  - (m1/m2)  ·u1

Beispiel - Raketenstart:  zunächst gilt nach Rückstoßgleichung     vR = - mG/mR·vG    wir ändern aus schreibtechnischen Gründen in:  vR = - m/M·vG                                       

                                                                            m - Masse der Verbrennungsgase                                           

                                                                M - Masse des Raketenkörpers

da sich aber durch das Ausströmen der heißen Verbrennungsgase sowohl m als auch v ständig ändern, muss der IES neu angesetzt werden:        

                vG·dm  + (m + M - dmdv = 0        

                                                                            dm - Masse der in kurzer Zeit ausgestoßenen Verbrennungsgase

                                                                            dv  - die in dieser kurzen Zeit erfolgte Geschwindigkeitsänderung

Dies ist eine sogenannte Differentialgleichung, welche durch Integration gelöst werden kann:

Ergebnis:   vR = - vG·ln[(m + M)/M]    Raketengleichung  (K.E.Ziolkowski)

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        Ballistisches Pendel

Bei gleichzeitiger Anwendung von EESdM und IES kann durch einen gezielten Schuss auf einen an einem Fadenpendel befestigten Holzklotz bei Messung des Auslenkwinkels die Geschossgeschwindigkeit einer Luftdruckwaffe ermittelt werden.

 u = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)        0,5·m·u2 = m·g·l·(1 - cos α)

die Umformung ergibt:   v1  = [(m1 + m2)/m1√2g·l·(1 - cos α)

gemessen:    m1 = 0,47g    m2 = 63,6g    l = 0,54m    α =22°

daraus ergibt sich als Geschossgeschwindigkeit:  v1 = 119,7 m/s    (für eine "Knicker")

        Kinematik der Rotation

    Gleichförmige Kreisbewegung eines einzelnen Massepunktes

Bsp.:    Drehung beim Hammerwurf vor dem Abwurf; Bewegung eines Sitzes bei einem Kettenkarussell

Weg s  =  Kreisbogen b

        s = b  =  v · t

Bahngeschwindigkeit:  

        v  =  ∆s/∆t

        v  =  (2π·r)/T = konstant

s  =  φ · r

v  =  ω · r

Drehwinkel φ  (immer im Bogenmaß)

       φ  =  ω · t

Winkelgeschwindigkeit:  

       ω  =  ∆φ/∆t

(meist in der Einheit:  1/s oder 1/min)

T  =  t/N  

(N - Anzahl der Umdrehungen)

f  =  N/t = n  (n - Drehzahl)

Umlaufzeit:  T       (Zeit für eine Umdrehung)

Frequenz:  f    (Anzahl der Umläufe pro Sekunde)

T  =  1/f

ω  =  2π/T

ω  =  2π·f

Die gleichförmige Kreisbewegung eines einzelnen Massepunktes ist genau genommen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung; die vektorielle physikalische Größe "Bahngeschwindigkeit" ändert zwar nicht ihren Betrag, wohl aber ständig ihre Richtung. Nach dem II.Newtonschen Gesetz müsste also eine Kraft für eine solche Bewegung notwendig sein. Diese konstante Kraft ist stets zum Kreisbahnmittelpunkt gerichtet und wird Radialkraft (Zentripetalkraft) Fr genannt.

Radialkraft:    Fr = m·ar = m·ω2·r = (m·v2)/r                    Radialbeschleunigung:     ar  = ω2·r  =  v2/r

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        Drehbewegung - gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Rotation

Bewegen sich viele Massepunkte um dasselbe Drehzentrum mit gleicher Winkelgeschwindigkeit, nennt man das - im Gegensatz zur gleichförmigen Kreisbewegung - gleichförmige Drehbewegung oder gleichförmige Rotation. Zur Beschreibung solcher Rotationen (auch für nichtgleichförmige) benötigt man ein neues Modell; das Modell des starren Körpers:

System von starr verbundenen Massepunkten, die ihren gegenseitigen Abstand beibehalten 
Körper ändert nur seine Orientierung gegenüber anderen Körpern im Raum, nicht aber seine Gestalt
alle Punkte durchlaufen in gleichen Zeiten den gleichen Drehwinkel

Damit lassen sich nun folgende Gesetzmäßigkeiten für die rotierende Bewegung von Körpern formulieren:

gleichförmige Rotation mit Anfangsbedingungen gleichförmige Rotation ohne Anfangsbedingung gleichm. beschl.Rotation ohne Anfangsbedingung gleichm. beschl. Rotation mit Anfangsbedingungen
Drehwinkel- Zeit- Gesetz

φ=ω · to

φ  =  2Π · N

 φ     t

φ  = ω · t

φ  =  2Π · N

φ    t

φ=0,5·α· 

φ  =  2Π · N

φ    t

φ=0,5·α·t²+ωo·t+φo

φ  =  2Π · N

φ     t

Winkelge- schwindig- keits- Zeit-  Gesetz

ω=const≠0

ω  =  2Π · n

ω       t

ω=const≠0

ω  =  2Π · n

ω     t

ω = α · t

φ =

ω  =  2Π · n

ω    t

ω = α · t + ωo

φ =

ω  =  2Π · n

ω     t

Winkelbe- schleuni- gungs- Zeit-  Gesetz α = 0

α        t

α = 0

α      t

α =const.≠0 α    t α =const.≠0

α     t

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        Dynamik der Rotation (in Analogie zur Dynamik der Translation)

Ausgehend von unseren Kenntnissen über die Gesetze der Dynamik geradliniger Bewegungen (Translation) kann man - bis auf wenige Ausnahmen - durch bloße "Übersetzung" der entsprechenden physikalischen Größen auf die Gesetzmäßigkeiten der Dynamik der Rotation schlussfolgern.

Translation Beziehungen Rotation

Zeit       t

Weg      s

Geschwindigkeit   v

Beschleunigung   a

Masse   m

 

 

 

Kraft     F

Impuls  p

Energie Ekin

 Arbeit   W

 

 

 

physikalische Größen

 s  =  φ · r

v  =  ω · r

a  =  α · r

J  =  m· r² (Massepunkt)

(J  =  )

M  =  F · r   ( F  r)

p = m · v           L = J ·ω

Ekin= 0,5·mv²     Erot= 0,5·Jω²

W  =  F · s         W  =  M · φ

(W = )           (W = )

 

Zeit    t            (Umlaufzeit  T)

Drehwinkel  φ       (φ = 2Π·N)

Winkelgeschwindigkeit ω  (ω =2Π·n)

Winkelbeschleunigung  α

Trägheitsmoment   J

 

 

 

Drehmoment   M

Drehimpuls    L

Energie   Erot

Arbeit   W

 

 

 

 

F  =  m · a

wenn  F = 0      , dann   a = 0

p1 + p2 +...+ pn = const.

Epot + Ekin  =  const.

physikalische Gesetze

Newtonsches Grundgesetz

Trägheitsgesetz

Impulserhaltungssatz

Energieerhaltungssatz der Mechanik

 

M  =  J · α

wenn    M  =  0   , dann      α  =  0

L1 + L2 + … + Ln  =  const.

Epot + Ekin + Erot  =  const.

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Jahrgangsstufe:    12        Semester:    I

            Gravitation - Gravitationsgesetz 

Historischer Abriss der Entwicklung unserer Vorstellungen von der Welt  

   3000 v.u.Z.  ägyptische Priester führen Himmelsbeobachtungen durch, entwickeln erste Kalender, sagen Nilüberschwemmung voraus, Tierkreiszeichen

400 v.u.Z.  Aristoteles, Ptolemäus -  geozentrische Weltbild

- alle Himmelskörper bewegen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf Kreisbahnen

- alle Himmelskörper bestehen aus perfektem Material, das seine vorgegebenen Eigenschaften (z.B. Helligkeit) nicht ändert

- die Erde (Scheibe) ist im Zentrum des Universums

    Mittelalter   Entwicklung von Sterntafeln für die Seefahrt

                           

um 1500     N.Kopernikus entwickelte das heliozentrische Weltbild

        - Sonne im Mittelpunkt des Universums

        - alle Planeten (also auch die Erde) bewegen sich auf Kreisbahnen um die Sonne

        - Rotation der Erde um ihre eigene Achse

um 1600     T.Brahe, G.Galilei, Johannes Kepler

           genauere Beobachtungsmethoden (Mauersextant, Fernrohr) bestätigen Un-

           stimmigkeiten im aristotelischen Weltbild (Epizyklen bei Planeten,                                     

           Helligkeitsschwankungen bei Sternen)

1600           öffentliche Verbrennung des Dominikanermönches G.Bruno als Höhepunkt des

     Widerstandes der Kirche gegen das neue Weltbild

1633           Inquisitionsprozess gegen G.Galilei wegen Ketzerei, Galilei wird zum Widerruf

                            des heliozentrischen Weltbildes gezwungen

1687           Isaac Newton klärt mit der Entdeckung des Gravitationsgesetzes die Ursachen

     der Himmelsordnung

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Claudius Ptolemäus (100 – 160 n.u.Z.)    -       Almagest (150 n.u.Z.)

                   

                

Nicolaus Kopernikus (1473 – 1543)   -   De revolutionibus orbium coelestium (1543)                     

Tycho Brahe (1546 – 1601)   -   genaueste Beobachtung von Sternörtern (Mars)

                                   

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            Die Keplerschen Gesetze

Johannes Kepler ( 1571 – 1630 )  - deutscher Astronom            

1.   Keplersches Gesetz

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

  2.   Keplersches Gesetz

Die Verbindungslinie Planet - Sonne (Leitstrahl) überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

(Planeten in Sonnennähe schneller, bei großem Abstand zur Sonne aber langsamer)

  3.   Keplersches Gesetz

Das Verhältnis der Quadrate der Umlaufzeiten zweier verschiedener Planeten ist genau so groß wie das Verhältnis der dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen.

  oder besser:  

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            Das Gravitationsgesetz

offene Frage:         Warum bewegen sich die Himmelskörper auf annähernden Kreisbahnen?

Newtons Ansatz:     - Vereinfachung der Planetenbahnen zu Kreisen

                    - aus „irdischer Mechanik“ bekannt: bei Kreisbewegung Radialkraft FR nötig

                    - Übertragung dieser Tatsache auf Himmelsmechanik

                    - welcher Natur ist diese Radialkraft?

Gravitation:  Alle Körper ziehen sich auf Grund ihrer Massen gegenseitig an. Diese Anziehung nennt man Gravitation, die Anziehungskräfte nennt man Gravitationskräfte. 

Gravitationskräfte wirken zwischen den Himmelskörper als Radialkräfte. Sie sind gleichgroß und entgegengesetzt gerichtet. 

FG

Die Gewichtskraft eines Körpers ist die Gravitationskraft, mit der die Erde auf den Körper einwirkt.                                        

 Gravitationsgesetz:                              

F  ~  m1 ; m2  (r = konst.)  

F  ~     (m1;m2 = konst.) 

Bestimmung der Gravitations- konstanten auf der Erde mittels Gravitationsdrehwaage

Textfeld:

m1  F1                  F2   m2

Abstand r

  F  =  γ ·    

           γ – Gravitationskonstante

         γ = 6,67·10-11 N·m²·kg-2  

 

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            Schlussfolgerungen aus dem Gravitationsgesetz

Mit dem Gravitationsgesetz ist es möglich, einige astronomisch interessante Größen per Herleitung auszurechnen, 

z.B. die Erdmasse: aus:

folgt:

 

und daraus nach Kürzen und Umstellen:  

FGewicht = FGravitation

         

z.B. die Sonnenmasse: da die Erde um die Sonne rotiert, ist die Gravitationskraft der Sonne auf die Erde die Radialkraft, die die Erde auf ihrer Kreisbahn hält. Daraus folgt:

und daraus:

 

mit ω= 2π/T  und nach Kürzen und Umstellen:

FGravitation(Erde-Sonne)= FRadial 

                          

z.B. die für die Umrundung der Erde notwendige Kreis- bahngeschwindigkeit da der Satellit um die Erde rotiert, ist die Gravitationskraft der Erde auf den Satelliten die Radialkraft, die den Satelliten auf ihrer Kreisbahn hält.  

Daraus folgt:

 

und daraus:

 

FGravitation(Erde-Satellit) = FRadial

                  

                 

zwei Tiden innerhalb eines Mondzyklus

 

Ebbe und Flut wechseln sich also aller 6 Stunden ab

Gezeiten               

Ursache für das Auftreten von Ebbe und Flut ist die Gravitationskraft des Mondes, mit der dieser auf die beweglichen Wassermassen wirkt

die Differenz der Wasserstände bei Ebbe bzw. bei Flut nennt man Tide oder Tidenhub

ausschlaggebend für den genauen Ablauf der Gezeiten ist aber auch die gemeinsame Bewegung von Erde und Mond um den Massenschwerpunkt S, welche zu einer rotierenden Bewegung aller Erdoberflächenpunkte und damit zu einer Zentrifugalkraft in jedem Punkt der Erdoberfläche führt

Jahreszeiten

   neben der Gravitation  zwischen Sonne und Erde spielt für die Erklärung der Jahreszeitenentstehung auch die konstante Neigung der Erdachse von ca. 66,5°  gegenüber der Erdbahn-  ebene  (konstanter Drehimpuls) eine wichtige Rolle

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            Gravitationsfelder

  

annähernd homogenes Feld

inhomogenes Radialfeld

Faußen  =  konst.  =  m · g

Whub  =  F · s = m·g·Δh  

Hubarbeit  (an der unmittelbaren Erdoberfläche)

 

 

 

Arbeit im Gravitationsfeld der Erde:

Faußen  =  γ ·  ≠ konst.

