Jahrgangsstufe:    11                Semester:    I

1.  Analytische Geometrie - Koordinatengeometrie

   1.1  Einführung in die Koordinatengeometrie - Koordinatensysteme

         Aufgabe:  . geometrische Sachverhalte berechenbar machen

                     . Geraden, Kreise u.a. geometrische Objekte werden als Menge von Punkten aufgefasst,

        deren Koordinaten Gleichungen mit 2 (bzw. 3) Variablen erfüllen müssen

Bsp.:  Computergraphiken

 

      Koordinatensysteme 

                        ebenes KS                                          räumliches KS

                                                                           

      . zwei Koordinatenachsen                                  . drei Koordinatenachsen

      . unterteilen Ebene in vier Quadranten                . unterteilen Raum in acht Oktanten

      . jedem Punkt wird ein geordnetes Zahlen-          · jedem Punkt wird ein geordnetes Zahlen-

        paar  [x | y]  zugeordnet                                   tripel  [x | y | z ]  zugeordnet

 

      kartesisches Koordinatensystem:  . Koordinatenachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander

                                                      · jede Einheit entspricht  1 cm  (gleichmäßige Achseneinteilung)

      Polarkoordinatensystem: - Lage eines Punktes wird definiert durch seine Verbindungslinie zum KU

                                            - die beiden Koordinaten geben den Winkel dieser Verbindungslinie zum positiven

                                      Teil der x-Achse  sowie deren Länge an

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        1.2 Länge einer Strecke - Abstand zweier Punkte

Die Länge der Strecke P1P2 kann bei beliebiger Lage der Punkte stets mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus den Koordinaten der beteiligten Punkte ermittelt werden. Im rechtwinkligen Dreieck P1P2P3 gilt:      also folgt:              

 Bsp.:

geg:  P(1|3)  Q(4|5)       ges: PQ  Lösung:   PQ = √(4-1)2+(5-3)2 = √13 ≈ 3,6(LE)

geg:  A(-14|9)  B(21|-15)       ges: AB  Lsg: AB= √(21-(14))2+(-15-9)2 = √1801 ≈ 42,4(LE) 

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        1.3 Mittelpunkt einer Strecke

Zur Berechnung der x-Koordinate des Mittelpunktes M einer Strecke P1P2 betrachtet man die kongruenten Dreiecke P1QM und MRP2 (Punkt Q(xm|y1) und Punkt R(x2|ym). Da in kongru- enten Dreiecken einander entsprechende Strecken gleichlang sind, gilt: xm - x1 = x2 - xm woraus für xm folgt:   Analog kann man aus diesen Dreiecken ableiten:. Die Koordinaten des Mittelpunktes M ergeben sich also aus den arithmetischen Mitteln der beteiligten Punktkoordinaten.

geg:  P(1|3)  Q(4|5)  ges: MPQ  Lösung:   MPQ( )

                    MPQ( 2,5|4)

geg:  A(2|2)  M(5|3)  ges: B  Lösung:     

              xB = 8  yB = 4   B(8|4)

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        1.4 Steigung einer Strecke

Strecken können in einem Koordinatensystem ganz unterschiedlich liegen; um die Richtung einer Strecke festzulegen, gibt es zwei Möglichkeiten: 
den Steigungswinkel α
die Steigung m (Steigungszahl, Anstieg)

Jede Strecke P1P2 ist Teil einer Geraden g, insofern definiert man die Steigung einer Strecke analog zum Anstieg einer Geraden: ;im sogenannten Steigungsdreieck ergibt sich der Steigungswinkel α mit:   und somit gilt folgender Zusammenhang zwischen beiden Bestimmungsmerkmalen:  m = tanα 
für monoton steigende Strecken gilt:  m > 0   und  0°< α < 90°
für monoton fallende Strecken gilt:  m < 0   und  90°< α < 180°

Sonderfall: waagerechte Strecken

y2 - y1 = 0  also m = 0  

                und α = 0°

Sonderfall: senkrechte Strecken

x2-x1 = 0  also m=n.d. (m = )

                       und   α = 90°

Sonderfall: parallele Strecken

              m1 = m2  

Sonderfall:orthogonale Strecken

m2·m1 = -1  oder   

Bsp:  geg.: A(-4|1)  B(2|-2)  ges.: m ,α    Lösung: m = (-2-1)/(2+4) = -½    m = tanα = -½    α = 153,4°         

Bsp.: Weisen Sie nach, dass die Strecken AB mit A(3|4) und B(1|-2)  und PQ mit P(0|3) und Q(6|1) orthogonal zueinander sind!

mAB = (-2-4)/(1-3) = 3   mPQ = (1-3)/(6-0) = - ⅓      

m2·m1 = - ·3 = -1   oder    m2 = -1/m1 = -1/3 = - ⅓      Strecken AB und PQ sind orthogonal

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        1.5 Innenwinkel von Figuren

Mit Hilfe der Steigungswinkel von Strecken kann man die Innenwinkel von Dreiecken und damit die Innenwinkel vieler ebener Figuren berechnen. Dabei gilt: die Differenz zweier Steigungswinkel ergibt den Innenwinkel am gemeinsamen Punkt beider Strecken oder den Nebenwinkel zu diesem. Genaueres muss man einer Skizze entnehmen.

Bsp.: Dreieck ABC mit A(1|2), B(4|1) und C(3|4) Bestimmen Sie die drei Innenwinkel α, β, γ!

        mAB= - ⅓    αc= 161,6°         mAC= 1    αb= 45,0°          mBC= -3    αa= 108,4°

α'  = αc - αb =  161,6° -  45°  =  116,6° ist der Nebenwinkel   α = 180°- α' = 63,4°
β  =  αc - αa = 161,6° - 108,4° =  53,2°
γ  =  αa - αb =  108,4° -  45°   =  63,4°

Diese Dreieck ist gleichschenklig, was eine Seitenlängenberechnung (a=√10=c, b=√8) bestätigt.

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        1.6 Geradengleichungen

Eine Gerade ist eine unendliche Punktmenge, die im Unterschied zu einer Strecke weder Anfangs- noch Endpunkt besitzt, also auch nicht über diese definiert werden kann. Sie ist eindeutig festgelegt durch:
einen gegebenen Punkt P1(x1|y1) und eine Angabe über die Richtung der Gerade (m oder α )
zwei gegebene Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2)

Punktrichtungsgleichung

y = m·x + n

y1 = m·x1 + n      n = y1 - m·x1

     y = m·x + (y1 - m·x1)

y - y1= m·x - m·x1

y - y1= m·(x - x1)

Zwei-Punkt-Gleichung

y - y1= m·(x - x1)

y - y1= ·(x - x1)

oder in der Form

(y - y1)·(x2 - x1) = (y2 - y1)·(x - x1)

Bsp.:  geg.:  P(3|5)  α = 60°    ges.: Gleichung von g

m = tanα = tan 60° =  √3

y - y1= m·(x - x1)

y - 5= √3·(x - 3)

y = √3·x +5 - 3√3

Bsp.:  geg.:  P1(-2|3)  P2(4|-5)    ges.: Gleichung von g

y - y1= ·(x - x1)

y - 3= ·(x - (-2))

y - 3= - 4/3·(x + 2)

y = - 4/3·x +

Egal ob über Punktrichtungsgleichung oder Zwei-Punkt-Gleichung aufgestellt, erhält man zunächst die Gleichung der Geraden in der Form: y = m·x + n , die man auch kartesische Normalform der Geradengleichung nennt. Für verschie- dene Anwendungen (z.B. Schnittpunktsberechnungen u.a.) kann es aber von Vorteil sein, diese Gleichungen nach Termen mit Variablen und Absolutgliedern zu ordnen, was zur allgemeinen Geradengleichung führt: Ax + By = C. Für graphische Darstellungen erweist sich noch eine andere Form der Geradengleichung als besonders geeignet, die sogenannte Achsenabschnittsform, die man aus der allgemeinen Geradengleichung erhält, in dem man noch durch das Absolutglied teilt und die dabei vor x und y auftretenden Brüche mit Vorzeichen reziprok unter x und y schreibt: x/u + y/v = 1. Diese Gleichungsform ist dadurch gekennzeichnet, dass das Absolutglied immer 1 beträgt und er- möglicht es ,ganz leicht die Schnittstellen der Gerade mit den Koordinatenachsen (u und v) abzulesen.

Bsp.:    Gerade g gegeben durch: A(2|-1) und B(-2|2)

y +1 = ·(x - 2)          y + 1 = - ¾·(x - 2)       y = - ¾·x + ½   /·4                

   4y = - 3x + 2       3x + 4y  = 2   /:2      3/2·x + 2y = 1            u = ⅔  v = ½

 

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        1.7 Lagebeziehung zwischen zwei Geraden - Schnittwinkel zweier Geraden

Geht man davon aus ,dass sich im allgemeinen zwei Geraden in der Ebene in einem gemeinsamen Punkt S schneiden, so müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichungen beider beteiligter Geraden erfüllen, d.h. jeweils in eine wahre mathematische Aussage überführen. Diese Überlegung ermöglicht es uns, die Koordinaten eines solchen gemeinsamen Schnittpunktes durch das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen rechnerisch zu bestimmen. Dabei entsteht i.A. ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.

Bsp.:   g1y =  3x - 3     

          g2y = -½·x+4  

            3x-3 = -½·x+4         7/2·x = 7         x = 2         y = 3·2 - 3 = 3             L ={[2|3]}

                                                                              y = -½·2 + 4 = 3             S(2|3)

Das dabei auftretende Gleichungssystem hat mehrere Lösungsmöglichkeiten, was zu folgenden Lagebeziehungsmög- lichkeiten für zwei Geraden in der Ebene führt:

Geraden schneiden sich in einem Punkt Geraden liegen parallel zueinander Geraden sind identisch
Gleichungssystem hat genau eine Lösung

eindeutige Lösung: L = {[xS|yS]}

Gleichungssystem hat keine Lösung

L = Ø  (leere Menge)

Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

L  = {[x|y(x)]} eine freie Variable

Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt S, so stellt sich die Frage nach dem Schnittwinkel. Zunächst erzeugen die beiden Geraden rund um den Schnittpunkt S vier Winkel, von denen je zwei nach dem Scheitelwinkelsatz gleichgroß sind. Von den verbleibenden zwei Winkel betrachtet man per Definition den kleineren als den Schnittwinkel φ; damit gilt: 0°<= φ <=  90°

     α2 = α1 + φ         φ  = α2 - α1     (Nebenwinkelsatz für Dreiecke)

     tanφ  = tan(α2 - α1) =   (nach Additionstheorem TW.S.35)

     tanφ  =      wegen Betragstriche tanφ > 0 und damit  0°φ  < 90°

Damit gilt für den Schnittwinkel im obigen Beispiel:  tanφ =  =   = 7        φ = 81,9°

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        1.8 Besondere Linien im Dreieck

Mit den bisherigen Kenntnissen ist es möglich, fast alle besonderen Linien in einem gegebenen Dreieck durch Geradengleichungen zu erfassen:

Seitenhalbierende verlaufen durch den Mittelpunkt einer Seite und den gegenüberliegenden Eckpunkt und können mit Hilfe der Zwei-Punkt-Gleichung unter Nutzung der Formeln zur Berechnung von Mittelpunkts- koordinaten aufgestellt werden

Mittelsenkrechten verlaufen durch den Mittelpunkt einer Dreiecksseite und sind orthogonal zu dieser; sie können unter Nutzung der Formeln zur Berechnung von Mittelpunktskoordinaten und der Beziehung zwischen den Anstiegen orthogonaler Geraden (Strecken) über die Punktrichtungsgleichung aufgestellt werden

Höhen verlaufen durch einen Dreieckseckpunkt und sind senkrecht zur gegenüberliegenden Dreiecksseite; sie können also ebenfalls mittels Punktrichtungsgleichung und der Beziehung zwischen den Anstiegen orthogonaler Geraden aufgestellt werden

Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Lagert man ein reales (z.B. ausgeschnittenes) Dreieck in diesem Punkt auf einer Spitze, so befindet es sich im (labilen) Gleichgewicht. Die drei Mittelsenkrechten desselben Dreiecks schneiden sich in einem (i.A.) anderen Punkt M; dieser ist der Mittelpunkt des Dreiecksumkreises, denn er ist zu allen drei Eckpunkten gleichweit entfernt. Auch die drei Höhen desselben Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H; dieser hat aber bezüglich des Dreiecks keine besondere Bedeutung. Die von uns hier nicht näher betrachteten Winkelhalbierenden dieses Dreiecks liefern als Schnittpunkt W den Mittelpunkt des Dreiecksinkreises. Interessant ist in diesem Zusammenhang die Tatsache, dass alle genannten Punkte (also S, M, H und W) in jedem Dreieck auf ein und derselben Gerade - der sogenannten Eulerschen Gerade -  liegen.