W  =    =  γ·M·m·

W  =  γ·M·m· = γ·M·m( )

Energie im Gravitationsfeld: 

Festlegung des Nullpunktes der pot. Energie in unendlich großer Entfer- nung von der Erde

Epot(r) = - γ ·   

               (potentielle E. für r > rE)

Ekin(r) =  · γ ·  

               (kinetische E. für  r > rE)

E(r) =  -   · γ ·

              (Gesamtenergie)

1.kosm.Geschw.    vK   =        7,9 km/s

                                          (Kreisbahngeschwindigkeit um die Erde)

2.kosm.Geschw.    vP   =       11,2 km/s

                               (Fluchtgeschwindigkeit aus dem G-feld der Erde)

3.kosm.Geschw.  vh      16,7 km/s

                             (Fluchtgeschwindigkeit aus dem G-feld der Sonne)

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geplante Schülervorträge:

Themen Vortragender voraussichtlicher Termin
EKG und EEG Nadine, Lorenz 08.11. / 09.11
Millikan - Versuch Lisa 17.11
Zyklotron Felix  
Gleich- und Wechselstromgenerator Theresa  
Transformator Ricco  
Gesetzmäßigkeiten im Gleichstromkreis    

                    Elektrizitätslehre

Der Einfluss des elektrischen Stromes auf die Arbeit und das Leben des Menschen:

Verlängerung der Tagesarbeitszeit durch elektrisches Licht, dadurch auch Schichtarbeit möglich

verbesserte Mobilität der Menschen durch z.B. Straßenbahn, elektrifizierte Eisenbahn, U-Bahn, Standseil- und Schwebebahnen, Transrapid

Erleichterung der beruflichen Arbeit durch z.B. elektrische Werkzeugmaschinen, Lastenkräne, Gabelstapler, Kopierer, Drucker, usw             

Erleichterung der Hausarbeit z.B. durch elektr. Waschmaschinen, Bügeleisen, Elektroherd, Staubsauger

Erschließung neuer Freizeitmöglichkeiten wie z.B. Radio, Fernsehen, Computer, Disko, Amateurfunk u.a.

verbesserte Kommunikationsmöglichkeiten  durch Telefon, Handy, Fax,

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            Zur Geschichte der Elektrizitätslehre

  Begriff:     elektron (griechisch)   -   der Bernstein

um 1600                                 Entdeckung der Reibungselektrizität bei versch. Stoffen

um 1660                                 erste Elektrisiermaschinen ( z.B. von Otto v. Guericke )

um 1760                                 Entdeckung des Blitzableiters  ( B. Franklin )

um 1800                                 Entwicklung der ersten Batterien  ( A. Volta )

    1831       M. Faraday            physikalische Grundlagen der Elektrotechnik

    1867       W. v. Siemens       erster praktisch nutzbarer Generator

    1882       T. A. Edison           Inbetriebnahme des ersten Kraftwerkes in New York (7200 Glühlampen angeschlossen)

    1884                                  Inbetriebnahme des ersten europäischen Kraftwerkes in Berlin

    1885                                  Inbetriebnahme des ersten Wärmekraftwerkes mit zwölf Generatoren

    1891                                  erste Fernübertragung elektrischer Energie 

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             Der einfache Stromkreis

Ein Strom fließt nur dort, wo sich eine elektrische Energiequelle in einem geschlossenen Stromkreis befindet.

Ein einfacher Stromkreis besteht aus:

elektrisch leitende Kabelverbindungen

Da man Stromfluss nicht direkt mit den menschlichen Sinnen wahrnehmen kann, erkennt man ihn an den Wirkungen des elektrischen Stromes:

Wärmewirkung (Heizplatte)
magnetische (mechanische) Wirkung (Elektromagnet)
Lichtwirkung (Glühlampe, Glimmlampe)
chemische Wirkung (Oberflächenveredlung von Metallen z.B. Verkupfern, Verchromen, Verzinken usw.)
biologische Wirkung (Beeinflussung (Schädigung) von lebenden Zellen)

Frage: Wie kommt es in einem geschlossenen Stromkreis zu einem Stromfluss?

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            SchülerExperiment - Elektrostatik

Nr. Experimentierauftrag Beobachtungsergebnis Erklärung
1

a) Halten Sie den Plaststab dicht über einige Papierschnipsel!  

b) Reiben Sie den Plaststab an Ihrer Kleidung und wiederholen Sie den Versuch!

 

a) keine Wirkung des Plaststabes auf die Papierschnipsel

b) Anziehung der Papierschnipsel durch geriebenen Plaststab

a) es existieren keine Kräfte zwischen den Körpern

b) durch Reibung wurden Ladungen getrennt, der geladene Plaststab übt eine Anziehungskraft auf die ungeladenen Papierschnipsel aus 

2

Wiederholen Sie den Versuch 1 mit:                                          

a) einer Plastscheibe                 

b) einer Aluminiumscheibe

a) Papierschnipsel werden wie bei 1. angezogen                 

b) geringe Anziehung

a) siehe 1b)

b) bei Aluminiumscheibe ist die Ladungstrennung offenbar geringer

3

a) Setzen Sie die Plastscheibe dreh- bar auf einen Objektträger (Reiter + Spitze) und nähern Sie den geriebenen Plaststab einer Ecke der Plastscheibe              

b) Wiederholen Sie den Versuch      mit der Aluminiumscheibe!

 

a) Plastscheibe folgt dem geriebenen Plaststab und setzt sich langsam in Drehbewegung   

b) schnelle Drehbewegung  der Aluminiumscheibe

a) geriebener (aufgeladener) Plaststab übt auf ungeladene Plastscheibe eine Anziehungskraft aus

b) die Anziehungskraft des geladenen Plaststabes auf die Aluminiumscheibe ist offenbar größer

4

Wiederholen Sie den Versuch 3 mit der Plastscheibe; reiben Sie aber vor dem Aufsetzen auch die Plastscheibe an Ihrer Kleidung! (Hinweis: Berühren Sie die geriebene Plastscheibe beim Aufsetzen nicht mehr mit bloßen Händen)

wieder Drehung der Plastscheibe, aber diesmal weg vom geriebenen Plaststab

 

Plaststab und -scheibe wurden bei Reibung an der Kleidung gleichnamig aufgeladen, dadurch kommt es nun zu Abstoßungskräften zwischen beiden
5

Streichen Sie den geriebenen Plaststab am Träger des Elektroskops ab! Führen Sie diese Tätigkeit mehrmals hintereinander aus!

nach Abstreichen des geriebenen Plaststabes am Elektros- kop reagiert dessen Zeiger mit einem Ausschlag         

Gestell und Zeiger des Elektroskops werden gleichnamig auf- geladen, zwischen beiden tritt eine Abstoßungskraft auf
6

Nehmen Sie einen Kontakt der Glimmlampe zwischen Daumen und Zeigefinger einer Hand. Berühren Sie mit dem geriebenen Plaststab den freien Kontakt der Glimmlampe!

im Moment der Berührung zwischen der Glimmlampe und dem geriebenem Plaststab leuchtet die Lampe  kurz auf (eventuell leichtes Knistern hörbar)

die überschüssigen Ladungen auf dem geriebenen Plaststab fließen über die Glimmlampe und unseren Körper auf den Erdboden ab, es erfolgt ein Ladungsausgleich
7

Elektrisieren Sie das Elektroskop wie im Versuch 5! Bringen Sie den Träger des elektrisierten Elektroskops wie in Versuch 6 mit der in einer Hand gehaltenen Glimmlampe in Berührung!

im Moment der Berührung  zwischen dem elektrisiertem Elektroskop und  der Glimmlampe leuchtet diese  kurz auf, gleichzeitig geht der Zeigerausschlag zurück

die im Elektroskop gespeicherten überschüssigen Ladungen fließen über die Glimmlampe und unseren Körper in den Erdboden ab; der Zeigerrückgang beweist den Ladungsausgleich

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Durch Reibung (innige Berührung) zweier Nichtleiter gehen die Elektronen vom Isolator mit der geringeren Elektronenaffinität (z.B.Seidentuch) zum Isolator mit der größeren Elektronenaffinität (z.B.Plaststab) über. Nach der Berührung liegen getrennte Ladungen vor: das Seidentuch besitzt Elektronenmangel (ist positiv geladen); der Plaststab besitzt Elektronenüberschuss (ist negativ geladen). Ladungstrennung ist die Voraussetzung für jeden Stromfluss.

                                                   

Ladungstrennung kann erfolgen durch:

elektrostatische Prozesse (Reibung, Influenzmaschine, Bandgenerator)
elektrochemische Prozesse (Batterie, Akkumulator)
elektrodynamische Prozesse (Generator, Dynamo)

aber auch in Piezoelementen (Druck) oder Thermoelementen (Temperaturgefälle) u.a. findet Ladungstrennung statt.

Die physikalische Größe "elektrische Ladung" gibt an, wie groß der Elektronenmangel bzw. -überschuss eines Körpers ist.        

Formelzeichen: Q    Einheit:  1 Coulomb    1 C  =1 As    ist eine sehr große Ladung; meist in nC oder pC angegeben

Gleichung:  Q = I · ∆t  (bei konstant fließendem Gleichstrom)        Q = (bei nichtkonstantem Stromfluss)

Nachweisgerät:  Elektroskop

Protonen und Elektronen tragen die kleinste in der Natur auftretende Ladung, die   Elementarladung  e  mit         e = 1,602·10-19 C.  Jede Ladung ist ein Vielfaches dieser Elementarladung.     Q = N · e

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            Kräfte zwischen elektrisch geladenen Körpern - das Coulombsche Gesetz

   Im Experiment mit den Weihnachtsbaumkugeln wird deutlich:

ungleichnamig geladene Körper ziehen einander an
gleichnamig geladene Körper üben Abstoßungskräfte aufeinander aus
die Kräfte sind umso größer, je größer die elektrischen Ladungen der Körper sind
die Kräfte sind umso kleiner, je größer der Abstand zwischen den geladenen Körpern ist

aus  F ~ Q1·Q2 (falls r = konstant)    und  F  ~ (falls Q1 und Q2 konstant bleiben)  folgt zunächst:    F   

eine Vielzahl von Experimenten führte zum passenden Proportionalitätsfaktor:

    Coulombsches Gesetz:                F  =      

                                                                                    mit  εo = 8,854·10-12 As/Vm  (elektrische Feldkonstante)

Influenz ist die Trennung von Ladungen in einem Körper unter dem Einfluss der von äußeren Ladungen ausgeübten elektrischen Kraft.

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    Das elektrische Feld

In der Umgebung elektrisch geladener Körper existiert ein Raum mit besonderen Eigenschaften. In diesem Bereich wirken auf elektrisch geladene (sogar teilweise auf kleine ungeladene) Probekörper Kräfte. Diesen Raum nennt man deshalb elektrisches Feld. Obwohl das elektrische Feld den menschlichen Sinnesorganen kaum zugänglich ist, ist es eine real existierende Erscheinung, die durch Kräfte auf geeignete Probekörper (geladene oder kleine ungeladene) nachgewiesen werden kann. Zur Veranschaulichung solcher elektrischer Felder nutzt man das Modell "Feldlinienbild". Es beschreibt das elektrische Feld - wie jedes Modell - nur unvollständig, ermöglicht aber trotzdem eine Reihe von  Aussagen über Richtung und Stärke und damit über die Wirkungen elektrischer Felder auf ihre Umgebung.

    Das Feldlinienbild

macht Aussagen über die Richtung der auf eine Probeladung einwirkenden Feldkraft
macht (nur qualitative) Aussagen über den Betrag der Feldkraft
macht keine Aussagen über die räumliche Ausdehnung des elektrischen Feldes
auch zwischen den Feldlinien existiert das elektrische Feld

http://www.pk-applets.de/phy/efeld/efeld.html

Auf folgende Aspekte ist beim Zeichnen eines Feldlinienbildes zu achten:

die Feldlinien beginnen und enden jeweils an der Oberfläche geladener Körper (senkrechter Ein- und Austritt)
die Richtung der Feldlinien entsprechen der Richtung der Feldkraft auf eine positive Probeladung
die Abstände zwischen den Feldlinien sind ein Maß für den Betrag der Feldstärke (je enger die Feldlinien, umso stärker das elektrische Feld
legt man durch einen Punkt der Feldlinie eine Tangente, so liegt auf diesem der Vektor der Feldkraft

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    Die elektrische Feldstärke

DE:   eine geladene Kugel hängt an langem Faden im Feld eine geladenen Plattenkondensators

bei gleichbleibender Ladung Q der Kondensatorplatten gilt: je größer die Ladung der Kugel, desto größer die auf sie wirkende Feldkraft    →   Feldkraft auf Probeladung q ist zur Beschreibung der Feldstärke ungeeignet
aber es gilt:   F  ~  q   woraus folgt:    F/q ist konstant und beschreibt die Feldwirkung unabhängig von der Probeladung q

Die elektrische Feldstärke in einem Punkt des elektrischen Feldes gibt an, wie groß die Kraftwirkung des elektrischen Feldes auf einen geladenen Körper der Probeladung +q an dieser Stelle ist.