Bsp.:    Dreieck ABC sei gegeben mit A(1|1), B(5|4) und C(3|6)

Seitenlängen:     AB = 25 = 5        AC = 29  ≈ 5,4(LE)          BC = 8 ≈ 2,8(LE)

Dreiecksseiten:   Gerade gAB:  y = ¾·x + ¼        Gerade gAC:  y = 5/2·x - 3/2        Gerade gBC:  y = -x + 9

Innenwinkel   :   tanαc=¾  tanαb=5/2 tanαa=-1  αc=36,87°  αb=68,2°  αa=135°   α = 31,3°   β = 81,9°   γ = 66,8°

Seitenmittelpunkte:    MAB(3|5/2)        MAC(2|7/2)        MBC(4|5)

Seitenhalbiereden:    Gerade sc:  (y - 5/2)·(3 - 3) =(6 - 5/2) ·(x - 3)      0 =7/2 ·(x - 3)    x = 3           S(3|11/3)             Gerade sb:  y-7/2 = ·(x-2)      y = 1/6·x + 19/6            Gerade sa:  y - 5 = ·(x - 4)        y = 4/3·x - 1/3

Mittelsenkrechten:    Gerade mc:   y - 5/2  =  -4/3·(x - 3)      y = -4/3·x + 13/2                                             M(33/14|47/14) Gerade mb: y - 7/2 = -2/5·(x - 2)       y = -2/5·x + 43/10        Gerade ma: y - 5 = 1·(x - 4)        y = x + 1    

Höhen:  Gerade hc:  y - 6 = -4/3·(x - 3)       y = -4/3·x + 10                                                     H(30/7|30/7) Gerade hb:  y - 4 = -2/5·(x - 5)       y = -2/5·x + 6           Gerade ha:  y - 1 = 1·(x - 1)     y = x 

Eulersche Gerade:   y - 11/3 = ·(x - 3)         y - 11/3 = 13/27·(x - 3)        y = 13/27·x + 20/9

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        1.9 Der Flächeninhalt eines Dreiecks

Mit den erworbenen Kenntnissen hat man zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks, von dem die Koordina- ten der Eckpunkte gegeben sind, die folgenden drei Möglichkeiten:

mit der aus der Sekundarstufe I bekannten Formel:
A = ½·a·b·sinγ
A = ½·b·c·sinα
A = ½·a·c·sinβ
mit der aus der Sekundarstufe I bekannten Formel:
A = ½·g·hg = ½·a·ha = ½·b·hb = ½·c·hc

Um die benötigte Länge der Höhe zu ermitteln. berechnet man zunächst die Koordinaten des Schnittpunktes F (Lotfußpunkt) zwischen Grundseite und Höhe.

mit der neuen Formel: 

A=½·|x1·(y3-y2)+x2·(y1-y3)+x3·(y2-y1)|

aus obigem Beispiel ergibt sich:

A = ½·a·b·sinγ

A = ½·29·8·sin66,8° = 7 (FE)

A = ½·b·c·sinα

A = ½·29·5·sin31,3°= 6,99 (FE)

A = ½·a·c·sinβ

A = ½·8·5·sin81,9° = 7 (FE)

aus obigem Beispiel ergibt sich:

Seite c:  y = ¾·x + ¼         Höhe hc:  y = -4/3·x+10

aus  ¾·x + ¼ =-4/3·x+10  folgt xF=117/25  yF=94/25

also F(4,68|3,76) 

und damit FC=(3-117/25)2+(6-94/25)2 = √7,84 = 2,8 (LE)

= ½·c·hc = ½·5·2,8 = 7 (FE)

 

aus obigem Beispiel ergibt sich:

A=½·|x1·(y3-y2)+x2·(y1-y3)+x3·(y2-y1)|

A=½·|1·(6-4)+5·(1-6)+3·(4-1)|

A = ½·|(-14)|

A = 7 (FE)

 

 

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      Kreise - die Kreisgleichung

            Wiederholung - der Kreis 

    Definition: Ein Kreis K ist die Menge aller Punkte einer Ebene E, die von einem festen Punkt M dieser 

                    Ebene den gleichen Abstand r haben.

    Welche Angaben benötigt man zur eindeutigen Festlegung eines Kreises?    M;r  oder M;d

    Zeichnen eines Kreises mit M und r = 3 cm !

    Wiederholung der Begriffe:   Sekante, Tangente, Passante, Sehne, Kreislinie, Zentri- und                 

                                            Peripheriewinkel

    Wie erhält man eine Gleichung für diesen Kreis?

    Einzeichnen eines geeigneten Koordinatensystems  mit O(0/0)  =  M und eines beliebiger                

    Kreispunkt  P(xp/yp)

    Anwenden der Formel für den Abstand zweier Punkte:

                                             =  r

                                                           =  r

                                                         xp² + yp²   = 

                               Gleichung für einen Kreis in Mittelpunktslage:     x² + y²  = 

     B      Kreis k :   M(0/0); r = 3            x² + y²  =  9

           alle Punkte, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen, liegen auf dem Kreis k    

    Anwendung der Kreisgleichung zur Lageprüfung von Punkten bezüglich eines gegebenen Kreises

     Ü     Kreis k:  M(0/0); d = 10

             Prüfe die Lagebeziehung folgender Punkte zum Kreis k!

            P(-3/4)  Q(- 2/-3)  R(4/-4)  S( \/¯10 / \/¯15 )

    Anwenden der Kreisgleichung zur Ermittlung der vollständigen Koordinaten von Kreispunkten

      Ü    Kreis k:  M(0/0); r  =  4

            Berechne die fehlende Koordinate des Punktes!

             P( 2/y )     Q( x/-3 )      R( -5/y ) 

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2. Lineare Gleichungssysteme    

2.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme lassen sich lösen mit:

Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren

Bsp.:  I   2x + 4y = 13    /·(-3)          (-3)·I  -6x - 12y = -39           (-3)·I + 2·II    -2y  =  -9

          II 3x + 5y = 15    /·2                   2·II    6x + 10y = 30                                          y = 4,5 

                                                                               y in I      2x + 4·4,5 = 13           x = -2,5

                                                                               y in II     3x + 5·4,5 = 15            x = -2,5        L = {[-2,5|4,5]}

I*  y = -1/2·x + 13/4         II*  y = -3/5·x + 3

Schnittpunkt  S(-2,5|4,5)

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        Determinantenverfahren für lineare GLS mit zwei Variablen

I       a11x + a12y  =  b1

II     a21x + a22y  =  b2    

I  umstellen nach x:        a11x  =  -a12y + b1   /:a11

                                   x  = - y +

 x einsetzen in II :

           a21 + a22y  =  b2        /.a11

          a12y + a21b1 + a22a11y  =  a11b2     /-a21b1

                       -a21a12y  + a22a11y  =  a11b2 – a21b1

               (a11a22 – a12a21) . y  =  a11b2 – a21b1 /:( a11a22 – a12a21)

                                               y  =       =   

                    analog erhält man:                  x  =      =

 

daraus folgt: das lineare Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung:       L  =  {[ | ]}

Mit dieser Lösungsmenge könnte man nun jedes LGS mit zwei Variablen durch Einsetzen der Koeffizienten in diese Terme lösen. 

Problem: Einprägen der Termstrukturen der Lösungsmenge

Lösung des Problems:  mit Hilfe der Matrizenrechnung:

Da die Lösung des LGS nicht von der Art der Variablen, sondern nur von den Koeffizienten vor den Variablen und den Absolutgliedern abhängt, kann man jedes Gleichungssystem auch als Matrix schreiben:

           erweiterte Koeffizientenmatrix  A' =                              Koeffizientenmatrix A =         und da man zu jeder quadratischen Matrix (gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten) nach einer gewissen Rechen- vorschrift eine Determinanten (Zahl) ausrechnen kann, ergeben sich für diese Determinanten unter bestimmten Umständen gerade die Terme aus der Lösungsmenge von oben. Für quadratische Matrizen 2-ter Ordnung kann man z.B. die Determinante ausrechnen, in dem man vom Produkt der beiden Glieder in der Hauptdiagonale (a11, a22) das Produkt der Glieder in der sogenannten Nebendiagonale (a12, a21) abzieht. Ersetzt man nun noch die Spalten in der Koeffizientenmatrix geeignet durch die Absolutglieder (b1, b2), so erhält man mit der gleichen Rechenvorschrift auch die beiden anderen Terme aus der Lösungsmenge.

det(A) = D =   =  a11.a22 a21.a12      Koeffizientendeterminante

 

det(A1) = D1 =  =  a22.b1 a12.b2         Zählerdeterminante von x

 

det(A2) =  D2 =  =  a11.b2 a21.b1         Zählerdeterminante von y

                    Produkt der Hauptdiagonale - Produkt der Nebendiagonale  

Nach der Cramerschen Regel gilt nun - falls det(A) ≠0 - für x:   x = D1/D  und für y:   y = D2/D und damit die gleiche Lösung wie oben.

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        Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen

a)    I     3x  -  5y  =  -1   /·3                                                     b)    I     -4x + 2y  =  10

       II  -9x + 15y = 2                                                                        II      2x -  y   =  -5     /·2

3·I + II            0   =   -1    Widerspruch                                    I + 2·II            0   =   0       Nullzeile

                        L = Ø                                                                                        L = {[x|2x + 5]}

    D  =   =  45 - (-45)  =  0                                              D  =     = 4 - 4  =  0 - 4  =  0

    D1 =    = -15 - (-10)  =  -5                                            D1 =   = -10 - (-10)  =  0 - (-10)  =  0

    D2 =   =  6 - 9  =  -3                                                      D2   = 20 - 20  =  0

            x = -5/0        y = -3/0   →  nicht definiert                               x = 0/0        y = 0/0    →  nicht bestimmt

  keine Lösung

L = Ø

eindeutige Lösung

L = {[x|y]}

unendlich viele Lösungen

L = {[x|mx+n]}

Gleichungssystem

Determinanten D = 0

D1 oder D2 ungleich Null

D ≠ 0

 

D = 0

D1 = D2 = 0

graphische Deutung parallele Geraden in Ebene

keine gemeinsamen Punkte

nichtparallele Geraden (Eb.)

ein (gemeins.) Schnittpunkt

identische Geraden in Ebene

unendlich viele gem. Punkte

Bsp.:    Für welche Werte des Parameters a hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung!