Formelzeichen:   E                Gleichung:    E  =  F/q    (Vektorfeld)                Einheit:  1 N/C = 1 V/m            Messgerät:     Elektrofeldmeter

Feldstärke im Radialfeld einer Punktladung Feldstärke im Innern eines Plattenkondensators
inhomogenes Feld

         E(r) = F(r)/q  

         E(r) =  1/(4π·εo) · Q/r2

   r - Abstand zwischen felderzeugende und Probeladung

homogenes Feld

             E = F/q = (F·s)/q·s) = W/(q·s) = (U·q)/(q·s)

              E  =  U/s  =  U/d  =  konstant

          s = d  -  Abstand der beiden Kondensatorplatten

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        Elektrische Verschiebungsarbeit, Spannung und Potential

Bewegt sich ein geladener Probekörper aufgrund der wirkenden Feldkraft beschleunigt im elektrischen Feld, so verringert sich die Energie des elektr.  Feldes um den Betrag der Beschleunigungsarbeit. Verschiebt man jedoch einen elektrisch geladenen Probekör- per gegen die Kraft im el. Feld, so erhöht sich die Feldenergie um diesen Betrag der el. Verschiebungsarbeit.

                         +

                                

                            Faußen = konst. = E · q =                     Faußen  =   ≠ konst.  

                            Wel 1→2  =                                       Wel 1→2  =  = ·Q·q·   

                            elektr. Verschiebungsarbeit                         Wel 1→2  = ·Q·q· = ·Q·q( )

                               von P1 nach P2                                  

 

Die im elektrischen Feld gespeicherte Energie ist vergleichbar mit der potentiellen Energie in der Mechanik. Man kann jedem Punkt des elektr. Feldes eine solche „potentielle Energie“ zuschreiben, sie ist jedoch abhängig von der Probeladung q.

 

elektrisches Potential φ:      (neue feldbeschreibende Größe)

· jedem Punkt des elektrischen Feldes kann ein elektrische Potential  φ zugeschrieben werden mit: 

             φ =

                                        W01 – el. Verschiebungsarbeit von pos. Feldladung nach beliebigem Feldpunkt P1

Die Potentialdifferenz Δφ entspricht dabei der messbaren Spannung zwischen zwei Punkte des elektrischen  Feldes.

Es gilt:        Δφ =   =  U12                                          ΔEel.Feld  =  q ·U12

           U12 – Spannung zwischen zwei beliebigen Feldpunkten

Dabei legt man den Nullpunkt des elektrischen Potentials willkürlich in den Ort der positiven felderzeugenden Ladung.

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        Der Kondensator

 

    SE:  Bestimmung des Gleich- und Wechselstromwiderstandes von Lampe und Kondensator

el. Gerät/Buchsenkombination Spannung U in V Stromstärke I in A Widerstand R in
Lampe (2-8) - Gleichstrom ca. 6 ca. 0,4 ca. 15
Kondensator 1 (2-12) - Gleichstrom ca. 12 ca. 0,000 002 ca. 6 000 000
Kondensator 2 (2-12) - Gleichstrom      
Lampe (2-8) - Wechselstrom ca. 6 ca. 0,4 ca. 15
Kondensator 1 (2-12) - Wechselstr. ca. 10 ca. 0,014 ca. 700
Kondensator 2 (2-12) - Wechselstr.      

    Ergebnis: Der Kondensator hat im Gleichstromkreis einen viel höheren (fast unendlich großen) Widerstand als im Wechselstromkreis.

 

        Die Flächenladungsdichte - elektrische Verschiebung

 

Bringt man ein Paar isolierter (neutraler) Metallplättchen in das elektrische Feld eines Plattenkondensators, so verschiebt die Feldkraft Elektronen von einer Probeplatte auf die andere (Influenzwirkung); bei getrennter Herausführung entsteht so eine positiv und eine negativ geladene Probeplatte. Bringt man Probeplatten mit doppelt so großer Fläche A' ins Feld, werden auch doppelt so viele Ladungen Q' auf den Platten influenziert. Es gilt für jedes Probeplattenpaar in ein und demselben Feld:    Q'/A' = σ = Q/A         σ - Flächenladungsdichte

Bei Plattenkondensatoren herrscht auf den (großen) Platten die gleiche Flächenladungsdichte wie auf den Probeplatten. Außerdem gilt: je stärker das elektrische Feld, desto größer die (Influenzwirkung) Flächenladungsdichte. Gibt man der Influenzwirkung noch eine Richtung, so nennt man die beschreibende Größe "elektrische Verschiebung" D.

es gilt:    σ = εo·E              oder                        

Für den (mit Luft gefüllten)Plattenkondensator folgt daraus:    εo·E  =  Q/A    und damit:    E = Q/(εo·A)

Die elektrische Feldstärke im Innern eines konkreten Plattenkondensators ist abhängig von der Anzahl der auf den Platten gespeicherten elektrischen Ladungen.

 

Frage:  Wie viele elektrische Ladungen lassen sich auf den Platten eines Plattenkondensators speichern? Von welchen Größen ist das abhängig?

 

        Die Kapazität eines Plattenkondensators

 

Der Kondensator ist ein Gerät zum Speichern elektrischer Ladungen. Er besteht in der Regel aus zwei metallischen Platten, zwischen denen ein Isolator das Überspringen (Durchschlagen) von Elektronen verhindern soll. Man nennt diesen Isolator "Dielektrikum". Verbindet man den Kondensator mit einer Hochspannungsquelle, so wird der Kondensator geladen; es fließt ein kurzer Ladestrom I der rasch auf Null abnimmt, während sich die Spannung U zwischen den beiden Platten aufbaut. 

Ladestromkreis     Entladestromkreis

 

 I U               Aufladen

                                     t

I U      Entladen

 

Trennt man dann den Kondensator von der Spannungsquelle, so bleibt der Ladezustand erhalten; auf beiden Platten befindet sich Ladung vom gleichen Betrag. Mit Q gibt man also immer nur die Ladungsmenge an, die auf einer der beiden Platten vorhanden ist. Untersucht man nun die Anzahl der gespeicherten Ladungen in Abhängigkeit von der Spannung der Hochspannungsquelle bei einem konkreten PK, so stellt man zunächst eine direkte Proportionalität zwischen beiden Größen fest:    Q ~ U . Der Quotient Q/U gibt also an, wie viel Ladung pro Spannung auf den Kondensator "geschoben" werden können.

 

Die physikalische Größe "Kapazität eines Plattenkondensators" gibt das Speichervermögen des Kondensators für elektrische Ladungen an.

Sie ist vom Bau des Kondensators abhängig und umso größer, je größer die Plattenfläche bzw. je kleiner der Platten- abstand ist. Außerdem hat das Dielektrikum Einfluss auf das Speichervermögen eines Plattenkondensators.

Formelzeichen:  C                Gleichung:   C  =  Q/U                                Einheit:   1F(arad) = 1(As)/V   (sehr große Einheit)

                                                                    C  =   εo·εrel·A/d                                         1 μF  =  1·10-6F

                                    A - Plattenfläche einer Kondensatorplatte                            1 nF  =  1·10-9F

                                    d - Abstand der beiden Platten                                                1 pF  =  1·10-12 F

                                    εrel - Dielektrizitätszahl (beschreibt Eigenschaften des Isolators im Zwischenraum)

                                             (Permittivitätszahl)

 

Arbeit zum Laden eines Kondensators (Energie des geladenen Kondensators):  

 

Der Faktor ½ erinnert an das Hookesche Gesetz beim Spannen einer

 Feder. Wie bei der Feder ist die erforderliche Kraft zum Verschieben

 der elektrischen Ladungen nicht konstant; je mehr Ladungen auf

 den Platten bereits gespeichert sind, umso größer die notwendige

 Kraft zur Verschiebung weiterer Ladungen.

         W  =  Eel  =  ½·Q·U =½·C·U2            

                Q

U

 

 

    Schaltung von Kondensatoren

Reihenschaltung

Gesamtkapazität ist kleiner als jede Einzelkapazität

Parallelschaltung

Cges  =  C1 + C2 + ... + Cn

Gesamtkapazität ist Summe aller Einzelkapazitäten

 

Bauarten von Kondensatoren:

   Block- oder Wickelkondensator

   Schichtkondensator

   Elektrolytkondensator (auf Polung achten, sonst ganz schnell mit lautem Knall kaputt)

   Drehkondensator

   Leidener Flasche

 

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        Der Millikan - Versuch

 

1909 – 1913                               Robert A. Millikan         Bestimmung der Elementarladung                                                                           (Chicago)

      Fel  = FG                        

  q · E    =    m ·g                  

N·e ·  =    m · g               

   N·e    =

      N·e  =

 

Platten eines Kondensators werden parallel zum Erdboden übereinander aufgestellt

zwischen den Platten wird Öl zu winzigen Tröpfchen zerstäubt, die jeweils nur einige Elementarladungen 

        tragen (elektrostatische Aufladung durch Reibung an der Gefäßwand)

die elektrische Feldkraft wird mittels der Spannung zwischen den Platten so eingestellt, dass die 

        Öltröpfchen schweben (bzw. gleichförmig fallen)

daraus lässt sich die Ladung  N·e  des Öltröpfchens experimentell ermitteln

weil alle gemessenen Ladungswerte zueinander in ganzzahligen Verhältnissen stehen, liegt die Vermutung 

        einer kleinsten natürlich vorkommenden Ladung nahe

im Realversuch ist es schwierig, ein geladenes Teilchen im Schwebezustand zu halten; deshalb wird unter Beachtung der Reibung Sink- und Steiggeschwindigkeit der Öltröpfchen bestimmt

kleinste jemals gemessene Ladung:             Elementarladung  e = 1,602·10-19 C

 1923     Verleihung des  Nobelpreise für Physik  an   R.A.Millikan  für seine Präzisionsbestimmung der Elementarladung

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        Bewegung von Elektronen im homogenen elektrischen Feld

 

 

Elektronenbewegung  parallel zu den Feldlinien

Elektronenbewegung quer zu den Feldlinien

x - Richtung

y - Richtung

Feldkraft F = e·E  =  e· Fx = 0 Fy = e·E  =  e·
Bewegungsart gleichmäßig beschleunigt gleichförmig gleichmäßig beschleunigt
vergleichbar dem waagerechten Wurf aus der Mechanik
Beschleunigung a = =   ax = 0   ay = =
Geschwindigkeit v = a ·t + vo=·t + vo = ·t + vo

v =

  vx = konstant   vy = ay · t = · t = · t
Ort (Weg) s =  ½ ··t2 + vo·t = ½··t2 + vo·t   x = vox · t   y = ½· ·t2 = ½··t2

y =  · x2  ("Wurfparabel")

Energiebilanz

Ekin(E) = Ekin(A) + Eel.Feld

½·me·v2 = ½·me·vo2 + e · U

falls vo = 0        ½·me·v2 = e · U

                             v =

 Ekinx = konstant

Ekinx= ½·me·vox2

  Ekiny = Eel.Feld

  Ekiny = e · U

Anwendungen    · Linearbeschleuniger

  · Xerographie, Laserdrucker

  · Braunsche Röhre (Oszillograph)

  · Fernsehbildröhre

Braun'sche Röhre (auch: Katodenstrahlröhre):

Aufbau:

Funktionsweise:

aus der direkt beheizten Katode treten aufgrund der Glühemission Elektronen mit geringer Anfangsgeschwin- digkeit aus
diese werden im homogenen elektrischen Feld zwischen Katode und Lochanode durch die angelegte Beschleu- nigungsspannung wegen der im Vakuum fehlenden Luftreibung stark beschleunigt
danach bewegen sich die Elektronen im feldfreien Raum aufgrund ihrer Trägheit gleichförmig geradlinig weiter
im Ablenkplattenpaar werden sie quer zur Bewegungsrichtung durch die angelegten Ablenkspannungen auf parabelförmige Bahnen gezwungen und damit aus ihrer geradlinigen Bewegung abgelenkt
treffen sie schließlich in einem Punkt auf den Bildschirm, wandelt sich die kinetische Energie der Elektronen in Lichtenergie um, die von den Atomen der aufgetragenen (fluoreszierenden) Leuchtschicht abgegeben wird
mit Hilfe des Wehneltzylinders kann man den Elektronenstrahl bündeln und die Intensität der Leuchter- scheinung durch die Regelung der Anzahl der den Wehneltzylinder verlassenden Elektronen steuern

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        Grunderscheinungen des Magnetismus

In der Natur vorkommende Stoffe, sogenannte Dauermagneten (z.B. aus Magneteisenstein), ziehen eisen- haltige Stoffe an (Magnesia - Stadt in Vorderasien mit besonders starken Magneteisensteinvorkommen). Jeder Magnet besteht aus zwei Polen, die sich nicht trennen lassen. Sie üben aufeinander Kräfte aus; gleichnamige Pole stoßen einander ab, ungleichnamige Pole ziehen einander an. Zwischen Magneten und geeigneten Probe- körpern (aus ferromagnetischen Stoffen wie z.B. Eisen, Cobalt, Nickel) treten Anziehungskräfte auf. Beim Stabmagneten sind diese Kräfte an den Enden besonders stark; in der Mitte des Stabmagneten ist kaum eine Kraftwirkung festzustellen. Hängt man einen Stabmagneten drehbar gelagert auf, so stellt er sich in Nord-Süd-Richtung ein (Kompassnadel). Dabei zeigt der Nordpol des Stabmagneten in Richtung Norden - d.h. der geographische Nordpol ist ein magnetischer Südpol und umgekehrt. Auch stromdurchflossene Leiter weisen magnetische Eigenschaften auf. Alle auftretenden Kraftwirkungen sind (wie beim elektrischen Feld bzw. beim Gravitationsfeld) Fernwirkungen.

        Das Magnetfeld - Magnetfeldlinienbilder

In der Umgebung von Dauermagneten und stromdurchflossenen Leitern existiert ein magnetisches Feld. Es ist den menschlichen Sinnen nicht zugänglich, existiert aber real im Raum. Man kann seine Existenz nachweisen durch:    

Kraftwirkung auf andere (kleine) Magneten (z.B. Magnetnadeln)
Kraftwirkung auf (kleine) Probekörper aus ferromagnetischen Stoffen (z.B. Eisenfeilspäne)

 

Das (unsichtbare) magnetische Feld kann man mit Hilfe von Feldlinienbildern veranschaulichen. Magnetische Feldlinien sind modellhafte Darstellungen und  veranschaulichen die Richtung der Kraftwirkung eines Magnet- feldes auf den Nordpol eines kleinen Probemagneten. Im Gegensatz zu elektrischen Feldlinien sind sie in sich geschlossene Kurven, welche außerhalb der Magneten von Nord- zu Südpol gerichtet sind. Man sagt: das magnetische Feld ist ein quellenfreies Wirbelfeld. Je stärker das Magnetfeld, umso enger liegen die Magnet- feldlinien ; parallele Feldlinien in gleichen Abständen deuten auf einen homogenen Feldbereich.

                                                                     

Problematisch ist die Darstellung der räumlichen Dimension des Feldes; auch zwischen zwei Feldlinien existiert das Feld und übt Kräfte auf geeignete Probekörper aus.

Für die Richtung der Magnetfeldlinien um einen stromdurchflossenen Leiter gibt es eine Rechte-Hand-Regel: zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der technischen Stromrichtung, so geben die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der kreisförmig um den Leiter verlaufenden Magnetfeldlinien an. Die Zuordnung von Nord- und Südpol beim Magnetfeldlinienbild einer stromdurchflossenen Spule hängt von der Stromrichtung und vom Wicklungssinn der Spule ab.

Magnetfeldlinienbild eines Stabmagneten                    Magnetfeldlinienbild eines stromdurchflossenen Leiters

Auch die Erde ist von einem Magnetfeld umgeben, dessen Form ohne den Einfluss des "Sonnenwindes" Ähnlichkeit mit den Feldern von Stabmagnet oder stromdurchflossener Spule aufweisen würde.

 

Ursache des relativ schwachen Erdmagnetfeldes sind Magmaströmungen (Konvektionen) im Erdinneren, welche auch geladene Teilchen mitführen. Bei der Wechselwirkung zwischen dem Erdmagnetfeld und den geladenen Teilchen des Sonnenwindes entstehen die sogenannten "Polarlichter".

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        Magnetische Flussdichte

Auch für Magnetfelder ist die Definition einer feldbeschreibenden Größe sinnvoll, die eine Aussage über die Stärke der Kraftwirkung auf geeignete Probekörper an verschiedenen Punkten des Magnetfeldes macht. Ähnlich wie bei elektrischen Feldern gibt es zwei Möglichkeiten:

Beurteilung der Magnetfeldstärke aufgrund der Wirkungen des Magnetfeldes auf geeignete Probekörper    magnetische Flussdichte B
Beurteilung der Magnetfeldstärke aufgrund der Erzeugung des Magnetfeldes   magnetische Feldstärke H

Versuchsanordnung zur Bestimmung der magnetischen Flussdichte B:          

Fließt durch einen horizontal verlaufenden, stabförmigen Leiter, der sich in einem vertikal verlaufenden, homo- genen Magnetfeld befindet, ein Strom, so wirkt auf diesen Leiter eine Kraft. Diese Kraft ist umso stärker, je mehr Strom durch den Leiter fließt bzw. je länger dieser Leiter ist. Bei konstantem Stromfluss und fest vorge- gebener Leiterlänge aber hängt diese Kraft nur noch von der Stärke des Magnetfeldes ab und ist somit ein geeignetes Maß für diese.

Es gilt:    F  =  I · l · B    woraus sich für die Definition der magnetischen Flussdichte B ergibt:     .         Die magnetische Flussdichte B ist ein Vektor, dessen Richtung mit der der magnetischen Feldlinien überein- stimmt.         Einheit:  1T(esla) = 1N/Am = 1Vs/m2        Messgerät: Hallsonde

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  Das homogene Magnetfeld im Innern einer (langen, dünnen) stromdurchflossenen Spule

Das Magnetfeld einer (langen, dünnen) stromdurchflossenen Spule ist annähernd homogen. Dabei ist die Stärke des Magnetfeldes durch den Bau der Spule sowie durch die Bedingungen im angeschlossenen Stromkreis beein- flussbar.

Versuchsaufbau zur Untersuchung der magnetischen Flussdichte B im Innern einer Spule:   Die exakte experimentelle Untersuchung der magnetischen Flussdichte im Innern einer Spule ist aus mehreren Gründen problematisch. Es sind zu beachten:

bei veränderter Windungszahl ändert sich meist auch die Leiterlänge (und damit der elektrische Widerstand sowie die davon abhängige Stromstärke) ; mit Potentiometer und Stromstärkemessgerät vermeidbar
bei veränderter Windungszahl ändert sich meist auch die Spulenlänge l

Die magnetische Flussdichte B im Innern einer (langen, dünnen) stromdurchflossenen Spule hängt ab von:

der Stromstärke I im angeschlossenen Stromkreis;                  je größer I, desto größer B                                  B ~ I  , wenn N,l,Stoff konstant bleiben
der Windungszahl N der Spule;                                                     je größer N, desto größer B                               B ~ N , wenn I,l,Stoff konstant bleiben
der Länge l der Spule                                                                      je größer l, desto kleiner B                                B ~ 1/l, wenn N,I,Stoff konstant bleiben

Daraus ergibt sich zunächst für einen festen Spulenkernstoff:   B ~   .  Mit einem geeigneten Spulenkern; z.B. aus ferromagnetischem Stoff, lässt sich die Stärke des Magnetfeldes einer Spule erheblich vergrößern.

magnetische Flussdichte im Innern einer Spule:    und damit gilt für die magnetische Feldstärke :

μo = 1,2566·10-6Vs/Am  - magnetische Feldkonstante      μrel -  Permeabilitätszahl (stoffabhängig)

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        Die Lorentzkraft

Bewegen sich einzelne geladene Teilchen in einem Magnetfeld, dessen Richtung sich von der Richtung der Teilchenbewegung unterscheidet, so wirkt dieses Magnetfeld auf sie mit einer Kraft. Diese Kraft - sie wird Lorentzkraft genannt - ist umso größer, je schneller sich die Teilchen bewegen und je stärker das Magnetfeld ist. Außerdem hängt diese Kraftwirkung (Betrag und Richtung) von Art und Betrag der Ladung der Teilchen ab. Unter der Voraussetzung, dass die Bewegungsrichtung der Teilchen senkrecht auf den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes steht, gilt für den Betrag der Lorentzkraft:    FL = Q · v · B                                                 im Allgemeinen gilt :  also in vereinfachter Form:  FL = Q · v · B · sinα                                                           Der Lorentzkraftvektor steht senkrecht zur Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen und senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes. Seine Richtung kann mit der Linke-Hand-Regel (für negativ geladene Teilchen) bzw. mit der Rechte-Hand-Regel (für positiv geladene Teilchen) nach folgender Vorschrift ermittelt werden:

Daumen         -    Ursache der Kraft          -    Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen
Zeigefinger    -    Vermittlung der Kraft    -    Richtung der Magnetfeldlinien
Mittelfinger    -    Wirkung der Kraft          -    Richtung des Lorentzkraftvektors

Da die Lorentzkraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen wirkt, ändert sie deren Bewegungsart (Geschwindigkeitsbetrag) nicht. Sie wirkt jedoch als richtungsändernde Radialkraft und zwingt die Teilchen auf kreisförmige Bahnen.

 

Die Lorentzkraft ist auch die Ursache der Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter, die wir bereits bei der Definition der physikalischen Größe "Flussdichte" beobachtet haben. Auch für die Entstehung der sogenannten Polarlichter ist sie verantwortlich, in dem sie die schräg zum Erdmagnetfeld einfallenden Sonnenwindteilchen auf spiralförmigen Bahnen von Pol zu Pol ablenkt, wobei diese Gasmoleküle in erdnahen Luftschichten zum Leuchten anregen. Die Lorentzkraftwirkung wird in Forschung und Technik vielfach genutzt:

Fadenstrahlrohr - Bestimmung der spezifischen Ladung e/me für Elektronen                            über die Herleitung:     FL = FR         e·v·B = me·v2/r        e/me = v/(r·B)        e/me = 2U/(r2·B2)    kann die spezifische Ladung eines Elektrons und damit bei Kenntnis der Elementarladung (Millikan) auch die Elektronenmasse aus experimentell leicht zu ermittelnden Größen (Beschleunigungsspannung UB, magnetische Flussdichte B und Kreisbahnradius r) bestimmt werden.

 

Wien - Filter                                                                                                                                                  Beim Durchlaufen eines Raumsegmentes mit  gekreuztem (homogenen) elektrischen und magnetischen Feld werden nur geladene Teilchen mit der Geschwindigkeit   v = E/B    nicht abgelenkt und gelangen so durch dieses Geschwindigkeitsfilter

 

Massenspektrograph                                                                                                                                        Geladene Teilchen mit exakt der gleichen Geschwindigkeit werden im homogenen Magnetfeld durch die Lorentzkraft auf unterschiedlich große Kreisbahnen abgelenkt. Somit sind kleinste Massenunterschiede aufzeigbar. Erst damit gelang der Nachweis verschiedener Isotope des gleichen chemischen Elementes.

 

Hall - Sonde  -  Messgerät für magnetische Flussdichte                                                                        Wird ein flächenhaft stromdurchflossener Leiter senkrecht zur Driftgeschwindigkeit der Elektronen von einem homogenen Magnetfeld durchsetzt, bewirkt die Lorentzkraft eine Ladungsträgerverschiebung quer zur Stromrichtung, die als Potentialdifferenz (Spannung) zwischen zwei Punkten A und B an den Seiten des Leiters nachgewiesen werden kann (Halleffekt). Da die Größe dieser Querspannung hauptsächlich von der Stärke des Magnetfeldes abhängt, liefert dies ein Messverfahren zur indirekten Bestimmung der magnetischen Flussdichte B.

RH - stoffabhängige Hallkonstante

d - Dicke des Leiters

 

MHD - Generator - magnetohydrodynamischer Generator (direkter Energiewandler Eth in Eel nach dem Prinzip des Hall-Effektes)

Synchro-Zyklotron  - Teilchenbeschleuniger mit vergleichsweise geringem Platzbedarf         Zwei halbkreisförmige hochevakuierte Metalldosen (wegen ihrer D-Form auch Duanden genannt), welche von einem senkrecht verlaufenden, homogenen Magnetfeld durchsetzt sind; werden mit einem Hochfrequenz- generator verbunden und sind somit stets mit schnell wechselnder Polung ungleichnamig geladen. Die im Zwischenraum zwischen den Dosen von einer Ionenquelle emittierten geladenen Teilchen werden im elektrischen Feld zwischen den Elektroden (Metalldosen) beschleunigt und innerhalb der Metalldosen durch die Lorentzkraft auf eine halbkreisförmige Bahn gelenkt. Bei jedem Durchlauf durch das elektrische Wechselfeld vergrößert sich die Geschwindigkeit der Ionen und damit der Radius der Halbkreisbahn. Schließlich werden die geladenen Teilchen durch eine zusätzliche Elektrode aus den Dosen herausgelenkt und stehen damit für wissenschaftliche Experimente oder technische Anwendungen zur Verfügung. Zur Erzielung von Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit wird beim Synchro-Zyklotron der dann auftretende relativistische Massenzuwachs der superschnellen Ladungsträger berücksichtigt und die Frequenz des elektrischen Wechselfeldes dem nachlassenden Geschwindigkeitszuwachs der Ladungsträger angepasst.

 

Elektronenmikroskop

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        Analogiebetrachtungen zu Feldern

Merkmal Gravitationsfeld elektrostatisches Feld magnetostatisches Feld
Ort der physikali- schen Erscheinung Raum um (schwere) Massen    
Feld wird hervor- gerufen durch:     bewegte elektrische Ladungen
Feldnachweis erfolgt durch: Kraftwirkung auf geeignete Probekörper
Kraftwirkung auf Probemassen
   
Kräfte im Feld fernwirkende Kräfte (ohne mechanische Berührung der Körper)
Gravitationskraft

Coulombkraft

Lorentzkraft

 

feldbeschreibende Größen         Gleichung zur Be- rechnung der feldbe- schreibenden Größen Gravitationsfeldstärke

elektrische   elektrische    Feldstärke   Verschiebung

                

                

      (Erzeugung)             (Wirkung)

magnetische     magnetische Flussdichte        Feldstärke

                           

                      

              (Wirkung)                (Erzeugung)

Zusammenhang zw. feldbeschr. Größen  
spezielle Felder

            

 

   (Kapazität - PK)

               

                                       (Induktivität - Spule)

Stoffe im Feld     ferro-, dia-, paramagnetische Stoffe

μrel – relative Permeabilität

μrel >> 1       μrel < 1         μrel > 1

Merkmale des Feldes

mit den menschlichen Sinnen nicht wahrnehmbar  

trotzdem real im Raum existierend

modellhafte Dar- stellung des Feldes mittels Feldlinienbilder
Feldlinienverlauf

beginnen und enden an den Massen

(senkrechter Austritt)
   
Feldart   Quellen-Senken-Feld  
Besonderheiten der Analogiebetrachtung   Ladungen können einzeln auftreten  
Anwendung der Felder  

Bestimmung der .......... ................ (Millikan)

......................röhre

Xerographie

piezoelektrischer Effekt

 ........beschleuniger

Bestimmung der ................. (Fadenstrahlrohr)

Drehspul........................

Gleichstrom................

Elektronen..................

Massen.........................