            I   2x - 5y  =  9            I   -4x + 10y  =  18            I + II   10y + ay  =  23

           II  4x + ay  = 5            II    4x  +  ay  =  5                            (10 + a)·y = 23

                                                                                                                        y  = 

                                                            -4x + 10· = 18     /·(10+a)

                                            -4(10+a)x + 230 = 18(10+a)

                                            -4(10 +a)x + 230  =  180 + 18a    /-230                            L = {[ |]}

                                                    -4(10+a)x    =  -50  +  18a    /:(-4)

                                                        (10+a)x    =    12,5 + 4,5a                  x  =  

         · also für alle Werte a ≠ -10 ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar

       · für a = -10 hat das Gleichungssystem keine Lösung 

      · besser mit Determinantenmethode:        D = 2a - (-20) = 2a + 20 ≠ 0        folgt  2a ≠ -20    und  a ≠ -10

                                                                               D1 = 9a - (-25) = 9a + 25

                                                                               D2 = 10 - 36 = -26  (für alle a immer ≠ 0)

                                                             daraus folgt, dass für alle a ≠ -10 das GLS eindeutig lösbar ist,

                                                             und dass für a = -10 zwar D = 0 ist, aber D1 und D2 ungleich Null bleiben

                                                            also   L = Ø

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        Der Gaußsche Lösungsalgorithmus

Voraussetzung für die Anwendung des Gaußschen Lösungsalgorithmus für die Lösung linearer Gleichungs- systeme ist es, dass das Gleichungssystem in der Normalform vorliegt; also alle Variablenterme auf einer Gleichungsseite, alle Absolutglieder auf der anderen Gleichungsseite.

I     3x + 4y - 5z  =  50                                                                       3x + 4·3 - 5·2  =  50        3x = 48        x = 16

II            2y + 7z  =  20                2y + 7·2 = 20        2y = 6        y = 3

III                   5z  =  10  /:5    z = 2                                                                                  L = {[16|3|2]}

Hat eine lineares Gleichungssystem die sogenannte Dreiecksform, so lassen sich die Teillösungen für die drei Variablen von unten nach oben durch Rückeinsetzen der bereits gefundenen Teillösungen ermitteln. Bei beliebigen linearen Gleichungssystemen ist man also bestrebt, diese Dreiecksform mittels mehrmaligem Anwenden des Additionsverfahren zu erreichen.

I    a11x1+a12x2+a13x3  = b1 /·(-a21)  /·(-a31)    I a11x1 + a12x2 + a13x3  = b1             I a11x1 + a12x2 + a13x3  = b1

II  a21x1+a22x2+a23x3  = b2/·a11                       II  a*22x2 + a*23x3  = b*2 /·(-a*32)    II            a*22x2 + a*23x3  = b*2

III a31x1+a32x2+a33x3  = b3                    /·a11     III a*32x2 + a*33x3  = b*3 /·a*22         III                       a#33x3  = b#3

Falls die jeweils vor x1 bzw. später vor x2 stehenden Koeffizienten nicht teilerfremd sind, können dabei kleinere Multiplikatoren verwendet werden.

I     4x + 2y - 7z  =  -3 /·(-3) /·(-5)     I     4x + 2y - 7z  =  -3               I     4x + 2y - 7z  =  -3

II   3x - 5y + 6z  =  -1 /·4                      II        -26y + 45z = 5   /·1        II         -26y + 45z = 5 

III  5x + 3y - 4z  =  13           /·4          III          2y + 19z  = 67 /·13      III                 292z = 876 /:292     z = 3

übrige Teillösungen durch Zurückeinsetzen in die Gleichungen II und I des letzten Gleichungssystems

II          -26y + 45·3 = 5        II     -26y  =  -130 /:(-26)        y = -5

I    4x +2·(-5) - 7·3 = -3        I      4x = 28 /:4        x = 7      genau eine Lösung              L = {[7|-5|3]}

 

I     2x1 + 2x2 - 2x3 + 2x4  =  8                I     2x1 + 2x2 - 2x3 + 2x4  =  8            I     2x1 + 2x2 - 2x3 + 2x4  =  8

II      x1  -   x2  + x3 + 2x4  =  10             II               4x - 4x3  - 2x4  = -12        II              4x - 4x3  - 2x4  = -12

III  2x1 -  3x2 + 4x3 - 3x4  =  -4             III              5x2 - 6x3 + 5x4  =  12         III                   - 4x3 + 30x4  =  108

IV  -2x1 + 4x2 - 3x3 + 3x4  =  9              IV               6x2 - 5x3 + 5x4  =  17         IV                      2x3 + 16x4  =  70

 

I     2x1 + 2x2 - 2x3 + 2x4  =  8

II              4x - 4x3  - 2x4  = -12

III                   - 4x3 + 30x4  =  108                L = {[1|2|3|4]}

IV                                 62x4  =  248

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        Das Determinantenverfahren für GLS mit drei Variablen - Regel von Sarrus

Das Determinantenverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit 3 Variablen in Normalform funktioniert prinzipiell genau so wie das bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen. Nur bei der konkreten Deter- minantenberechnung gibt es Unterschiede (Regel von Sarrus beachten).

I     6x1 - 5x2 + 2x3  =  8                D =  = (240 + 0 - 6) - (0 + 18 + 60)  =  234 - 78 = 156

II -3x1 +10x2 +3x3 = -11             D1 = (320 + 0 - 22) - (0 + 24 + 220)  =  298 - 244 = 54

III              x2 + 4x3  =  0               D2 = (-264 + 0 + 0) - (0 + 0 - 96)  =  -264 - (-96) = -168

                                                D3 = (0 + 0 - 24) - (0 - 66 + 0)  =  -24 + 66 = 42

nun gilt wieder:  x1 = D1/D = 54/156 = 9/26    x2 = D2/D = -168/156 = -14/13    x3 = D3/D = 42/156 = 7/26  

 (Cramersche Regel) und damit:           L = {[9/26|-14/13|7/26]}

damit steht Ihnen ein zusätzliche Kontrollmöglichkeit gegenüber dem Gaußschen Lösungsalgorithmus zur Verfügung

I     2x1 - 4x2 +  x3  =  0        I     2x1 - 4x2 +  x3  =  0        I     2x1 - 4x2 +  x3  =  0        D = 18

II   -x1 + 2x2 - 5x3  =  7        II                    -9x3  =  14       II        4x2 + 11x3  =  -12      D1 = 60  D2 = 23  D3 = -28

III 3x1 - 4x2 + 7x3  = -6       III       4x2 + 11x3  =  -12      III                  -9x3  =  14       L = {[10/3|23/18|-14/9]}

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        Manigfaltigkeit der Lösungsmenge bei linearen GLS mit 3 Variablen

I     4x1 +  x2 +  x3  =  1        I     4x1 +  x2 +  x3  =  1        I     4x1 +  x2 +  x3  =  1       D = 0

II   x1 + 4x2 + 4x3  =  1        II       -15x2 - 15x3  = -3        II      -15x2 - 15x3  = -3       D1 = 0  D2 = -12  D3 = 12

III   x1 +  x2  +  x3  =  1        III          -3x2 - 3x3  = -3        III                        0  =  12      L = Ø

 

I     x1 + 2x2 + 12x3 = 1        I     x1 + 2x2 + 12x3 = 1        I     x1 + 2x2 + 12x3 = 1        D = 0

II 3x1 + 2x2 + 16x3 = 3        II           -4x2 - 20x3  = 0        II          -4x2 - 20x3  = 0        D1 = D2 = D3 = 0

III -x1 + 2x2 + 8x3  = -1      III          -4x2 - 20x3  = 0        III                          0  =  0       unendlich viele Lösungen

Umstellen von Gleichung II nach x2:                                    -4x2 = 20x3        x2 = -5x3    

Einsetzen von x2 in Gleichung I und Umstellen nach x1:  x1 + 2(-5x3) + 12x3 = 1      x1 + 2x3 = 1     x1 = -2x3 + 1

Struktur der Lösungsmenge angeben:        L = {[-2x3 + 1|-5x3|x3]}        x3 - frei wählbare Variable

Beispielzahlentripel aus Lösungsmenge:        wählen  x3 = 1         [-1|-5|1]

                                                                             wählen  x3 = -2        [5|10|-2]        u.s.w.

  keine Lösung eindeutige Lösung unendlich viele Lösungen
Gaußscher Lösungs- algorithmus Auftreten eines Wider- spruches:  z.B.  5  =  -3

L  =  Ø

 

L = {[x1|x2|x3]}

Auftreten einer (zwei) wahren  math. Aussage:  z.B.  0  =  0

L = {[x1(x3)|x2(x3)|x3]}    eine freiwählbare Variable

L = {[x1(x2;x3)|x2|x3]}     zwei frei wählbare Variablen

Determinanten- verfahren Koeffizientendetermin.  D = 0

D1≠0  oder  D2≠0  oder  D3≠0

L =

manchmal auch bei:                  D1 = D2 = D3 = 0

L  =  Ø

 

 

Koeffizientendeter- minante D ≠ 0

 

L =

 

L = {[x1|x2|x3]}

 

 

Koeffizientendetermin.  D = 0

D1 = D2 = D3 = 0

L = 

Struktur der Lösungsmenge über Gauß:

L = {[x1(x3)|x2(x3)|x3]}    eine freiwählbare Variable

L = {[x1(x2;x3)|x2|x3]}     zwei frei wählbare Variablen

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        Lineare Gleichungssysteme mit Parametern

I     3x - 2y + az  =  4            I     3x  -  2y  +  az  =  4            I     3x  -  2y  +  az  =  4

II     x + 3y -   z  =  1            II       -11y + (3+a)z = 1           II      -11y + (3+a)z = 1                  

III 2x - 5y + 3z  =  3            III      -11y + (9-2a)z = 1         III                (3a-6)z = 0        z  =  0/(3a-6)

für a ≠ 2 gilt:        L = {[14/11|-1/11|0]}

für a = 2 gilt:        unendlich viele Lösungen

besser: Lösen solcher Aufgaben über das Determinantenverfahren:

D = = 27 + 4 - 5a  - (6a + 15 - 6)  =  -11a + 22

D1 = = 36 + 6 - 5a  -  (9a + 20 - 6)  =  -14a + 28            x  =  

D2 = = 9 - 8 + 31  (2a - 9 + 12)  =  a - 2                          y = 

D3 = = 27 - 4 - 20  -  (24 - 15 - 6)  =  0                                z = 

für alle a ≠ 2 gilt:   L = {[  ]} = {[ ]} = {[ ]}

für  a = 2 gilt:    L = {[0/0|0/0|0/0]}    also unendlich viele Lösungen

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        Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Aufgabe:   In einem Garten gibt es Schnecken, Raben und Katzen. Alle Tiere Zusammen haben 39 Köpfe und 57 Füße. Alle Raben zusammen haben 6 Füße mehr als alle Katzen zusammen. Wie viele Tiere jeder Art gibt es?