.............................filter

........... Sonde

 Kreis...................  (Zyklotron)
 

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Jahrgangsstufe:    12        Semester:    II

        Elektromagnetische Induktion

elektromotorisches Prinzip Hängt man eine Leiterschleife in ein (konstantes) Magnet- feld und schaltet den Stromfluss zu, beobachtet man eine Schaukelbewegung der Leiterschleife, die auf der Wirkung der Lorentzkraft basiert. Die Umkehrung dieses Schaukel- versuches führt bei Bewegung einer über ein Voltmeter kurzgeschlossenen Leiterschleife in (konstantem) Magnet- feld zur Entstehung einer Spannung, was ebenfalls mit dem Wirken der Lorentzkraft erklärt werden kann.

Generatorprinzip

Eel  →  Emech

Emech  →  Eel

eine Spannung entsteht im Leiter, wenn man: bei Verwendung eines Elektromagneten entsteht außerdem eine Spannung, wenn man:
den Leiter relativ zum Magneten bewegt
den Magneten relativ zum Leiter bewegt
den Elektromagneten ein- bzw. ausschaltet
die Stromstärke am Elektromagneten ( und damit die Flussdichte) verändert

aus der Sekundarstufe I ist bekannt:

In einer Spule wird solange eine elektrische Spannung induziert, solange sich das die Spule durchsetzende Magnetfeld ändert. Dabei kann sich sowohl die Stärke als auch der räumliche Anteil des die Spule umfassenden Magnetfeldes ändern. Je schneller diese Änderung erfolgt, umso größer ist die entstehende Induktionsspan- nung.

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        Der magnetische Fluss

Zur präziseren Beschreibung der Voraussetzungen für das Entstehen einer Induktionsspannung definiert man eine neue physikalische Größe:

Die physikalische Größe „magnetischer Fluss“ gibt an, wie groß der Magnetismus ist, der eine Fläche durchsetzt. Sie lässt sich mit Hilfe der Anzahl der durch die Spule hindurchtretenden Magnetfeldlinien veranschaulichen.

Formelzeichen:   Φ      Gleichung:        Einheit: 1Wb = 1Tm² = 1Vs 

Die Richtung des Flächenvektors A wird senkrecht zur vom Leiter umschlossenen Fläche definiert. Somit kann sich der magnetische Fluss ändern, in dem: 

die magnetische Flussdichte B sich ändert (z.B. durch Änderung der Stromstärke in einem Elektromagneten)
die vom Leiter umschlossene Fläche A = N·Ao sich ändert oder
der Winkel φ zwischen Magnetfeldrichtung und Flächenvektor sich ändert (z.B. durch Drehung)

Der größte magnetische Fluss entsteht, wenn die Vektoren B und A den Winkel 0° bilden, also die Magnetfeldlinien senkrecht durch die vom Leiter umschlossene Fläche treten. Bei einem Winkel von 90° ist der magnetische Fluss Null. 

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        Induktionsgesetz, Lenzsche Regel

Nun ist eine mathematische Formulierung des Induktionsgesetzes möglich:

In einem Leiter (Spule) wird solange eine Induktionsspannung induziert, solange sich der magnetische Fluss  Φ  ändert. Die Induktionsspannung ist die erste Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit.

Da ansonsten ein senkrecht zu den Feldlinien eines konstanten, homogenen Magnetfeldes angestoßener Leiter zu einem immer schneller werdenden perpetuum mobile werden würde, folgt aus dem Energieerhaltungssatz außerdem:

Der aufgrund einer Induktionsspannung in einer Spule (Leiter) fließende Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt. (Lenzsche Regel)

Dies findet im Induktionsgesetz seinen Ausdruck in einem negativem Vorzeichen der Induktionsspannung.

Thomsonscher Ringversuch

Abhängig von der Größe, die die Änderung des magnetischen Flusses bewirkt, kann man einige Sonderfälle unter- scheiden:

senkrecht zu konstant homogenem Magnetfeld bewegte Rechteckspule Generator Transformator
           ( φ = 0°)
         

je schneller die Bewegung, desto größer Uind;

Induktion nur beim Herein- bzw. Herausbewegen aus Magnetfeld

      

die in einem Generator durch   Drehung einer Spule entstehende Induktionsspannung ist eine Wechselspannung und propor- tional zur Drehgeschwindigkeit 

in der Sekundärspule eines mit Wechselstrom betriebenen Transformators entsteht wieder eine Wechselspannung, die um ½·π gegenüber der Primärspannung verschoben ist

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     Selbstinduktion, Wirbelströme

Bei Ein- und Ausschaltprozessen zeigen Stromkreise mit induktiven Bauelementen (Spulen) einige Besonder- heiten:

Beobachtung:

Beim Schließen des Schalters leuchtet die Lampe L1 (links) sofort auf, 

Lampe L2 (rechts) leuchtet erst etwas später.

Erklärung:

Im Teilstromkreis 2 befindet sich die Spule in  ihrem eigenen, sich gerade aufbauenden Mag- netfeld. Dies führt zur Induktion einer Spannung und zum Fließen eines Induktionsstroms Iind, welcher nach der Lenz'schen Regel seiner Ur-  sache - dem Anwachsen von I2 - entgegenwirkt. Erst wenn das Magnetfeld seine volle Stärke erreicht hat und sich nicht mehr ändert, kann I2 ungehindert fließen.

Beobachtung:

Beim Schließen des Schalters ist nichts zu beobachten;     beim Öffnen des Schalters leuchtet die Glimmlampe kurz auf, gleichzeitig erkennt man Funken im Schalter

Erklärung:

Eine Glimmlampe benötigt etwa 100V, um zu leuchten. Die stehen im normalen Betrieb nicht   zur Verfügung. Öffnet man den Schalter, befin-   det sich die Spule in ihrem eigenen, gerade zu- sammenfallenden Magnetfeld; die daraufhin induzierte Spannung Uind ist nach Lenz der ur- sprünglich angelegten Spannung gleichgerichtet. Ein Induktionsstrom kann dagegen nicht mehr fließen, weil der Stromkreis geöffnet wurde.

Fazit:

Eine Spule setzt in einem Gleichstrom- kreis jeder Strom- stärkeänderung einen Widerstand entgegen, dessen Ausmaß man mit der physikalischen Größe Induktivität L (in Henry) angibt.

Selbstinduktion:

also  Baukenngröße einer Spule

Befindet sich ein großflächiger Leiter in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld, so führt die Induktion einer Spannung zum Fließen ungeordneter Induktionsströme auf diesem Leiter, die man Wirbelströme nennt. Sie wandeln die elektrische Energie in thermische Energie (Wärme) um und sind meistens unerwünscht. Um sie zu minimieren, unterteilt man solche Leiter in viele kleine Stücke (z.B. Platten), so dass auf jedem Teilstück nur geringfügige Ströme fließen können. 

fallende Aluminiumscheibe

im homogenen Magnetfeld

geblätterter

Eisenkern

Induktionsofen

  

                        Wirbelstrombremse

 

fallender Magnet

in Kupferrohr

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        Generator und Dynamomaschine

Generatoren sind Maschinen zur Umwandlung von mechanischer Energie in elektrische Energie. Sie bekommen die Bewegungsenergie in Form von Ekin(Rotation) zumeist von Turbinen (Gas- Dampf- oder Wasserturbinen) zugeführt.        Ekin ---------------> Eel

Generatorprinzip
durch gleichförmiges Drehen einer Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld entsteht eine sinusförmige Wechselspannung nach der Gleichung:

                   

Aufbau:
Stator
Rotor (Anker)
Kollektorringe (Schleifringe)
Kohlebürsten 

Jeden Generator kann man auch als Elektromotor betreiben und umgekehrt jeden Elektromotor auch als Generator. Sie bestehen aus den gleichen Bestandteilen. Man unterteilt die Generatoren:

nach der Art der entstehenden Spannung in:
Wechselstromgenerator Gleichstromgenerator Drehstromgenerator

nach der Anordnung von Magnet und Induktionsspule in:

nach der Art der Stromzufuhr an den Elektromagneten in
fremderregte Generatoren Dynamomaschinen:
bei ihnen wird der zum Betrieb des Elektromag- neten benötigte Strom direkt von der induzierten Spannung abgezweigt

In der Praxis werden in den Kraftwerken selbsterregte Drehstromgeneratoren eingesetzt.

weitere Anwendungen: 
Lichtmaschine im Auto
Notstromaggregat
Fahrraddynamo

Magnetfeld des    Dauermagneten im Fahrraddynamo

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        Transformator

Der Transformator besteht aus zwei Spulen, welche nicht elek- trisch leitend miteinander verbunden sind, die sich auf einem ge- schlossenen Eisenkern befinden. Seine Aufgabe ist es, in einem Wechselstromkreis Spannungen bzw. Stromstärken herauf- bzw. herunter zu transformieren. Fließt ein Wechselstrom durch die Primärspule (Erregerspule), so entsteht um diese ein sich ständig änderndes magnetisches Wechselfeld. Diese wird durch den ge- schlossenen Eisenkern fast vollständig auf die Sekundärspule (Induktionsspule) übertragen. Nach dem Induktionsgesetz ent- steht in der Sekundärspule eine induzierte Wechselspannung, deren Größe u.a. von der Windungszahl der Sekundärspule abhängt.

U =

 

 

 

unbelasteter Transformator

belasteter Transformator

(fast) kein Stromfluss im Sekundärstromkreis (je kleiner I2, desto kleiner die Belastung)

großer Stromfluss im Sekundär- stromkreis

Anwendungen:

Hochspannungstrafos, Zündanlagen, Weidezaun

Anwendungen:

Schweißtrafos, Induktionsöfen

idealer Transformator realer Transformator
alle im Primärstromkreis gespeicherte Energie wird auf den Sekundärstromkreis übertragen
Energieverluste in Form von Wärme- entwicklung durch Wirbelströme und Magnetfeldstreuung

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Jahrgangsstufe:    13        Semester:    I

        Einführung in die Strahlenoptik

Als Lichtquellen bezeichnet man Körper, die aufgrund komplizierter Vorgänge in der Atomhülle ihrer Grundbau- steine, Licht aussenden.  Dabei erfolgt in der Lichtquelle eine Energieumwandlung der Form:  E???  --->  ELicht Körper sind für das menschliche Auge nur dann sichtbar, wenn sie entweder selbst leuchten oder das Licht einer Lichtquelle zu mindestens teilweise in das Auge reflektieren.

Das Licht einer Lichtquelle breitet sich geradlinig nach allen Seiten aus, sofern es nicht durch (mehr oder weniger) lichtundurchlässige Körper daran gehindert wird. Fällt das Licht einer Lichtquelle auf eine weit entfernt stehende, lichtundurchlässigen Abschirmung mit kleiner Öffnung, so erhält man ein (annähernd) paralleles Lichtbündel, dessen geradlinige Rotationsachse man als Lichtstrahl bezeichnet.

       

                paralleles Lichtbündel                                                        Lichtstrahl

Beim Modell Lichtstrahl wird angenommen, dass:

Licht den Weg von Lichtquelle zum Empfänger stets auf dem zeitlich kürzesten Weg zurücklegt (Fermatsches Prinzip)
sich Licht dadurch in homogenen (!) Stoffen immer geradlinig ausbreitet
sich kreuzende Lichtstrahlen nicht gegenseitig beeinflussen
Lichtwege umkehrbar sind

Mit dieser stark vereinfachten Vorstellung vom Licht lassen sich einige Eigenschaften der Lichtausbreitung, wie z.B. Schattenbildung, Reflexion, Brechung, sowie deren Anwendung in optischen Geräten ausreichend gut beschreiben.

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        Reflexion und Brechung von Licht

Reflektionsgesetz

Brechungsgesetz

Reflexion:   An der Grenzschicht zwischen zwei Stoffen wird das Licht in das Medium zurückgeworfen, aus dem  es kommt.

Brechung:   Beim Übergang von einem Stoff in einen an- deren ändert das Licht an der Grenzfläche i.A. (α ≠ 0)  sei- ne Geschwindigkeit und damit seine Ausbreitungsrichtung.

Einfallender Lichtstrahl, Einfallslot und reflektierter Lichtstrahl liegen in einer Ebene und es gilt:       

                          α = α'                             (Einfallswinkel gleich Reflektionswinkel)

Einfallender Lichtstrahl, Einfallslot und gebrochener Licht- strahl liegen in einer Ebene und es gilt:                                      c - Lichtge-            schwindigkeit;    n - Brechzahl      

Man unterscheidet zwischen:
regelmäßiger Reflexion an glatten Oberflächen
diffuser Reflexion an rauen Oberflächen
Man unterscheidet zwischen:
Brechung vom optisch dünnen ins dichtere Medium (Brechungswinkel β kleiner als Einfallswinkel α)
Brechung vom optisch dichten ins dünnere Medium (Brechungswinkel β größer als Einfallswinkel α)

Simulation zur Reflexion und Brechung       Wissenswertes zur Reflexion        Wissenswertes zur Brechung

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        Totalreflexion, planparallele Platte

                                                                  

Trifft Licht auf eine Grenzschicht zwischen zwei (mehr oder weniger) lichtdurchlässigen Medien tritt  i.d.R. Reflektion und Brechung gleichzeitig auf. Dabei hängt die Intensität von gebrochenem und reflektiertem Strahl maßgeblich von der Größe des Einfallswinkel ab und es gilt: je größer α, umso intensiver der reflektierte und umso lichtschwächer der gebrochene Strahl.

Beim Übergang vom optisch dichten ins dünnere Medium, verschwindet ab einem gewissen Winkel der gebro- chene Strahl gänzlich und es findet sich die volle Lichtintensität im reflektierten Strahl. In diesem Falle spricht man von Totalreflexion; für den Grenzwinkel der Totalreflexion αG gilt:  sinαG = n = n2/n1, denn β müsste ja in diesem Falle 90° betragen. Für die Anwendung der Totalreflexion in Natur und Technik gibt es eine Reihe von interessanten Beispielen:

"Fata Morgana"
Umkehrprismen in optischen Geräten wie Ferngläser oder Fotoapparate
Regensensor im Auto
Lichtleiterkabel zur Informationsübertragung
Lichtleiterkabel zur Beleuchtung schwer zugänglicher Hohlräume in Technik und Medizin (Endoskopie)

                       

Auch an einer planparallelen Platte beobachtet man Reflexion und Brechung gleichzeitig an beiden Grenz- schichten. Dabei wird der ausfallende Lichtstrahl um eine Strecke x gegenüber dem einfallenden Lichtstrahl parallel verschoben; die Größe dieser Strecke hängt von der Plattendicke d ab. 

                                                 

Auch die reflektierten Strahlen verlaufen parallel; die beiden reflektierten Strahlen 0. und 1. Ordnung liegen bei geringer Plattendicke dicht nebeneinander und besitzen fast die gleiche Intensität. (siehe Wellenoptik )

Erreicht der Brechungswinkel beim Übergang von optisch dicht nach optisch dünn Werte über 75°, kann man mit bloßem Auge ein Aufspalten des weißen Lichtstrahls in die Spektralfarben erkennen. Noch deutlicher wird das bei mehrfacher Brechung. Dies liegt daran, dass die Brechzahl n eines Stoffes von Lichtfarbe zu Lichtfarbe etwas differiert; diesen Effekt, den man bei einem Regenbogen gut beobachten kann, nennt man Dispersion.

                                           

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        Abbildung mittels Sammellinsen

Laufen Lichtstrahlen auf eine kreisförmige planparallele Platte aus Glas,  so werden sie zweimal gebrochen; einmal an der Grenzschicht Luft-Glas und einmal an der Grenzschicht Glas-Luft. Parallele Lichtstrahlen werden durch diesen Glaskörper so abgelenkt, dass sie sich in einem Punkt (Brennpunkt) schneiden.

                                   

Für die Brechung sind nur die Bereiche in Grenzflächennähe von Bedeutung; die Mittelbereiche können deshalb weggelassen werden, was die typische Linsenform ergibt. An einer Sammellinse (Konvexlinse) kann man folgende Begriffe definieren:

Linsenebene (Längssymmetrieachse der Linse  --- )
optische Achse (Quersymmetrieachse der Linse -·-·- )
Brennpunkte F und F' (Punkte auf der optischen Achse, wo sich die ehemaligen Parallelstrahlen schneiden)
optischer Mittelpunkt = Linsenmittelpunkt
Brennweite f (Abstand zwischen dem optischen Mittelpunkt und einem Brennpunkt)

Bildet man mit einer solchen Linse einen Gegenstand ab, so fallen viele vom Gegenstand reflektierte Lichtstrah- len durch die Linse und werden nach dem Brechungsgesetz so abgelenkt, dass i.d.R. auf der anderen Seite der Linse ein scharfes reelles Abbild entsteht, welches man mit einem Bildschirm auffangen kann. Dabei nennt man die Entfernung zwischen Gegenstand und Linse Gegenstandsweite g; die Entfernung zwischen Linse und Bild wird logischerweise Bildweite b genannt. Außerdem bezeichnet man die Gegenstands- bzw. Bildgröße mit G bzw B. 

            

Bei einer vereinfachten Konstruktion reduziert man die doppelte Brechung an den Grenzschichten durch eine einfache Brechung an der Linsenebene; außerdem beschränkt man sich auf drei ausgewählte  Strahlenarten, für die gilt:

Parallelstrahlen werden nach der Linsenebene zu Brennpunktstrahlen
Brennpunktstrahlen werden nach der Linsenebene zu Parallelstrahlen
Mittelpunktstrahlen bleiben hinter der Linsenebene Mittelpunktstahlen

Diese Vereinfachung gilt selbst dann, wenn die Linse zu klein ist, um alle drei Strahlenarten abzubilden. Sie liefert nur dann verlässliche Informationen über das entstehende Bild, wenn es sich um dünne Linsen und um achsnahe Strahlen handelt.

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        Abbildungsgleichung für dünne Sammellinsen

Verschiebt man den Gegenstand relativ zur Linse, so ändern sich Ort und Gestalt des Bildes. Bewegt man z.B. den Gegenstand auf die Linse zu (g>f), so entfernt sich das Bild auf der anderen Seite der Linse immer weiter vom Linsenstandpunkt und umgekehrt. Art und Gestalt des bei Verwendung einer Sammellinse entstehenden Abbilds sind also abhängig davon, in welcher Entfernung zur Linse der Gegenstand steht (wie groß also die Gegenstandsweite g ist). 

Ort des Gegenstandes  Ort des Bildes Art des Bildes  graphische Darstellung
g > 2f f < b < 2f 

andere Seite der Linse

reell, umgekehrt, verkleinert, seitenverkehrt, 
g = 2f b = 2f

andere Seite der Linse

reell, umgekehrt, gleichgroß, seitenverkehrt, 
2f > g > f b > 2f

andere Seite der Linse

reell, umgekehrt, vergrößert, seitenverkehrt, 
g = f b ist unendlichen groß  es entsteht kein Bild
g < f  0 < |b| < unendlich

gleiche Seite der Linse

virtuell, aufrecht, vergrößert, seitenrichtig, 

Dabei existiert zwischen der Brennweite der Linse f, der Gegenstandsweite g und der Bildweite b (sowie zwischen Gegenstands- und Bildgröße) ein gesetzmäßiger Zusammenhang: 

 Abbildungsgleichung für dünne Sammellinsen               und Abbildungsmaßstab          

Das Reziproke der Brennweite ist gleich der Summe der Reziproken von Bild- und Gegenstandsweite. Gegen- standsgröße und Bildgröße stehen dabei im gleichen Verhältnis wie Gegenstandsweite und Bildweite. Diese Ge- setzmäßigkeiten lassen sich über ähnliche Dreiecke in den vereinfachten Konstruktionszeichnungen herleiten.

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        Abbildung mittels Spiegel und Hohlspiegel

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        Optische Geräte

Fotoapparat

Ein herkömmlicher Photoapparat besteht aus einer Sammellinse (Objektiv), einer Irisblende, einer Verschlussklappe, einem lichtempfindlichen Film in einer Führung (oder einem CCD-Chip) sowie einem Gehäuse und mehreren Einstellringen für Blendenöffnung, Entfernungseinstellung und Verschlusszeiten. Dabei hängt der Abstand der Linse zur feststehenden Filmebene entscheidend von der Entfernung des abzubildenden Gegenstandes zum Photoapparat ab (fokussieren des Motivs).

Weitwinkelobjektiv:
Objektiv mit einer kleinen Brennweite, ermöglicht ganzheitliche Aufnahmen von großen, nahstehenden Motiven
Teleobjektiv:
Objektiv mit großer Brennweite, ermöglicht Aufnahmen von weitentfernten Motiven in gewünschter Motivgröße          
Autofocus:
automatische Linseneinstellung aufgrund einer Entfernungsmessung durch den Photoapparat auf der Basis von Ultraschall- oder Infrarotsignalen
Fixfocus:

Objektiv mit sehr kleiner Brennweite ermöglicht scharfe Abbildung von Gegenständen von 2,5 m - ∞, ohne erforderliche Linsenbewegung

Zoomobjektive: 
Linsensystem aus mindestens zwei Linsen verändert nicht nur seinen Abstand zur Filmebene sondern auch den inneren Abstand beider Linsen dadurch flexible Brennweitenänderung mit  fmin < f < fmax möglich (Weitwinkel- und Teleobjektiv in einem)

Die Menge des durch das Objektiv fallenden Lichtes bestimmt die Qualität der Aufnahme (über- oder unterbelichtet). Diese steuert man über die Stellringe für Blendenöffnung und Verschlusszeiten. Um einen größeren Gegenstandsbereich scharf abzubilden, benötigt man eine gute Tiefenschärfe der Aufnahme. Diese wird erreicht, in dem bei möglichst kleiner Blendenöffnung (große Blendenzahl) möglichst lange belichtet (eventuell mit Stativ, um nicht zu verwackeln). Durch die kleine Blendenöffnung werden sogenannte Randstrahlen weggeblendet, für die die modellhafte Vereinfachung der Brechungsvorgänge an Sammellinsen keine Gültigkeit besitzt ( das Ersetzen der doppelten Brechung an den Grenzflächen der Linse durch eine einzige Brechung an der Linsenebene galt nur für achsnahe Strahlen!).

Diaprojektor, Episkop, Polylux (Overheadprojektor)

Teleskop (Refraktor, Reflektor)

Das astronomische (Keplersche) Fernrohr

Das Objektiv erzeugt von einem weit außerhalb der doppelten Brennweite stehenden Gegenstand ein reelles, verkleinertes, umgekehrtes und seitenverkehrtes Zwischenbild in der Nähe des Brennpunktes. Das Okular wirkt wie eine Lupe und erzeugt das virtuelle, umgekehrte Hauptbild.

Bei sehr weit entfernten Gegenständen (astronomische Untersuchungen) entsteht das reelle Zwischenbild genau im gemeinsamen Brennpunkt von Objektiv und Okular, so dass kein virtuelles Hauptbild mehr entsteht. Die Vergrößerung basiert hier auf einer merklichen Vergrößerung des Sehwinkels. Es werden drei- bis fünftausendfache Vergrößerungen erreicht. Größere Objektivdurchmesser ergeben hellere, lichtstärkere Bilder.

Die Angabe 10  50 auf Fernrohren oder Ferngläsern bedeutet: 10fache Vergrößerung bei 50 mm Objektivdurchmesser.

Fernrohrlänge:   l  =  fObj.  +  fOk.            Vergrößerung beim Fernrohr:      

Mikroskop

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        Abbildungsfehler - Sehfehler

Das Auge

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        Einführung in die Wellenoptik

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        Kohärenz, Beugung und Interferenz an Doppelspalt und Gitter

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        Interferenz an dünnen Schichten

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        Polarisation und Spannungsdoppelbrechung

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        Einführung in die Quantenoptik

Am Ende des 19. Jahrhunderts glaubten viele Wissenschaftler, die Physik sei im Wesentlichen verstanden und man könne nur noch wenig Neues in der Physik entdecken. Die klassische Mechanik des Isaac Newton und die Theorie der Elektrodynamik nach dem Schotten Maxwell bildeten das Fundament der Physik und beide Theorien machten einen abgeschlossenen und allgemeingültigen Eindruck.  Nur einige wenige experimentellen Ergebnisse harrten noch einer ausreichend plausiblen Erklärung. Wie sich herausstellte, waren diese aber nicht im Rahmen der bisherigen  Physikmodelle erklärbar. Dies führte zur sogenannten Krise der klassischen Physik: 

1887 Michelson – Morley – Experiment
es gibt den bislang angenommenen Weltäther als Ausbreitungsmedium elektromagnetischer Wellen nicht
in allen gleichförmig zueinander bewegten Bezugssystemen hat die Lichtgeschwindigkeit immer den selben Wert

daraus Entwicklung der Relativitätstheorie von A.Einstein

1895 Entdeckung der Röntgenstrahlen ( W.C.Röntgen )
aus Elektronenröhren mit hoher Beschleunigungsspannung entweicht eine Art elektromagnetischer Strahlung, die viel durchdringender ist als Licht 
1896 Entdeckung der Radioaktivität (H.Bequerel)
aus dem Inneren von Atomen kommt spontan eine Mischung aus Teilchenstrahlung und elektromagnetischer Strahlung

daraus Entwicklung der Kernphysik

1896 Wiensches Verschiebungsgesetz
die Wärmestrahlung aus einem schwarzen Strahler verschiebt ihr Leistungsmaximum bei wachsender Temperatur hin zu kleineren Wellenlängen
1897 Entdeckung des Elektrons  (J.J.Thomson )
Bestätigung der noch vagen Atomtheorie 
1900 Rayleigh – Jeanssches - Strah- lungsgesetz
Wärmestrahlung kleiner Frequenz zeit ein anderes Verhalten als im Wienschen Verschiebungsgesetz vorausgesagt

daraus Entwicklung der Quantenphysik

          - 

Zur Klärung des Widerspruches zwischen dem Wienschen Verschiebungs- gesetz:   λmax = α ·   ( α = 2,9·10-3 K·m )   (gilt nur für große Frequenzen) und dem Rayleigh – Jeanssches – Strahlungsgesetz (gilt nur für kleine Frequenzen) galt es, eine einheitliche Strahlungsformel zu finden! Dafür benötigte Max Planck 1905 folgende Annahme: 
Atomare Schwinger (Oszillatoren) können Energie nicht kontinuierlich sondern nur in Form von Portionen (Quanten) der Größe: ε = h·f  abgeben bzw. aufnehmen. ( h = 6,626·10-34 J·s -  Plancksches Wirkungsquantum)

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        Der äußere lichtelektrische Effekt (Photoeffekt)

1888 -   Wilhelm Hallwachs

Elektronen können durch Einstrahlen von Licht aus Metalloberflächen herausgelöst werden

Anwendung: Photozelle (Vakuumröhre mit 2 Elektroden - Flächenkatode, Ringanode)
1 als lichtabhängige Spannungsquelle mit nA-Meter
2 als lichtempfindlicher Widerstand mit normalgepolter Spannungs- quelle und μA-Meter
1      2

Experimentelle Ergebnisse des äußeren lichtelektrischen Effektes:

  1. Bei Bestrahlung eines Festkörpers mit (sichtbarem) Licht können Elektronen aus dem Festkörper emittiert werden.

  2. Wenn Elektronen aus dem Festkörper herausgelöst werden, erfolgt dies spontan (d.h. es beginnt sofort mit dem Anschalten der Lichtquelle).