I      x +  y +  z  =  39        (Köpfe)

II    x + 2y + 4z = 57        (Füße)

III         2y        =  4z + 6      alle Katzenfüße und 6 mehr entspricht allen Rabenfüßen

L = {[27|9|3]}

Rekursion von Funktionsgleichungen

Aufgabe:  Von einer ganzrationalen Funktion 3.Grades sei bekannt:  f(0) = -6; f(1) = 3; f'(0) = 4; f'(1) = 16 Bestimmen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion! 

allgemeine Gleichung einer Funktion dritten Grades:   f(x) = ax3 + bx2 + cx + d            f'(x) = 3ax2 + 2bx + c

aus  f(0) = -6 wird   I                              d  =  -6                 I    3a + 2b +  c          = 16            I     3a + 2b  =  12

aus   f(1) = 3 wird   II     a +  b  +  c +  d  =  3                   II     a +  b  +  c +  d  =  3             II      a  +  b  =  5

aus f'(0) = 4 wird    III                    c          =  4                   III                    c          =  4                a = 2

aus f'(1) = 16 wird   IV  3a + 2b + c          = 16                 IV                             d  =  -6              b = 3

L  =  {[2|3|4|-6]}            also   f(x) = 2x3 + 3x2 + 4x - 6          

 

Aufgabe:  Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, dessen Schaubild (Graph) die folgenden Eigenschaften aufweist:    E (-1|11) ist ein Extrempunkt und W(-2|13) ist ein Wendepunkt.

allgemeine Fktgleichung dritten Grades:   f(x) = ax3 + bx2 + cx + d     f'(x) = 3ax2 + 2bx + c     f''(x) = 6ax + 2b

wegen  f(-1) = 11 folgt:           I    -a  +  b  -  c  +  d  = 11        I    d -  c  +  b  -  a  = 11      I    d -  c  +  b  -  a  = 11

wegen  f(-2) = 13 folgt:          II  -8a + 4b - 2c +  d  = 13       II   d - 2c + 4b - 8a = 13     II         c - 3b + 7a  = -2

wegen f'(-1) = 0 (EP) folgt:  III   3a  - 2b  +  c         = 0         III         c - 2b + 3a  =  0      III              -b + 4a = -2

wegen f''(-2) = 0 (WP) folgt: IV -12a + 2b               = 0         IV               2b - 12a =  0      IV                      -4a = -4

L  =  {[1|6|9|15]}     also    f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 15       

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  3. Analysis – Funktionslehre

        Der Funktionsbegriff

Definition 1:  Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung (Zuordnung) einer Menge X auf eine Menge Y.

Definition 2:  Eine Funktion f ist eine Menge geordneter Zahlenpaare [x/y] (x X; y Y), wobei jedem Argument x aus dem Definitionsbereich X genau ein Funktionswert y  aus dem Wertebereich Y zugeordnet ist.

 

  Beispiel 
215                       L

208, 324                     F ; V 

112; TH                      N ; I 

314                            T

Schulräume            Schlüssel 

 

Pfeildarstellung 1                                 6-

4 ; 9                           10 ; 2  

3 ;-15                        18; -8 

5                               -30

ganze Zahlen   gerade Zahlen  

 

Jedem Schulraum wird genau ein Schlüssel zugeordnet.   Wortformulierung   Jeder ganzen Zahl wird ihr Doppeltes zugeordnet.  
f = {[112/L];[208/I];...;[TH/T]}   Mengenschreibweise f = {[-15/-30];[-4/-8];...;[9/18]}
R   112 208 215 314 324 TH

S       L     I     F      V     N     T

Wertetabelle  x    –15  –4    1   3   5    9  

y    -30   -8    2   6  10  18

Gleichung  y  =  f(x)  = 2 · x  
graphische Darstellung

Definition:     Jedes Argument xN , dem die Funktion f den Funktionswert 0 zuordnet, nennt man  Nullstelle der Funktion f. Graphisch handelt es sich dabei um die Abszisse (x-Koordinate) eines Schnittpunktes zwischen Funktionsgraph und x-Achse

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        Wiederholung: lineare Funktionen

Funktionen f mit Gleichungen der Form:   y = m·x + n   nennt man lineare Funktionen.   

                                               Anstieg                   Absolutglied

Die graphische Darstellungen von linearen Funktionen sind Geraden.

Eigenschaften f(x) = m·x + n f(x) = 1,5·x f(x) = -0,5·x + 2
Graphische Darstellung  

Gerade durch I. und III.Quadranten

Gerade durch die Quadranten I,II und IV

Definitionsbereich   DB = R    
Wertebereich für m 0: WB = R                  

für m = 0: WB = ( n )     

  WB = R   WB = R
Symmetrie zentralsymmetrisch zu bel.Geradenpunkt   zentralsymmetrisch zu bel.Geradenpkt   zentralsymmetrisch zu bel. Geradenpkt
Monotonie für m > 0:  f  monoton steigend  für m = 0:  f  konstant           für m < 0:  f  monoton fallend f  im gesamten Definitionsbereich monoton   steigend f  im gesamten Definitionsbereich monoton   fallend
Nullstellen   xN =   xN = 0   xN = 4
besondere Punkte   P(0/n)      Q ( |0)   P(0/0)   P(0/2)         Q(4/0)

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            Wiederholung: quadratische Funktionen

Def.:   Funktionen f mit Gleichungen der Form   y  =  f(x)  =  ax² + bx + c  (a,b,c R, a≠0) nennt man quadratische Funktionen. Ihre graphische Darstellungen sind (nach oben bzw.    nach unten geöffnete) Parabeln mit genau einem Scheitelpunkt (Tiefpunkt oder Hochpunkt).

                                                                    

Funktionsgleichung in allgemeiner Form                Funktionsgleichung in Normalform

            f(x)  =  ax² + bx + c                                                       f(x)  =  x² + px + q  (Normalparabel)

            S                                                                    S   (mit Schablone zeichnen)

 B         f(x)  =  x² + 2x +                                                       B    f(x)  =  x² + 6x + 7

                        S                                                           S  

                S(-2 |-½)                                                                        S(-3/-2)

 

Scheitelpunktsform der allg.quadr.Fkt.                                      Scheitelpunktsform der Normalform

            f(x)  =  a·(x + d)² + e                                                     f(x)  =  (x + d)² + e

                        S(-d/e)                                                                           S(-d/e)

 B         f(x)  =  x² + 2x +                                                B    f(x)  =  x² + 6x + 7

    f(x)  =  (x² + 4x + 3)                                                   f(x)  =  x² + 6x + 9 – 9 + 7

            f(x)  =  (x² + 4x + 4 – 4 + 3)                                      f(x)  =  (x + 3)² - 2

            f(x)  =  ((x + 2)² - 1)                                                         S(-3|-2)

            f(x)  =  (x + 2)² -

                        S(-2| )           

x -4 -3 -2 -1 0 1 2   x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
y 1,5 0 -0,5 0 1,5 4 7,5   y 2 -1 -2 -1 2 7 14

graphische Darstellung von f                                              graphische Darstellung von f

graphische Darstellung von g(x) = x² + 4x + 3                   Nullstellenberechnung:

 Nullstellenberechnung von f und g:  0 = x² + 4x + 3                0 = x² + 6x + 7

                                                          xN1/2 = -2 ± 1                          xN1/2 = -3 ±

                                                           xN1 = -3   xN2 = -1                   xN1 = -4,414   xN2 = -1,586

   

Ergebnis:  f und g haben zwar dieselben Nullstellen,

              sehen ansonsten aber höchst unterschied-

              lich aus.

 

Eigenschaften f(x) = x² f(x) = x² + e f(x) = ( x + d )² f(x) = ( x + d )² + e
Graphische Darstellung

Normalparabel im I. und II. Quadranten

Normalparabel

Normalparabel im I. und II. Quadranten

Normalparabel

Definitionsbereich DB = R DB = R DB = R DB = R
Wertebereich WB = ( 0 y < ) WB = ( e   y < ) WB = ( 0 y < ) WB = ( e   y < )
Symmetrie axialsymmetrisch zur y-Achse   ( Gerade  x = 0 ) axialsymmetrisch zur  y-Achse ( Gerade  x = 0 ) axialsymmetrisch zur Gerade   x = -d axialsymmetrisch zur Gerade   x = -d
Monotonie mon.fallend: - < x < 0 mon.steigend: 0  x < mon.fallend: - < x < 0 mon.steigend: 0  x < mon.fallend: - < x < -d mon.steigend: -d  x < mon.fallend: - < x < -d mon.steigend: -d  x <
Nullstellen xN = 0 falls e > 0 , so keine Nullst.  falls e  0, so xN = xN = -d falls e > 0 , so keine Nullst.     falls e  0, so xN =
besondere Punkte Scheitelpunkt S(0/0) Scheitelpunkt S(0/e) Scheitelpunkt S(-d/0) Scheitelpunkt S(-d/e)

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        Wiederholung: Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen

Jede quadratische Gleichung kann man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen. Steht vor x2 dabei ein von 1 verschiedener Koeffizient, so sollte diese Gleichung durch Division mit diesem Koeffizienten in die  Normalform gebracht werden (obwohl es im Tafelwerk auch eine Lösungsformel für quadratische Glei- chungen in allgemeiner Form gibt; deren Anwendung führt bei ungeübten Schülern jedoch häufig zu fehlerhaf- ten Rechnungen). Nicht immer aber ist dies der rationellste Weg zur Lösung der quadratischen Gleichung. Das optimale Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen hängt stark von der Form der quadratischen Glei- chung ab.

allgemeine Form

Normalform ohne Absolutglied ohne lineares Glied
0,25·x2 + 0,5·x - 0,75 = 0/·4 erst in Normalform bringen

x2 + 2x - 3 = 0

x1/2 = -1 ± √(1+3)

x1/2 = -1 ± √4

x1/2 = -1 ± 2

x1 = -3     x2 = 1

x2 - 5x + 6 = 0 mit Hilfe der Lösungsformel lösen

x1/2 = -p/2 ± √[(p/2)2-q]

x1/2 = 2,5 ± √(6,25-6)

x1/2 = 2,5 ± √0,25

x1/2 = 2,5 ± 0,5

x1 = 2     x2 = 3

2x2 - 18 = 0/+18 nach x2 um- stellen, dann Wurzel ziehen

2x2 = 18 /:2

x2 = 9 /(    )

| x | = 3

x1 = -3     x2  = 3

 

4x2 - 10x = 0  durch Ausklam- mern Linearfaktor abspalten

2x · (2x - 5) = 0

x1 = 0        2x - 5 = 0 /+5

                    2x = 5 /:2

                      x2 = 2,5

 

die Lösungen können bzgl. der Normalform mit dem Satz von Vieta auf Richtigkeit überprüft werden

x1 · x2 = q     x1 + x2 = -p

Kennt man die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form, so kann man diese in Linear- faktoren zerlegen. Dies ermöglicht das Aufstellen von Funktionstermen unter Kenntnis ihrer Nullstellen und ihrer Form; es ist aber auch beim Lösen von quadratischen Ungleichungen von Vorteil.

Stellen Sie den gegebenen Funktionsterm als Produkt von Linearfaktoren dar!
f(x) = x2 + 5x + 6

   0 = x2 + 5x + 6

   x1/2 = -2,5 ± √(6,25-6)

    x1 = -2     x2 = -3

f(x) = (x + 2) ·(x + 3)

f(x) = 3·x2 - 4,5x

   0 = 3·x2 - 4,5x

   0 = 1,5x·(2x - 3)

    x1 = 0     x2 = 3/2

f(x) = 1,5x · (2x - 3)

f(x) = 0,25·x2 - 0,25x - 1,5

   0 = 0,25·x2 - 0,25x - 1,5 /·4

   0 = x2 - x - 6

    x1/2 = 0,5 ± √(0,25+6)

    x1 = -2     x2 = 3

f(x) = 0,25 · (x + 2) · (x - 3)

 

geg.: quadratische Normalparabel mit xN1=-1 und xN2 = 3

ges.: Gleichung, Scheitelpunkt und Graph der Funktion

geg.: quadratische Parabel mit Streckensfaktor -0,5 und den Nullstellen   xN1=0 und xN2 = 5                         ges.: Gleichung , Scheitelpunkt und Graph der Funktion
f(x) = (x+1) · (x-3) = x2 - 2x - 3       S(1|-4)

f(x) = -0,5 · (x-0) · (x-5) = -0,5x2 + 2,5x     S(2,5|3,125)

 

Lösen Sie die quadratische Ungleichungen im Bereich der reellen Zahlen!
x2 + 7x + 10 > 0

Lösen zunächst die Gleichung:      x2 + 7x + 10 = 0

                                                x1=-2 und x2=-5 

(x + 2) · (x + 5) > 0  ein Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben

x+2<0 und x+5<0     x+2>0 und x+5>0

x <-2  und x<-5          x>-2  und  x>-5

L1 = {x<-5}     und     L2 = {x>-2}

L = {x<-5 und x>-2}

3x2 - 18x - 21 < 0

Lösen zunächst die Gleichung:  3x2 - 18x - 21 = 0 /:3

                                                 x2 - 6x - 7 = 0

                                                 x1=-1 und x2=7 

3·(x + 1) · (x - 7) < 0   ein Produkt ist negativ, wenn die beiden Faktoren verschiedene Vorzeichen haben

x+1<0  und x-7>0       x+1>0  und x-7<0

x<-1 und x>7             x>-1  und  x<7

L1 = Ø     und     L2 = {-1 < x < 7}

L = {-1 < x < 7}

 

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        Wiederholung: Lagebeziehung zwischen Parabeln und Geraden

Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen der Parabel -0,5·x2 + 2x + 1  und  der Gerade y = -x + 3,5
unter der Annahme beide Graphen besitzen gemeinsame Schnittpunkte gilt:

f(x) = g(x)

-0,5·x2 + 2x + 1 = -x + 3,5

0 = -0,5·x2 + 3x - 2,5 /·(-2)

0 = x2 - 6x + 5

xS1=1 und xS2=5

f(1) = -0,5·12 + 2·1 + 1 = 2,5    f(5) = -0,5·52 + 2·5 + 1 = -1,5

           g(1) = -1 + 3,5 = 2,5                g(5) = -5 + 3,5 = -1,5

                                     S1(1|2,5)             S2(5|-1,5)

Die Gerade g ist also für die Parabel f eine Sekante, denn sie schneidet den Graph von f in zwei Punkten. Geraden können aber auch Parabeln in einem Punkt berühren (Tangente) bzw. keine gemeinsamen Punkte mit ihnen haben (Passante).

Gibt es eine zu g parallele Gerade, die Tangente an den Graph von f ist; diese also nur in einem Punkt berührt?
unter der Annahme beide Graphen besitzen gemeinsame Schnittpunkte gilt:

f(x) = g(x)

-0,5·x2 + 2x + 1 = -x + n

0 = -0,5·x2 + 3x + 1 - n /·(-2)

0 = x2 - 6x + n - 2

x1/2 = 3 ± √(9-(n-2) = 3 ± √(11-n)

die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante D = 0 

11 - n = 0          n = 5,5

Gleichung der Tangente t also: y = -x + 5,5

           f(3) = -0,5·32 + 2·3 + 1 = 2,5                g(3) = -3 + 5,5 = 2,5

        Berührungspunkt zwischen Parabel und Tangente     Po(3|2,5)

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        Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen  

Will man Sachaufgaben mit Hilfe quadratischer Funktionen lösen, muss man oft erstmal die Gleichung der benötigten quadratischen Funktionen herausfinden. Dabei muss klar sein, ob es sich um eine Normalparabel handelt oder nicht, denn davon hängt ab, wie viele Punkte des Graphen man zur rechnerischen Bestimmung der Funktionsgleichung benötigt. Prinzipiell ist bei solchen Aufgaben immer ein Gleichungssystem zu lösen:

quadratische Parabel schneidet die Koordinatenachsen in P1(0|2) und P2(4|0) und verläuft durch P3(2|2) Normalparabel verläuft durch die Punkte P1(-1|2) und P2(2|-1)
in allgemeine Gleichung y = f(x) = ax2 + bx + c Koordi- naten der gegebenen Punkte einsetzen:

I    2 =                    + c           I     4·a + 2·b + c  = 2 /·(-4)

II  0 = 16·a + 4·b + c           II  16·a + 4·b + c  = 0

III 2 =  4·a + 2·b + c           III                    + c = 2

I     4·a + 2·b + c  = 2        a = -¼

II          - 4·b - 3c  = -8      b = ½

III                    + c = 2        c = 2    f(x) = -¼x2 + ½x + 2

in Normalform der quadr.Gleichung: f(x) = x2 + px + q Koordinaten der gegebenen Punkte einsetzen:

I      2 = 1 - p + q                   I    -p + q = 1 /·2

II   -1 = 4 + 2p + q                II  2p + q = -5

I    -p + q = 1           p = -2

II          3q = -3        q = -1

                                                      f(x) = x2 - 2x - 1

Bei Extremwertaufgaben kommt es darauf an, die extremal werdende Größe mit einer geeigneten (quadra- tischen) Funktionsgleichung zu beschreiben, dessen Scheitelpunkt dann Auskunft über den Extremwert und die Bedingungen seines Eintretens liefert.

Mit 40 m Maschendrahtzaun soll ein an eine Hauswand angrenzender rechteckiger Hundeauslauf so eingezäunt werden, dass er einen maximalen Flächeninhalt besitzt. Wie lang sind in diesem Falle die Seiten des Rechtecks?

A = a·b  und aus u = a + 2b = 40 ergibt sich a = 40 - 2b eingesetzt in die Ausgangsgl. A = (40-2b)·b = -2b2 + 40b  also mathematisch die Funktionsgleichung f(x) = -2x2+40x deren Scheitelpunkt bei S(10|200) liegt           also x= b = 10(m) und y= A = 200(m2) und durch Einsetzen von b=10 in umgestellte Umfangsgleichung a = 40-2·10 = 20(m)

Eine weitere typische Anwendung von quadratischen Funktionen sind Parabolspiegel bzw. -antennen. Bei ihnen kommt es vor allem auf die Koordinaten des Brennpunktes einer Parabel an. In ihm schneiden sich alle Strahlen, die parallel zur Rotationsachse eines Parabolspiegels einfallen.

Der  Querschnitt  eines  Parabolspiegels  kann  mit  der  Funktionsgleichung y = f(x) = a·x2  beschrieben werden. Zur Herleitung der Brennpunktkoordi- naten benutzen wir den achsenparallel einfallenden Strahl, der rechtwinklig zum Brennpunkt reflektiert wird. Nach dem Reflektionsgesetz folgt dann für den Anstiegswinkel der Tangente im Berührungspunkt B α = 45°  also hat die Gleichung:   a·x2 = x + n   nur genau eine Lösung und somit folgt:

  und für die Abszisse des Berührungspunktes  

da es nur eine Lösung geben kann, folgt xB=1/2a und da yB=f(xB)= a·(1/2a)2 und weil Berührungspunkt B und Brennpunkt F die gleiche Höhe haben, folgt

                                

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        Wiederholung: Potenzfunktionen  

Kurzvortrag: Potenzfunktionen

  1. Definieren Sie die Begriffe „Funktion“, „Potenzfunktion“ und „Nullstellen einer Funktion“!

  2. Sprechen Sie über die Eigenschaften der  Funktionen  y = f(x) = xn  (n Z)! Nehmen Sie dazu eine geeignete Fallunterscheidung vor!

  3. Führen Sie für die Funktionen mit der Gleichung  f(x)  =  a.xn + c eine Parameterdiskussion bezüglich der Parameter a und c durch!

  4. Skizzieren Sie den Graph der Funktion  f(x) = 0,5.x-2 – 2 in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie dazu vorher die Nullstellen der Funktion!

Def.:   Funktionen f mit Gleichungen der Form   y  =  f(x)  =  a·xn + c  (a ≠ 0; a,c R, n Z)

  nennt man Potenzfunktionen

  Man unterscheidet die Potenzfunktionen in : · Potenzfunktionen mit positiven oder negativen Exponenten

                                                                · Potenzfunktionen mit geraden oder ungeraden Exponenten

Ihre graphische Darstellungen sind Parabeln (bei positiven Exponenten) bzw. Hyperbeln (bei negativen           Exponenten)

 

Systematisierung: Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten

Eigenschaft

n ungerade

n gerade

Beispiel   f(x) = x3         f(x) = x5    f(x) = x2        f(x) = x4
Definitionsbereich   DB  =  { x R}       oder  DB = R   DB  ={ x R}       oder   DB = R
Wertebereich   WB  = { y R }     oder   WB = R   WB = { y > 0 }  oder  WB = R+
Nullstellen   xN = 0   xN = 0
Monotonie   im gesamten DB gilt: f(x) monoton steigend

  für   - *< x < 0   gilt:    f(x) monoton fallend                  für   0 < x < *     gilt:      f(x) monoton steigend

Symmetrie   zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung   axialsymmetrisch zur y-Achse
Graph verläuft durch die Quadranten   I  und  III   I  und   II
besondere Punkte   P1( -1|-1) , O(0|0) und  P2(1|1)   P1( -1|1) , O(0|0)  und  P2(1|1)
graphische Darstellung

 

 

 

Systematisierung: Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten

Eigenschaft

n ungerade

n gerade

Beispiel   f(x) = x-3         f(x) = x-1    f(x) = x-2        f(x) = x-4
Definitionsbereich   DB  =  {x R; x 0}       oder  DB = R\{ 0 }   DB  ={ x R; x 0}       oder   DB = R\{ 0 }
Wertebereich   WB  = { y R; y 0}     oder   WB = R\{ 0 }   WB = { y > 0 }
Nullstellen   keine   keine
Monotonie   im gesamten DB gilt: f(x) monoton fallend

  für   - * < x < 0   gilt:  f(x) monoton steigend                  für   0 < x < *     gilt:   f(x) monoton fallend

Symmetrie   zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung   axialsymmetrisch zur y-Achse
Graph verläuft durch die Quadranten   I  und  III   I  und   II
besondere Punkte   P1( -1|-1)  und  P2(1|1)   P1( -1|1)  und  P2(1|1)
graphische Darstellung

 

 

Parameterdiskussion für Funktionen f mit Gleichungen der Form   y  =  f(x)  =  a·xn + c  (a ≠ 0; a,c R, n Z)  

Parameter a Parameter c

· der Parameter a staucht (0<|a|<1) bzw. streckt (|a|>1)  den Graphen der Funktion f entlang der y-Achse

· bei negativem Wert des Parameters a wird der Graph der Funktion f zusätzlich noch an der x-Achse gespiegelt

· der Parameter c verschiebt den Graphen der Funktion f entlang der y-Achse nach oben (bei positivem Wert) bzw. nach unten (bei negativem Wert)

f1(x) = x3   f2(x) = 1.5·x3   f3(x) = ⅓·x3    f4(x) = -½·x3

 

f1(x) = -x4   f2(x) = -x4-2    f3(x) = -x4 +1    f4(x) = -x4+4

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Jahrgangsstufe:    11                Semester:    II

        Ganzrationale Funktionen

Definition:  Funktionen f mit Gleichungen der Form:   f(x) = an·xn + an-1·xn-1 + an-2·xn-2 + ... + a2·x2 + a1·x + a0  (mit an ≠ 0; an, an-1,an-2,..., a2, a1, a0 R; n Nwerden als ganzrationale Funktionen bezeichnet. Ihre Graphen nennt man Parabeln n-ten Grades; die Zahlen an, an-1,an-2,..., a2, a1, a0 werden als Koeffizienten bezeichnet.