  3. Der dabei in einem Stromkreis mit konstanter angelegter Spannung Uo fließende Fotostrom wächst mit zunehmender Beleuchtungsstärke.

  4. Bei gleichbleibender Beleuchtungsstärke nimmt der Fotostrom mit wachsender Spannung Uo zu, bis es zu einer Sättigung kommt.

  5. Bei Anwendung der Gegenfeldmethode  ist ab einer bestimmten Gegenspannung -Ug kein Fotostrom mehr zu verzeichnen.

  6. Die daraus bestimmbare maximale kinetische Energie der ausgelösten Elektronen hängt nicht von der Beleuchtungsstärke , sondern nur von der Frequenz (Wellenlänge) des eingestrahlten Lichts ab.

  7. Die unter a) beschriebene Emission von Elektronen tritt überhaupt nur nach Überschreiten einer bestimmten Grenzfrequenz fG des eingestrahlten Lichts auf.

                  Erklärung durch A.Einstein 1905 mit Hilfe der ebenfalls 1905 von Max Plack veröffentlichten Quantentheorie

Deutung des äußeren Photoeffektes im Photonenmodell:         

Die im Widerspruch zur Wellentheorie stehenden Ergebnisse des Photoeffektes waren:

das Herauslösen der Elektronen aus Metalloberflächen erfolgt erst ab einer gewissen Grenzfrequenz fG; mit niederfrequentem Licht funktioniert der Photoeffekt trotz erhöhter Intensität nicht

sofortiges (spontanes) Einsetzen des Photoeffektes auch bei geringer Lichtintensität

die mit der Gegenfeldmethode bestimmbare kinetische Energie der herausgelösten Elektronen ist nur von der Frequenz (und nicht von der Intensität) des eingestrahlten Lichtes abhängig

Erklärung nach Einstein:

Licht ist keine kontinuierliche Welle sondern besteht aus Energieportionen (Wellenpaketen), den sogenannten Lichtquanten (Photonen); die Energie eines Photons berechnet sich mit   E = h · f

wechselwirkt ein solches Photon mit einem Elektron im Metall, so übergibt es dem Elektron seine gesamte Energie und hört auf zu existieren

war diese Energie geringer als die zum Herauslösen aus dem Metall benötigte Ablösearbeit (Austrittsarbeit) WA, so verbleibt das Elektron im Metall und gibt seine erhöhte kinetische Energie nach und nach an das Metallgitter ab (Erwärmung)

war die vom Photon abgegebene Energiemenge größer als WA, so nutzt das Elektron diese Energie zum Verlassen des Metalls und kann sich mit der verbleibenden kinetischen Energie außerhalb des Metalls bewegen

ein Photon kann immer nur mit einem Elektron wechselwirken

Ekin

f

EPh = WA + Ekin

Ekin  =  EPh  -  WA 

Ekin =  h · f  - WA

zu a) Haben die Lichtphotonen zu wenig Energie (f zu klein), so erhalten selbst bei hoher Lichtintensität viele Elektronen weniger Energie als WA; es werden also keine Elektronen aus dem Metall herausgelöst.

zu b)  Ist die Energie eines Photons größer als die Austrittsarbeit, so genügen wenige eingestrahlten Photonen, um einige Elektronen herauszulösen.

zu c)  Die kinetische Energie der herausgelösten Elektronen ist die Differenz aus eingestrahlter Photonenenergie und Ablösearbeit; diese Energie hängt bei gleichem Katodenmaterial tatsächlich nur von der Frequenz des eingestrahlten Lichtes ab.

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        Das Bohr-Sommerfeldsche Atommodell

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Jahrgangsstufe:    13        Semester:    II

        Der Franck-Hertz-Versuch

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        Spektralanalyse

· chemisches Analyseverfahren (1860) nach Robert W. Bunsen und Gustav R. Kirchhoff

· Stoff wird im gasförmigen Zustand zur Lichtemission gebracht oder mit dem Licht einer bekannten Lichtquelle durchstrahlt

· spektrale Zerlegung in einem Spektrographen (Prisma) oder in einem Gitterspektrometer

· fotographische Aufzeichnung des entstehenden Spektrums (Vergleich mit Farbtafeln)

· aus Lage der Spektrallinien kann auf das Vorhan- densein bestimmter  Elemente in der Probe ge- schlossen werden:

Vorteil gegenüber anderen chemischen Analyse- verfahren:· zuverlässiges Verfahren  auch bei kleinsten Stoffmengen

 

Anwendungen:  

· Prüfung des Reinheitsgrades von elektronischen Bauelementen,Reagenzien und Arzneimitteln

· Prüfung von Bodenproben auf Spurenelemente

· Überwachung von Reaktionsprodukten bei großtechnischenProzessen

· Untersuchungen in der kosmischen Physik (Zusammensetzung der Sonnenchorona, anderer Fixsternatmosphären und interstellaren Plasmen)

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        Laser (light amplification by stimulated emission of radiation )                                                     ( Lichtwellenverstärkung durch angeregte Aussendung von Strahlung )

1960 Charles Townes, Arthur Schawlow und Theodor Maiman

                 

Wirkungsweise eines Rubinlasers

Die Blitzlichtlampe bewirkt, dass eine Vielzahl  von im Rubin enthaltenen Chromatomen in den angeregten Zustand versetzt werden. Das bedeutet, dass viele Außenelektronen der Chromatome in das höhere Energieniveau E1 gelan- gen. Dort verbleiben  sie aber nur kurz ( ca 10-8 s ) und gehen strahlungsfrei ( Energieabgabe an das Rubingitter) in das metastabile Energieniveau Ez über, wo sie eine höhere Verweilzeit ( ca 10-3 s ) besitzen. Da die Blitzlichtlampe weiter pumpt, befinden sich bald mehr Elektronen im Zustand Ez als im Grundzustand (Besetzungsinversion). Fällt nun ein Elektron in den Grundzustand zurück und sendet dabei ein Lichtquant aus, reißt dies andere im metastabilen Zustand befindlichen Elektronen mit (induzierte Emission), so dass ein lawinenartiges Anwachsen der Aussendung von gleichartigen Lichtquanten (gleiche Richtung und Phasenlage) zu verzeichnen ist. Durch Hin- und herreflektieren zwischen den Resonatorspiegeln entsteht eine stehende Welle, von der der halbdurchlässige Spiegel einen Teil als Laserstrahl ausblendet.

Eigenschaften der Laserstrahlung:          - sehr paralleles Licht

                                                           - hohe Leuchtdichte

                                                           - hohe Monochromasie

                                                           - vollkommen kohärentes Licht

Laserarten: - Festkörperlaser ( z.B. Rubin-[rot], Neodymlaser [infrarot]) → Impulslaser

                   - Halbleiterlaser  ( z.B. Galliumarsenidlaser[grün] ) → IL oder Dauerstrichlaser

                   - Gaslaser(z.B.CO2-[infrarot],He-Ne-Laser[rot] →DSL             Excimerlaser[UV] → IL)

                   - Flüssigkeitslaser ( Farbstofflaser[durchstimmbar durch alle Wellenlängen] )
Intensität

gering

mittel        

        hoch

sehr hoch

 

Bestrahlungsdauer

hoch

        mittel

gering        

sehr gering

 

Wirkung

photochemische Wechselwirkung (Biostimutation)

photothermische Wechselwirkung (Koagulation)

photoablative Wechselwirkung (sehr genauer Gewebeabtrag)

photoablative Wechselwirkung             (sehr genauer Gewebeabtrag)

→ Wundheilung,Schmerzstillung →Laserskalpell, Stillung von Blutungen     →Augenoperationen Materialbearbeitung
Anwendungen der Lasertechnik:
Vermessungsarbeiten, Geodäsie ( Edelgaslaser )
berührungsloses Schneiden, Bohren, Schweißen ( CO2-Laser )
Informationsübertragung ( über Satellit oder durch Glasfaserkabel )

Medizin: Netzhautschweißen,Augenhintergrundvermessung,Zahnbehandlung,Krebstherapie,Stoßwellenlithotripsie

Unterhaltungselektronik (CD-Player ,Scanner ,Laserdrucker), Strichcodeerfassung

Holografie

Lumineszenz:   

ist die Sammelbezeichnung für die Lichtemission eines Stoffes oder Körpers, die nicht durch hohe Temperatur verursacht wird (kaltes   Leuchten). Lumineszenz lässt sich hervorrufen durch Bestrahlung mit sichtbarem oder ultraviolettem Licht , Röntgen- oder Gammastrahlen, mit Elektronen, radioaktiver Strahlung oder durch chemische, elektrische oder mechanische Vorgänge (z.B. beim Zerbrechen von Kristallen).       

Fluoreszenz: ist eine Form der Lumi- neszenz von Stoffen, die die nach Be- strahlung mit Licht, UV-, Röntgen- oder Elektronenstrahlen absorbierte Energie  in Form  von elektromagnetischer Strah- lung gleicher oder längerer Wellenlänge wieder abgeben. Die durch die Bestrah- lung  angeregten Elektronen gehen praktisch spontan (etwa innerhalb von 10-8s nach der Anregung) unter Emis- sion einer charakteristischen Fluores- zenzstrahlung in den Grundzustand  zurück. (Leuchtfarben,Fernsehbildröhren, Leuchtstofflampen)

Tritt die Lumineszenz praktisch nur während der Erregung auf, spricht man von Fluoreszenz, sonst von Phosphoreszenz.

Phosphoreszenz: beschreibt die  Eigenschaft mancher Stoffe, nach Beendigung einer nichtthermischen Anregung Licht auszusenden und (im Gegensatz zur Fluoreszenz) nachzu- leuchten. Die stark temperaturabhän- gigen Abklingzeiten (im Allgemeinen >10-3s) können mehrere Stunden andauern; der der Lichtemission zugrunde liegende Energieübergang erfolgt über metastabile Zustände in den Grundzustand. (Signalfarben, Leuchtbilder bzw. -puzzle)

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        Röntgenstrahlung

1895          Würzburg          Conrad Wilhelm Röntgen          Entdeckung einer neuen Strahlungsart (X-Strahlen)

Beim Auftreffen schneller Elektronen (UB >10 kV) auf Metalle entsteht Röntgenstrahlung. Dabei laufen zwei Vorgänge parallel zueinander ab: 
Die schnellen Elektronen werden beim Eintritt ins Metallgitter stark abgebremst. Dabei wird  ein Teil ihrer kinetische Energie in Form von Strahlung an die Umgebung abgegeben (Röntgenbremsstrahlung) kontinuierliches Spektrum mit Grenzwellenlänge λG
Einige schnelle Elektronen schlagen Hüllenelektro- nen des Anodenmaterials aus den tieferen Energie- niveaus des Atoms; die nachrutschenden Hüllen- elektronen von oberen Energieniveaus geben ihre überschüssige Energie in Form von Strahlung an die Umgebung ab. (charakteristische Röntgenstrahlung) Linienspektrum mit Kα und Kβ -Linie

für die kurzwellige Grenze des Röntgenbremsspektrums gilt, das die schnellen Elektronen maximal alle kinetische Energie abgeben können: 

        Ekin = ½·m·v2 = e·U = h·f = h·c/λ = EPh    

                         λG = (e·U)/(h·c)

für die Frequenz der Kα-Linie der charakteristischen Röntgenstrahlung gilt:

     Mosley-Gesetz:                     Rydbergfrequenz Ry = 3,288·1015 Hz

Röntgenstrahlung ist nichts anderes als hochenergetische elektromagnetische Strahlung mit sehr kurzer Wellenlänge, welche deshalb ein außer- gewöhnliches Durchdringungsvermögen aufweist. Dabei wird organisches Gewebe, Knochen oder Metalle unterschiedlich stark durchdrungen, was zunächst vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Medizin schuf.

    

Später setzte man die Röntgenstrahlung auch zur Untersuchung von Festkörpern ein und nutzte dabei seine kurze Wellenlänge zur Aufzeichnung von Interferenzbildern (Röntgenstrukturanalyse).

                                         Debye-Scherrer-Verfahren  

Laue - Diagramme

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        Eigenschaften von Mikroobjekten

Nachdem wir bei Photonen festgestellt haben, dass sie sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzen und nicht mit einem der beiden Modelle vollständig beschrieben werden könne, liegt nahe ähnliches auch von anderen Mikroobjekten (wie z.B. Elektronen, Neutronen, Protonen, Atomen u.ä.)  zu erwarten, die wir bisher eher für Teilchen gehalten hätten. Interferenzversuche mit Elektronen am Doppelspalt bestätigen diese Vermutung. Dabei werden zunächst die beiden Spalte einzeln geöffnet und mit einer Vielzahl von Elektronen beschossen, bevor man die Verteilung der auf den Schirm treffenden Elektronen bei vollständig geöffnetem Doppelspalt untersucht:

Verteilung bei offenem linken Spalt

erwartete Verteilung bei offenem Doppelpalt

Verteilung bei offenem rechten Spalt

bei vielmaligem Beschuss mit Elektronen ergibt sich bei geöffnetem Doppelspalt nicht die Überlagerung der beiden Verteilungskurven der Einzelspalte  reale Verteilung bei offenem Doppelspalt

 

sondern ein typisches Interferenzmuster ähnlich den bei optischen Versuchen dieser Art

Auch Elektronen haben offenbar Teilchen- und Welleneigenschaften. Allgemein ergibt sich: jedes Mikroobjekt (auch Quantenobjekt genannt) hat etwas Welliges, etwas Körniges und etwas Stochastisches. Aus den Abständen der Elektronenbeugungsmaxima kann man eine von der Geschwindigkeit der Elektronen abhängige Wellenlänge bestim- men, die sogenannte de-Broglie-Wellenlänge:        

Da die Wellenlänge von schnellen Elektronen wesentlich kleiner als die Wellenlänge von sichtbarem Licht ist, kann man bei Beobachtung und Abbildung mittels "Elektronenwellen" ein höheres Auflösungsvermögen erreichen.