Bsp.:  f(x) = 4x5 - 2x4 + 0,5x3 + 8x2 - 3x + 1                g(x) = -0.25x6 + 3x4 - x2 - 1,5

Aufgabe:     gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung:  f(x) = 1/2·x3 + 13/6·x2 - 8/3

    Fertigen Sie für die Funktion f eine Wertetabelle (Schrittweite in x jeweils eine halbe Einheit) an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion f  im Intervall  -4,5 1,5  auf Millimeterpapier!

x -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
y -4,4 0 2,4 3,3 3,1 2 0,5 -1 -2,2 -2,7 -2,1 0 3,9

    Trotz feingliedriger Wertetabelle lassen sich folgende Eigenschaften der ganzrationalen Funktion nicht exakt ermitteln:

genaue Lage der mittleren Nullstelle

genaue Lage des Hochpunktes

genaue Lage des Punktes, zu dem der Funktionsgraph zentralsymmetrisch ist

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        Elementare Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

a) Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Wiederholung: Lösen quadratischer Gleichungen

reinquadr. Gleichungen

0 = a·x2 + c

        5·x2 - 80 = 0   /+80

        5·x2  =  80   /:5

           x2  =  16   /

             |x|  = 4

        x1 = -4     x2 = 4

        L = { -4; 4 }

 

 

 

quad.Gl. ohne Absolutglied

0 = a·x2 + b·x

        0 = 4·x2 - 6·x

        0 = 2x·(2x - 3)

Ein Produkt wird Null, wenn

einer der Faktoren Null wird

 2·x = 0       (2x - 3) = 0

  x1 = 0                 x2 = 1,5

        L = { 0; 1,5 }

 

 

Normalform quadr.Gl.

0 = x2 + p·x + q

        0 = x2 + x - 6

        x1/2 = -

          x1/2 = - 

         x1 = -3     x2 = 2

 Vieta:     x1·x2 = q   = -6

                x1+x2 = -p  = -1

        L = { -3; 2 }

allgemeine Form quadr.Gl.

0 = a·x2 + b·x + c

   5·x2 + 10·x - 75  = 0   /:5

        x2 + 2·x - 15  = 0

        x1/2 = -1 ±

         x1 = -5     x2 = 3

                           x1·x2 = -15

                          x1+x2 = -2

        L = { -5; 3 }

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        Nullstellen ganzrationaler Funktionen

    Lösen kubischer Gleichungen

reinkubische Gleichungen

kubische Gleichungen ohne Absolutglied

ax3 + d = 0 ax3 + cx = 0 ax3 + bx2 = 0 ax3 + bx2 + cx = 0

0,125x3 - 1  =  0  /·8

     x3 - 8  =  0   /+8

      x3  =  8   /

x = 2

L = {2}

 

 

 

 

2x3 - 8x  =  0   

2x·(x2 - 4)  =  0

x1=0       x2 - 4  =  0   /+4

x2  =  4  /

|x|  =  2

x2 = -2   x3 = 2

L = {-2;0;2}

 

 

 

x3 - 3x2  =  0  

x2·(x - 3)  =  0

x1/2 = 0   x - 3  =  0  /+3

x  =  3

L = {0;3}

 

 

 

 

 

9x3 - 9x2 - 4x  =  0

x·(9x2 - 9x - 4)  =  0

x1 = 0     9x2 - 9x -4 = 0 /:9

x2 - x - 4/9  =  0

x2/3 = ½ ± √(¼ + 4/9)

x2/3 = ½ ± √25/36

x2/3 = ½ ± 5/6

x2 = 4/3        x3 = -

L = { -;0;4/3}

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    Lösen von kubischen Gleichungen mit Absolutglied mittels Polynomdivision

Vorbereitung:   1116 : 9  =  124        4336 : 16  =  271       Verfahren der schriftliche Division wiederholen

    0  =  x3 - 6x2 + 11x - 6        eine Lösung durch Probieren ermitteln:  x1 = 1, denn  13 - 6·12 + 11·1 - 6  =  0

    0  =  (x - 1) ·(   ?   )    dadurch kann von kubischem Term ein Linearfaktor abgespalten werden

                            Frage: Wie lautet der zweite (quadratische) Restterm der Gleichung?

                            dafür Verfahren der Polynomdivision nutzbar, denn wenn (x - 1) · (  ?  )  =  x3 - 6x2 + 11x - 6,

                            dann  (x3 - 6x2 + 11x - 6) : (x - 1)  =  (  ?  )

                            also rechnen wir:   (x3 - 6x2 + 11x - 6) : (x - 1)  =  x2 - 5x + 6

                                                            -(x3 - x2)

      -5x2 + 11x 

     -(-5x2 + 5x)

                      6x - 6

                  -(6x - 6)

                    Rest: 0

0  =  (x - 1) · (x2 - 5x + 6)    nun kann der zweite Faktor Null gesetzt und nach den Regeln für 

                                                 quadratische Gleichungen gelöst werden

        x1 = 1        x2 - 5x + 6  =  0

                            x2/3 = 2,5 ±√(6,25 - 6)  =  2,5 ±√0,25  =  2,5 ± 0,5

                            x2  =  2        x3  =  3            

    L = {1; 2; 3}                                        Probe:    (x - 1) ·(x - 2) · (x - 3)  =  x3 - 6x2 + 11x - 6

 

0  =  25x3 + 15x2 - 9x + 1    durch Probieren:  x1 = -1  (ganzzahlige Teiler vom Absolutglied probieren)

0  =  (x-(-1)) · (  ?  )            durch Polynomdivision: (25x3 + 15x2 - 9x + 1) : (x + 1) = 25x2 - 10x + 1

0  =  (x + 1) · (25x2 - 10x + 1)

           x1 = -1    25x2 - 10x + 1 = 0

                            x2/3 = 5 ± 0

L = {-1; 5}

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    Lösen biquadratischer Gleichungen

Aufgabe:  Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit der Gleichung   f(x)  =  x4 -13x2 + 36  !

0  =  x4 -13x2 + 36        Substituieren (Ersetzen):  x2 = z     (Zurückführen auf Lösung quadratischer Gleichung)

0  =  z2 - 13z + 36 

    z1/2 = 6,5 ±√(42,25 - 36) = 6,5 ±√6,25 = 6,5 ± 2,5

    z1 = 4    Zurücksubstituieren    x2 = 4        |x| = 2            xN1 = -2    xN2 = 2

    z2 = 9    Zurücksubstituieren    x2 = 9        |x| = 3            xN3 = -3    xN4 = 3            L = {-3;-2;2;3}

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Frage:  Wie entscheidet man sich für das richtige Lösungsverfahren bei der Nullstellenbestimmung?

9x4 - 9x3 -4x2 = 0                 x4 - 10x2 + 9 = 0                 24x3 + 3 = 0                 4x3 - 13x + 6 =0

Hat die nach dem Nullsetzen der Funktionsgleichung entstandene Gleichung ein Absolutglied?

ja

x4 - 10x2 + 9 = 0               24x3 + 3 = 0               4x3 - 13x + 6 =0

Hat die Gleichung nur einen einzigen Variablenterm?

nein

9x4 - 9x3 -4x2 = 0

kleinste auftretende Potenz  der Variablen ausklammern

x2·(9x2 - 9x - 4) = 0

x1/2 = 0     9x2 - 9x - 4 = 0   /:9

                      x2 - x - 4/9 = 0

             x3 = -1/3        x4 = 4/3

 

 

 

 

 

 

ja

24x3 + 3 = 0

 Gleichung nach der Variablen umstellen

x3 = - 1/8

x1 = -1/2

 

 

 

 

 

nein

x4 - 10x2 + 9 = 0                     4x3 - 13x + 6 =0

Sind die auftretenden Potenzen der Variablen so symmetrisch angeordnet, dass eine Substitution sinnvoll erscheint?

ja

x4 - 10x2 + 9 = 0

kleinste auftretende Potenz der Variablen substituieren

z2 - 10z + 9  =  0

z1 = 9          z2 = 1

x1=-3   x2=-1   x3=1   x4=3

nein

4x3 - 13x + 6 =0

 mittels Polynomdivision in Linear- und Restterm zerlegen

(x + 2)·(4x2 - 8x + 3) = 0

x1 = -2    x2 - 2x + 3/4 = 0

             x2 = 0,5   x3 = 1,5

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        Schnittstellen ganzrationaler Funktionen

 

f(-1) = 1          g(-1) = 1

f(0) = 0          g(0) = 0

f(1,8) = -1,8     g(1,8) = -1,8

Das Besondere an Schnittstellen von Funktionsgraphen ist, dass an diesen Stellen beide Funktionen den gleichen Funktionswert besitzen:

deshalb:                                                         f(x) = g(x)

-x = -1,25x3 + x2 + 1,25x

0 = -1,25x3 + x2 + 2,25x

   0 = -1,25x·(x2 - 0,8x - 1,8)

          xS1 = 0              x2 - 0,8x - 1,8 = 0

                              S1(0|0)                   xS2 = -1     xS3 = 1,8

                                                             S2(-1|-1)     S3(1,8|1,8)

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       Symmetrie ganzrationaler Funktionen

Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen können zentralsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt oder axialsymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse verlaufen. 

Axialsymmetrie (zur y-Achse)

Zentralsymmetrie (zum Koordinatenursprung)

Bei der Axialssymmetrie kann der Graph an der Symmetrieachse gespiegelt werden und ist dann deckungsgleich zum Originalgraphen.

es gilt für alle x aus dem DB:          f(-x)  =  f(x)

Bei der Zentralsymmetrie kann der Graph um das Symmetriezentrum um 180° gedreht werden und ist dann deckungsgleich zum Originalgraphen.

es gilt für alle x aus dem DB:          f(-x)  =  -f(x)

f(x) = 0,5x4 - 2x2 - 2

f(-x) =  0,5(-x)4 - 2(-x)2 - 2

f(-x) = 0,5x4 - 2x2 - 2  =  f(x)

Graph von f  ist axialsymmetrisch zur y-Achse

f(x) = 0,5x3 - 3x

f(-x) = 0,5(-x)3 - 3(-x)

f(-x) = -0,5x3 + 3x

f(-x) = - (0,5x3 - 3x) = - f(x)

f  ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung

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        Potenzen und Logarithmen

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        Eigenschaften der Exponentialfunktionen

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        Exponentielles Wachstum und exponentieller Abfall

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        Logarithmusfunktionen

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Jahrgangsstufe:    12                Semester:    I

        Zahlenfolgen

Aufgabe:  Ergänzen Sie folgende Zahlenreihe um drei weitere Glieder und geben Sie den Grundgedanken  zur Berechnung an!

2    5    10    17    26    37    50                                                        n2 + 1

0    3/2    8/3    15/4    24/5    36/6    48/7                                (n2-1)/n

1/6    1/6    3/20    2/15    5/42    6/56    7/72                          n/(n+1)(n+2)

 

Eine reelle Zahlenfolge ist eine Aneinanderreichung von reellen Zahlen, die nach einem charakteristischen Merkmal berechnet und in einer festen Anordnung aufgeschrieben werden. Dabei handelt es sich um eine spezielle Art von Funktionen, bei denen der Definitionsbereich auf den Bereich der natürlichen Zahlen eingeschränkt wird.

Funktion Zahlenfolge
x 0 1 2 3 4 5
y 0 2 4 6 8 10
Wertetabelle     Folgenschreibweise (an) = ( 2; 4; 6; 8; 10; ... )
f(0) = 0; f(1) = 2; f(2) = 4; ... Argument                           Indexzahl

Funktionswert                  Folgenglied

a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; ...

f(x) = 2·x

Gleichung  expliz. Bildungsvorschrift

(an) = (2·n)   

jeder Zahl wird ihr Doppeltes zuge- ordnet

Wortformulierung

Folge der geraden nat. Zahlen

graphische Darstellung

    an

  n

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        Grenzwerte von Zahlenfolgen

Bsp.:    (an) = ((2n-1)/n) = (2 - 1/n) = (1; 3/2; 5/3; 7/4; 9/5; ...199/100; ...1999/1000; ...19999/10000; ...)

                                                                  = ( 1; 1,5; 1,67; 1,75; 1,8; ... 1,99; .......1,999: ............1,9999; ...)

   

je größer die Indexzahl n, umso größer auch der Wert  an der Zahlenfolge
die Zahlenfolge (an) ist monoton steigend; aber:
kein Folgenglied übersteigt den Wert 2; 2 ist also  obere Schranke der Zahlenfolge
je größer die Indexzahl n, umso mehr nähert sich der Wert (an) der Zahl 2 an;  die Zahl 2 scheint der Grenzwert der Zahlenfolge zu sein

        an

n

Definition:

Eine reelle Zahl  g  heißt Grenzwert einer Zahlenfolge (an) := Für jede beliebige positive reelle Zahl ε (ε>0) 
für fast alle  =  für unendlich viele ja, nur für endlich viele nein

ε-Umgebung -  offenes Intervall   g - ε < an < g + ε

liegen fast alle Folgenglieder der Folge (an) in der ε-Umgebung der Zahl g.
Eine reelle Zahl  g  heißt Grenzwert einer Zahlenfolge (an) := bei ε>0, beliebig (aber fest)  gilt für fast alle natürlichen Zahlen n:

    |an - g| < ε

Schreibweise:  

Man sagt:   (an) ist konvergent

Bsp: Bsp:
Vermutung: 2 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (an) Vermutung: 0,6 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (an)
Frage:    Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren in der 1/100-Umgebung von 2? Aufgabe: Weisen Sie nach, dass die Folge (an) den Grenzwert g = 2 hat!
zweiten Bruch auf Hauptnenner erweitern ε beliebig, aber fest

zweiten Bruch auf Hauptnenner erweitern

gleichnamige Brüche addieren gleichnamige Brüche addieren
Term vereinfachen Term vereinfachen
Betragstriche auflösen Betragstriche auflösen
nach n umstellen nach n umstellen
n > 100 der Term rechts vom Relationszeichen ist für  ε beliebig, aber fest eine feste reelle Zahl
ab dem Folgenglied a101 = 201/101 liegen alle weiteren Folgenglieder innerhalb der 1/100-Umgebung des vermuteten Grenzwertes g = 2
dies ist aber kein Nachweis für die Richtigkeit des vermuteten Grenzwertes, weil bei anderen (kleineren) ε-Umgebungen möglicherweise gar kein Folgenglied in dieser ε-Umgebung liegt
wir brauchen also einen Nachweis für jede beliebige ε-Umgebung
nur endlich viele natürliche Zahlen n werden kleiner sein als diese feste reelle Zahl
aber unendlich viele natürliche Zahlen sind mit Sicherheit größer als diese feste Zahl, egal wie groß sie ist
damit gilt die letzte Ungleichung (und damit auch die erste Ungleichung) für fast alle natürliche Zahlen n
damit ist der Nachweis erbracht: es gilt         

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        Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Der Nachweis eines Folgengrenzwertes mit Hilfe der Grenzwertdefinition ist aufwendig; außerdem muss man den Grenzwert einer Zahlenfolge durch Probeberechnungen von Folgengliedern hoher Stellenzahl erst einmal vermuten, was durchaus auch zu Fehlvermutungen führen kann. Besser wäre es zweifelsohne, man könnte den Grenzwert einer Folge berechnen. Unter der Voraussetzung, dass man schon einige Folgengrenzwerte kennt, ist dies mit Hilfe der Grenzwertsätze für Folgen möglich.

Es seien  (an)  und  (bn) zwei konvergente Zahlenfolgen mit        und     .

Dann ist auch jede Zahlenfolge (cn) mit  (cn) = ((an) + (bn)) konvergent und es gilt:    gc  =  ga + gb.      Ähnliches gilt auch für die anderen drei Grundrechenarten.

Vor allem wenn es gelingt, eine Folge in Nullfolgen und konstante Folgen zu zerlegen, ist eine Berechnung des Folgengrenzwertes mit Hilfe der Grenzwertsätze leicht möglich.

Bsp.:   

              

                

Bei komplizierteren Folgen erfolgt die Zerlegung in konstante Folgen und Nullfolgen durch Ausklammern der größten Potenz von n in Zähler und Nenner.

Bsp.:      

               

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        Grenzwerte von Funktionen

Bei den Grenzwerten von Funktionen muss man zwei Arten unterscheiden: den Grenzwert einer Funktion im Unendlichen und den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle xo. Bei der Definition führt man diese Grenzwerte auf Grenzwerte von Folgen zurück; diese Definitionen sind für Grenzwertberechnungen allerdings recht unhandlich, so dass man auch hier lieber auf die Anwendung von sogenannten Grenzwertsätzen zurückgreift.

Grenzwert einer Funktion im Unendlichen Grenzwert einer Funktion an der Stelle xo
Eine Funktion f hat für x ∞ den Grenzwert G, wenn gilt:
f ist für alle x a  (a R) definiert
für jede divergente Folge (xn) konvergiert die zugehörige Funktionswertefolge (f(xn)) gegen G
Schreibweise:
Eine Funktion f hat für x xo den Grenzwert G, wenn gilt:
f ist in jeder ε-Umgebung von xo definiert (ε > 0)
für jede gegen xo konvergierende Folge (xn) konver- giert die zugehörige Funktionswertefolge (f(xn)) gegen G
Schreibweise: 
Bsp.:   Bsp.:  f(x) = 2x + 3 
durch Probieren:
x 10     100     1000     10000     100000   ...  
f(x)    2,1   2,01    2,001   2,00001   2,00001 ...   2    
durch Probieren:
x 1    1,5    1,9    1,99    2    2,01    2,1    2,5    3
f(x)   5     6     6,8    6,98    7    7,02    7,2     8     9  
mittels Testfolge:  (xn)= (10n)  mit   

zugeh.Fktswertefolge:  

Grenzwertbildung:        

Ergebnis: Grenzwert von f im Unendlichen   

dieser Grenzwert wurde jedoch mit einer einzelnen konkreten Testfolge be- stimmt; die Definition verlangt aber einen Nachweis für jede beliebige Testfolge

mittels Testfolge: (xn)=(2+1/n)  mit

zugeh.Fktswertefolge:

Grenzwertbildung:                 

Ergebnis: Grenzwert von f an Stelle xo=2 

dieser Grenzwert wurde jedoch mit einer einzelnen konkreten Testfolge be- stimmt; die Definition verlangt aber einen Nachweis für jede beliebige Testfolge

mittels beliebiger divergenter Testfolge:                        (xn) mit

zugeh.Fktswertefolge: 

Grenzwertbildung: wenn (xn) divergent ist, so konvergiert (1/xn) gegen Null

Ergebnis: Grenzwert von f im Unendlichen   

mittels beliebiger, gegen xo konvergierender Testfolge:  (xn) = (2+hn) mit   (sogenannte h-Methode)

zugeh.Fktswertefolge:                                                     

                               (f(xn) = (2·(2+hn)+3) = (7+2hn)

Grenzwertbildung:

                

Ergebnis: Grenzwert von f an Stelle xo=2 
Leichter lässt sich der Nachweis für den Grenzwert aber mit den auch für Funktionen geltenden Grenzwertsätzen führen, was eine Termumformung notwendig macht:

Dieser Grenzwert gibt Auskunft darüber, dass der Graph der Funktion f am rechten Rand des Koordinatensystems sich beliebig dicht der waagerechten Gerade mit der Gleichung y = 2 nähert, ohne sie je zu erreichen. So ein Verhalten nennt man: der Graph hat die waagerechte Asymptote y = 2

Auch für den Grenzwert von Funktionen an einer Stelle xo gelten Grenzwertsätze, deren Anwendung eine Termum- formung dann notwendig macht, wenn bei Einsetzen der Stelle xo in die Funktionsgleichung der Nenner Null wird. Dies ist hier aber nicht der Fall:

Dieser Grenzwert ist allerdings relativ uninteressant, weil die Funktion f an der Stelle 2 auch den Funktionswert f(2) =7 besitzt, und somit der Graph an dieser Stelle keine Besonderheiten aufweist. So etwas nennt man: der Graph ist an der Stelle 2 stetig.

Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle xo sind besonders dort von Interesse, wo die Funktion f nicht definiert ist. An solchen Stellen kann folgendes auftreten:

xo = -1

der Graph hat an der Stelle xo eine Lücke
xo = 1 für x<1 gilt:   für x>1 gilt:

der Graph hat an der Stelle xo einen Sprung
xo = 1 existiert nicht, eine kleine Wertetabelle zeigt: nähert man sich von links der Zahl 1, so werden die Funk- tionswerte immer kleiner; bei Annäherung von rechts werden die Funktionswerte immer größer
x 0 0,9 0,99 1 1,01 1,1 2
y 0 -9 -99 / 101 11 1

der Graph hat an der Stelle xo eine soge- nannte Polstelle (mit Vorzeichenwechsel)

weitere Beispiele:

der Graph hat an der Stelle xo=3 eine Lücke
der Graph hat an der Stelle xo=0 eine Lücke
der Graph hat an der Stelle xo=2 eine Lücke

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        Das Tangentenproblem

Problem:  Wie bestimmt man bei einem beliebigen Funktionsgraphen den Anstieg der Kurve in einem Punkt Po?

Im Unterschied zu linearen Funktionen mit Gleichungen der Form  y = m·x + n, deren Graphen (Geraden) in jedem Punkt den gleichen Anstieg m haben, ändert sich der Kurvenanstieg bei den Graphen anderer Funktionstypen von Punkt zu Punkt. Zur Lösung des sogenannten Tangentenproblems benötigt man aber diesen Anstieg an einer Stelle xo, um die Gleichung der Tangente im Punkt Po (Gerade, die in unmittelbarer Nähe von Po nur einen gemeinsamen Berührungspunkt mit der Kurve hat) aufstellen zu können. Außerdem ist diese Steigungszahl auch ein Kriterium für das lokale Änderungsverhalten der Funktion und lässt somit bei vielen praktischen Anwendungen aus den funktionalen Zusammenhängen der Vergangenheit Prognosen für die zukünftige Entwicklung diese Sachverhaltes zu. Am Beispiel der Funktion f(x) = x2  wollen wir zeigen, wie man mit dem Grundgedanken der Infinitesimalrechnung dieses Problem lösen kann:

wir wählen zunächst einen Punkt Po, in dem der Anstieg des Funktionsgraphen von f ermittelt werden soll:    Po(1|1)
da wir ohne Anstieg bei xo=1 noch keine Tangentengleichung aufstellen können, wählen wir rechts von Po noch einen zweiten Punkt Ph auf der Normalparabel (z.B. Ph(3|9); so können wir wenigstens über die Zweipunktgleichung die Gleichung einer Sekante durch beide Punkte aufstellen können:  y-1= ·(x-1)   y-1=4·(x-1)   y = 4x - 3

nun lassen wir den zweiten Punkt Ph immer näher an den Punkt Po heranrücken, so dass die Lage der Sekante immer besser mit der Lage der gesuchten Tangente übereinstimmt
wählen also nun Ph(2|4), woraus sich für die zweite Sekante ergibt:  y-1= ·(x-1)   y-1=3·(x-1)   y = 3x - 2

halbiert man den waagerechten Abstand der Punkte Po und Ph weiter, merkt man, dass die Sekantenanstiege mS eine Zahlenfolge darstellen:
Ph(1,5|2,25)   y-1= ·(x-1)   y-1=2,5·(x-1)   y = 2,5x - 1,5
Ph(1,25|1,5625)   y-1= ·(x-1)   y-1=2,25·(x-1)   y = 2,25x - 1,25
die Folge der Sekantenanstiege würde sich wie folgt weiterentwickeln:  
n 1 2 3 4 5 6 7             usw
mS 4 3 2,5 2,25 2,125 2,0625 2,03125    usw

man darf vermuten, dass diese Folge für n gegen den Grenzwert 2 besitzt; das würde bedeuten:
mittels Punktrichtungsgleichung lässt sich nun eine Tangentengleichung aufstellen:  y - 1 = 2 · (x - 1)      y = 2x - 1  ist Gleichung der Tangente
somit wird klar: je kleiner der (waagerechte) Abstand zwischen Ph und Po - also h - wird, umso näher kommt der Sekantenanstieg ms dem Tangentenanstieg mt, den die Tangente im Punkt Po an den Graph der Funktion f hat; somit wird aus einer mittleren Änderungsrate über ein Intervall die lokale Änderungsrate der Funktion f an einer Stelle xo.