Debye-Scherrer-Ringe an dünner Silberfolie Untersuchung mikroskopisch kleiner Objekte mit:
a) mit Elektronen b) mit Röntgenstrahlung Lichtmikroskop Elektronenmikroskop

Auch auf die Frage, durch welchen der beiden Spalte eigentlich ein einzelnes Elektron nun geflogen ist, ist eine eindeutige Antwort nicht möglich. Eine Ortsbestimmung von Mikroobjekten erfordert die Beobachtung mit Licht (also den Beschuss mit Photonen), was die Geschwindigkeit (den Impuls) des Mikroobjektes maßgeblich verändert. Solange man jedoch nicht konkret beobachtet, sind nur statistische Wahrscheinlichkeitsaussagen über den Aufenthalt von Mikroobjekten möglich.

Heisenbergsche Unschärferelation:

es ist nicht möglich, gleichzeitig Ort und Impuls eines Mikroobjektes beliebig genau zu bestimmen.                        es gilt:      Δx ·Δp   ½h    ( h = h/(2π) )

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        Grundkenntnisse über den Atomkern

Größenrelationen:         Atomradius rA 0,6 - 2,6·10-10 m                         Kernradius rK 10-14 - 10-15 m

                                                                                                rK : rA  =  1 : 100 000

hat der Atomkern die Größe einer Erbse , so würde man das Elektron im Umkreis von 0,25 km finden
stellt die Kuppel des Berliner Fernsehturmes das Atom dar, so entspricht ein Stecknadelkopf in ihrem Innern dem Atomkern
legt man einen Kirschkern auf den Anstoßpunkt eines Fußballfeldes so symbolisiert das ganze Fußballfeld das Ausmaß des ganzen Atoms

Massenrelationen:    Atommasse mA 1,67·10-27 - 10-25 kg                        Kernmasse mK mA Atommasse

                                    weil trotz kleiner Abmessungen 99,9% der Atommasse im Kern konzentriert ist

im Wasserstoffatom ist die Kernmasse gleich dem 1837-fachen der Masse des Hüllenelektrons
Kernmassendichte  ρ = 1,5·1017 kg/m3 , das bedeutet: 1cm3 Kernmasse wiegen rund 100 Mio t
atomare Masseneinheit u: ... gibt die mittlere Masse eines gebundenen Nukleons (Kernteilchens) an

                                nach internationaler Vereinbarung:        1u = ·mA ( ) =  1,66057·10-27 kg

relative Atommasse Ar: ... gibt an, wie viel mal größer die absolute Masse eines Atoms verglichen mit dem -Atomkern ist           

Aufbau der Atomkerne aus Elementarteilchen

Elementarteilchen:

 

nennt man die kleinsten Bausteine der Natur (mehr als 200 verschiedene)
tragen entweder eine positive Elementarladung, eine negative Elementarladung oder sind elektrisch neutral
können sich ineinander umwandeln

 Arten (Typen) von Elementarteilchen:

  Photon Leptonen Mesonen Baryonen
  (γ - Quanten)

 

 

Elektron

0,0009·10-27kg

 

in Hülle

Positron

0,0009·10-27kg

in kosmischer Höhen- strahlung

Pion

0,246·10-27kg

in kosmischer Höhen- strahlung

Kaon

0,879·10-27kg

 

 

Proton

1,673·10-27kg

in Atomkern 

 

Neutron

1,673·10-27kg

in Atomkern

(Abschirmung)

Ladung 0 -e +e -e ; 0 +e +e 0
Massenzahl 0 0 0  ½ 1 1
Spin in h/2π 0  ½  ½ 0  0  ½  ½
Symbol (e-;β-) (e+;β+)    

 

Beschreibung von Atomkernen:

Atome bestehen aus dem Atomkern und der ihn umgebenden Hülle. Im Atomkern befinden sich Protonen und Neutronen, die  durch die starke Kernkraft im Kern zusammengehalten werden, die auf sehr kurze Entfer- nungen (<10-15 m) viel stärker als die elektromagnetische Abstoßungskraft ist.

Begriff, Zeichen Massenzahl A Ordnungszahl Z Neutronenzahl N
Definition ... gibt die Gesamtzahl der im Kern befindlichen Nukleonen an  ... gibt die Anzahl der positi- ven Elementarladungen (also der Protonen) im Kern an ... gibt die Anzahl der Neutro- nen im Kern an
Zusammenhang

A      =      Z      +      N

Symbolik

          zum Beispiel          

Isotope
Atomkerne mit gleichem Z, aber unterschiedlichem A 
gleiche chemische, aber unterschiedliche physikalische Eigenschaften
z.B.     
Isobare
Atomkerne mit gleichem A, aber unterschiedlichem Z
z.B.    
Isotone
Atomkerne mit gleichem N, aber unterschiedlichem Z
z.B.    
Nuklid
eine Art von Atomen, die alle den gleichen Kern (durch A und Z festgelegt) haben
isotopenreine Atomsorte
  sind z.B. die drei Nuklide des Wasserstoffatoms (Wasserstoff, Deuterium, Tritium)
Reinelemente
existieren nur in einer Nuklidform (ca. 20 chemische Elemente)
z.B.    ,    

Die in der Natur vorkommenden und die künstlich erzeugten Nuklide können in Form einer Nuklidkarten dar- gestellt werden. In dieser Tabelle erfährt man, ob ein Nuklid stabil oder instabil ist, mit welcher Isotopen- häufigkeit es vorkommt, zu welcher Art radioaktivem Strahler es gehört,  mit welcher Geschwindigkeit es zerfällt und welche Energie dabei auftritt.

   Dabei wird auch deutlich: 

 Die Anzahl der Neutronen wächst bei schwereren Kernen schneller als die Protonenzahl (Ordnungszahl).

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       Eigenschaften radioaktiver Strahlung

1896 Henri Becquerel
zufällige Entdeckung der Radioaktivität an Uran-Kalium-Doppelsulfat
Uransalze schwärzen lichtdicht verpackte Photoplatten
1898 Marie & Pierre Curie
Untersuchungen an Pechblende (Uranerz)
Entdeckung neuer,stark strahlender,chemischer Elemente wie Radium, Polonium
1899 Ernest Rutherford
Unterscheidung in α- und β-Strahlung 
1900 Paul U. Villard
Entdeckung der γ-Strahlung

Ergebnisse dieser Forschungsarbeiten:

die Kerne (Nuklide) einiger Kernarten (Isotope) bestimmter chemischer Elemente sind nicht für alle Zeit stabil, sie zerfallen (wandeln sich von selbst um) unter Aussendung einer besonderen Form von Strahlung in sogenannte Tochterkerne (Kerne anderer chemischer Elemente)
diese sogenannte radioaktive Strahlung (lat.: radiare-strahlen) hat im Unterschied zu UV-Licht bzw. Rönt- genstrahlung ihren Ursprung in den Atomkernen selbst
ihre Intensität ist von außen nicht beeinflussbar; man nennt den Vorgang deshalb auch Spontanzerfall
die Umwandlungsgeschwindigkeit ist dabei von Stoff zu Stoff sehr unterschiedlich; langsam zerfallende Radionuklide erzeugen dabei  eine eher geringe Radioaktivität, schnell zerfallende Radionuklide  strahlen bei gleicher Masse besonders stark
Eigenschaften radioaktiver Strahlung:
breitet sich geradlinig aus
ist Träger von Energie
kann Photoplatten schwärzen
kann Stoffe durchdringen
kann Stoffe ionisieren
kann Stoffe zum Fluoreszieren veranlassen
bei Untersuchung dieser Strahlung in Magnetfeldern stellte sich heraus, dass es drei verschiedene Arten radioaktiver Strahlung gibt:
α - Strahlung (geringe Ablenkung durch Lorentzkraft deutet auf relativ schwere Teilchen mit positiver Ladung)  -  2fach positiv geladene Heliumionen       oder    
β - Strahlung (starke Ablenkung in entgegengesetzte Richtung deutet auf leichte, negativ geladene Teilchen)  -  Elektronen   
γ - Strahlung (passiert ein Magnetfeld ohne Ablenkung, deutet auf ungeladene Teilchen oder auf Wellennatur der Strahlung)  -  hochenergetische, elektromagnetische Welle (γ-Quant)  
genauere Untersuchungen ergaben Unterschiede zwischen den radioaktiven Strahlungsarten bezüglich des Durchdringungs- und Ionisationsvermögens:
Strahlungsart α - Strahlung β - Strahlung γ - Strahlung
Durchdringungsvermögen gering mittel sehr groß
Ionisationsvermögen sehr groß gering erheblich

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        Nachweisgeräte für radioaktive Strahlung

Geiger-Müller-Zählrohr
radioaktive Strahlung ionisiert Füllgas, Ladungsträgerwolke löst elektr. Impuls aus
Nachweis von Teilchen- und Gammastrahlung
Energie der Strahlung nicht messbar
Ionisationskammer
radioaktive Strahlung ionisiert Füllgas in Kondensator
Anzahl der einfallenden Teilchen und Quanten messbar
Energie der ionisierenden Strahlung messbar
Szintillationszähler
radioaktive Strahlung verursacht Lichtblitze aus fluoreszierender Substanz-Photoeffekt
Nachweis und Energiemessung der radioaktiven Strahlung möglich
Untersuchung von Spektren der radioaktiven Strahlung
Nebelkammer
Wasser-Alkohol-Dampf kondensiert an von radioaktiver Strahlung verursachten Ionen
Spur der einfallenden Strahlung für kurze Zeit sichtbar
Untersuchung einzelner Strahlungsprozesse
Blasenkammer
Dampfbläschen entlang der Bahn ionisierender Strahlung (hohe Energie)
Beobachtung und Photographie einzelner Strahlungsprozesse

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        Natürliche Radioaktivität

Der radioaktive Zerfall ist ein statistischer Vorgang, d.h. bei genügend großer Anzahl von Radionukliden einer Art kann vorausgesagt werden, wie viele Kern in einer bestimmten Zeit zerfallen werden. Aussagen darüber, wann sich ein bestimmter Kern umwandeln wird, sind jedoch nicht möglich. 

Es gibt in der Natur vier sogenannte "natürliche Zerfallsreihen" , die mit den folgenden Radionukliden beginnen bzw. enden:

      Thorium-Reihe                  
         Uran-Radium-Reihe         
        Uran-Actinium-Reihe       
        Neptunium-Reihe             

Zwischen diesen Radionukliden existiert eine Folge von radioaktiven Folgekernen, bei deren Umwandlung verschiedene radioaktiven Strahlungsarten mit verschiedenen Zerfallszeiten auftreten. Mit der Zeit stellt sich zwischen den Gliedern einer Zerfallsreihe ein Gleichgewicht ein, so dass die Folgekerne einer Zerfallsreihe entsprechend ihren Zerfallszeiten in unterschiedlicher Häufigkeit auf der Erde anzutreffen sind. So spielen z.B. die Nuklide der Neptuniumreihe wegen der relativ kurzen Zerfallszeit  der Reihe von ca. 2,14·106 Jahren (Summe der Zerfallszeiten aller einzelnen Umwandlungsprozesse) auf der Erde kaum noch eine Rolle.

Physikalische Größen zur Beschreibung radioaktiver Zerfallsprozesse:

phys.Größe FZ physikalische Bedeutung Einheit Gleichung
Aktivität (eines radioaktiven Präparates ) A ...gibt an, wie viele Kerne ∆N in einer bestimmten Zeit ∆t zerfallen sind. (hängt ab von der Halbwertszeit und von der Ausgangsmasse des verwendeten Materials) 1Bq (Becquerel) 1 Bq = 1/s = s-1
Halbwertszeit (eines radioak- tiven Nuklides) T½ ...gibt an, in welcher Zeit die Hälfte aller Atomkerne einer Art unter Aussendung radioaktiver Strahlung zerfallen sind 1s, 1min, 1d, 1a

daraus ergibt sich folgende Zerfallskurve:      mit jeder weiteren Halbwertszeit T½, die vergeht, halbiert sich auch die Anzahl der unzerfallenen Kerne des radioaktiven Materials 

Die Anzahl der umgewandelten Kerne ∆N ist abhängig von der Gesamtanzahl der zu einer bestimmten Zeit t vorhandenen Kerne einer Kernart N(t) und von der danach ablaufenden Zeitspanne ∆t.      -∆N  ~ N(t)·∆t

   -N'(t) ~ N(t)    N'(t) = -λ·N(t)    N'(t) + λ·N(t) = 0 Differentialgleichung 1.Grades Lösung solcher Gleichungen erfolgt mit Hilfe der Exponentialfunktion f(x) = ekx, weil die 1.Ableitung einer Exponentialfunktion ein Vielfaches der Ausgangsfunktion ist (Kettenregel):

(Zerfallsgesetz 1)     N(t) = No·e-λ·t    No - Anzahl der Radionuklide einer Kernart zu Beginn der Beobachtung

                                                         λ - Zerfallskonstante (stoffabhängig), steht in direktem Zusammenhang zu T½

Wegen des Zusammenhangs zwischen Aktivität und Kernanzahl :      A(t) = λ·N(t)     gilt ähnliches  für die Aktivität:   A(t) = Ao·e-λ·t  (Zerfallsgesetz 2)

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