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        Die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle xo

Der Tangentenanstieg mt an den Graphen einer Funktion f in einem Punkt Po ist identisch mit dem Anstieg des Graphen selbst in Po. Damit stellt sich die Frage, wie man einen solchen Anstieg bei beliebigem Funktionsgraphen und beliebiger Stelle xo ausrechnen kann, ohne sich auf Vermutungen verlassen zu müssen. Hier kommt wieder der zentrale Begriff der Infinitesimalrechnung - Grenzwert - ins Spiel. Die Sekantenanstiege stellen eine Funktion in Abhängigkeit des waagerechten Punktabstandes h (h>0) dar; der Grenzwert dieser Funktion ms(h) für h gegen Unendlich ist der gesuchte Anstieg des Graphen in Po.

geg.:  f(x) = x2

 xo = 1                Po(1|1) 

 xh = 1+1 = 2      Ph(2|4)

geg.:  f(x) = x2

   xo = 1     Po(1|1)

   xh = 1+h  Ph(1+h|(1+h)2)

geg.:  f(x) = x2

 xo = bel.     Po(xo|xo2)

 xh = xo+h Ph(xo+h|(xo+h)2)

geg.:  f(x) = bel.

xo = bel.     Po(xo|f(xo))

xh = xo+h  Ph(xo+h|f(xo+h))

  1. ms =

      ms =  

Sekantengleichung:

y-1 = 3·(x -1)    y = 3x - 2

  1. ms(h) =

   ms(h) =

   ms(h) =

   ms(h) = 2 + h

  1. ms(xo;h) =

ms(xo;h) =

ms(xo;h)=

ms(xo;h) = 2·xo + h

1.ms(h) =

·diesen Term nennt man auch Differenzenquotienten D(h)

·er beschreibt, wie sich mit kleiner werdendem waage- rechten Abstand h zwischen Ph und Po der Sekantenan- stieg ändert

   2.  mt =

     mt =

     mt = 2

·Anstieg der Normalparabel im Punkt Po(1|1) ist gleich 2 ·Anstieg der Tangente an die Normalparabel im Punkt Po(1|1) ist gleich 2 ·Tangentengleichung:  y-1=2·(x-1)   y = 2x - 1

2.  mt(xo)=  

    mt(xo) =  

    mt(xo) = 2·xo

·Anstieg der Normalparabel ist an jeder beliebigen Stelle xo doppelt so groß wie xo

·Anstieg der Normalparabel ist selbst auch eine Funktion von xo

2.  mt(xo)  =     

       mt(xo)  =  

existiert , so nennt man diesen Grenzwert den Differentialquotienten der Funktion f oder auch die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle xo

Symbol:   mt(xo)= f '(xo)

Die zu einer gegebenen Funktion f(x)  i.d.R. existierende Funktion f '(x) ordnet jeder beliebigen Stelle x einen Tan- gentenanstieg mt  bzw. einen Kurvenanstieg m zu. Mit ihrer Hilfe kann man das Tangentenproblem lösen, aber auch eine Vielzahl weiterführender Informationen über den Funktionsgraphen in Erfahrung bringen, denn dieser Anstieg ist ein Maß für die lokale Änderungsrate der Funktion f. Das dargestellte Verfahren zur Ermittlung der Funktion f '(x) ist dabei allgemeingültig auf jede beliebige Funktion anwendbar.

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        Elementare Ableitungsregeln

Bei der Untersuchung verschiedener Funktionen fielen einige Gesetzmäßigkeiten zwischen den Ausgangsfunktionen f und ihren Ableitungsfunktionen f '  auf, die man in folgenden Ableitungsregeln zusammenfassen kann:

Potenzregel:         f(x)  =  xn                 f '(x) = n·xn-1              gilt nur für Potenzfunktionen;                         alter Exponent multipliziert mit Potenzfunktion mit um 1 vermindertem neuen Exponenten
Konstantenregel: f(x)  =  c  (c R)       f '(x) = 0                      Ableitung eines konstanten Summanden ist Null
Faktorregel:          f(x)  = c · g(x)         f '(x) = c · g '(x)         konstanter Faktor bleibt unabgeleitet stehen
Summenregel:      h(x) = f(x) + g(x)   h'(x) = f'(x) + g'(x)  bei Summen jeden Summanden einzeln ableiten

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        Rechenverfahren Tangente (Normale)

Das oben beschriebene Tangentenproblem lässt sich jetzt relativ einfach lösen:

gegeben:   eine Funktion f  und   eine Stelle xo, an der die Tangente an den Graphen Gf gelegt werden soll

  1. berechnen Sie  yo = f(xo)  als Funktionswert der gegebenen Funktion f an der Stelle xo; daraus ergeben sich die Berührungspunktkoordinaten zwischen Graph und Tangente:       Po(xo|f(xo))
  2. berechnen Sie den benötigten Tangentenanstieg  mt = f '(xo)  als Funktionswert der Ableitungsfunktion f '(x) an der Stelle xo 
  3. ermitteln Sie mittels Punktrichtungsgleichung:   y - yo = mt ·(x - xo)   die Gleichung der gesuchten Tangente

Bsp.:   gesucht sei die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = 0,25x2 - 3x  an der Stelle xo= 2  dazu muss man zuerst die Ableitungsfunktion  f '(x) berechnen (Ableitungsregeln):  f '(x) = 0,25·2x - 3·1 = 0,5x - 3

  1.  yo = f(2) = 0,25·(2)2 - 3·2 = -5        Po(2|-5)     
  2.  mt = f '(2) = 0,5·2 - 3 = -2   
  3.   y - (-5)  = -2 · (x - 2)        y + 5 = -2x + 4        

     y = -2x - 1  ist die Gleichung der gesuchten Tangente

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        Anwendungen zur Steigung

LB.S.41 Nr.15

f(x) = x2-2x+2       f '(x) = 2x-2

Po(2|2)                 f '(2) = 2

Tangente:   y - 2  = 2 · (x - 2)

                  y = 2x - 2

g(x) = a(x - 4)2 + b        

g(x) = ax2-2ax+16a+b    g'(x) = 2ax-2

I   g(2) = 2 weil Graph Gg durch Po(2|2)      II g'(2) = 2 weil beide Graphen sich berühren

I   2 = 4a - 16a + 16a + b                         II  2 = 4a - 8a

I   2 = 4a + b       b = 4                             II  2 = -4a            a = -½

g(x) = -½x2 + 4x - 4

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        Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

Lässt sich eine Funktion f(x) als Produkt zweier Funktionen u(x) und v(x) darstellen, so bildet man die 1.Ableitung der Funktion f nach der Regel: Lässt sich eine Funktion f(x) als Quotient aus der Zählerfunktion u(x) und der Nennerfunktion v(x) darstel- len, so bildet man die 1.Ableitung der Funktion f nach der Regel: Lässt sich eine Funktion f(x) als Nach- einanderausführung der inneren Fun- ktionen u(x) und der äußeren Funktion v(x) darstellen, so bildet man die Ab- leitung der Funktion f nach der Regel:
f '(x)=[u(x)·v(x)]'=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x)

f '(x) = v'(u(x)) · u'(x)                also:

oder kurz: [u·v]' = u'·v + u·v'

oder kurz: 

 äußere Ableitung · innere Ableitung

Beispiele: Beispiele: Beispiele:
f(x) = x2 · x3     = x5

f '(x) = 2x·x3+x2·3x2 = 2x4+3x4 = 5x4

  = x2 - x

=2x-1

f(x) = (2x2-5)3

f '(x) = 3(2x2-5)2·4x = 12x·(2x2-5)2

f(x) = (2x-1)·x

f '(x) = 2·x + (2x-1)·1/(2·x)

f '(x) = 2·x·2x/(2x)+(2x-1)/(2x)

f '(x) = (6x-1)/(2x)

f(x) = (3x2 - 4)

f '(x) = 1/(2√(3x2 - 4)) · 6x

f '(x) = 3x/√(3x2 - 4)

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        Zusammenhang zwischen erster Ableitung und Monotonieverhalten der Funktion f

Mit dem Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt man die zukünftige Entwicklung der Funktionswerte einer Funktion.

Definition:

 

 

 

 

 

Eine Funktion f ist im Intervall I monoton steigend, wenn für alle x1,x2  I  mit x2 > x1 gilt:     f(x2) >= f(x1)

Eine Funktion f ist im Intervall I streng monoton steigend, wenn für alle x1,x2  I  mit x2 > x1 gilt:     f(x2) > f(x1)

Eine Funktion f ist im Intervall I monoton fallend, wenn für alle x1,x2  I  mit x2 > x1 gilt:     f(x2) <= f(x1)

Eine Funktion f ist im Intervall I streng monoton fallend, wenn für alle x1,x2  I  mit x2 > x1 gilt:     f(x2) < f(x1)

Diese Definition ist zwar sehr anschaulich, eignet sich aber nicht so sehr zur Bestimmung der Monotonieintervalle einer Funktion f. Das man für das Monotonieverhalten einer Funktion f ein leichter handhabbares Kriterium finden kann, macht das folgende Beispiel deutlich:

  f(x) = ·x3+½·x2-2x

 

 

für - ∞ < x < -2 gilt: f(x) monoton steigend

für - 2 < x < 1   gilt: f(x) monoton fallend

für 1 < x < ∞    gilt:  f(x) monoton steigend

  f '(x) = x2 + x - 2    S(-½|-2,25)

  0  =  x2 + x - 2

 x1/2 = -½ ± √(¼+2)  =  -½ ± 1,5

  x1 = -2     x2 = 1

für  - ∞ < x < -2    gilt: f '(x) > 0

für   - 2 < x < 1     gilt: f '(x) < 0

für     1 < x < ∞    gilt:  f '(x) > 0

Daraus wird deutlich:

es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten der Funktion f und dem Vorzeichen der ersten Ableitung f '
eine Funktion f ist an der Stelle x monoton steigend, wenn gilt:               f '(x) >= 0
eine Funktion f ist an der Stelle x streng monoton steigend, wenn gilt:     f '(x) > 0
eine Funktion f ist an der Stelle x monoton fallend, wenn  gilt:                f '(x) <= 0
eine Funktion f ist an der Stelle x streng monoton fallend, wenn  gilt:      f '(x) < 0
die Funktion f ändert an den Stellen x ihre Monotonie, an denen die erste Ableitung f ' ihr Vorzeichen ändert
dafür kommen nur die Stellen in Frage, an denen die erste Ableitung f ' Nullstellen besitzt

Die Stellen, an denen die Funktion ihr Monotonieverhalten ändert, sind ganz besondere Stellen - sogenannte Extremstellen. An diesen Stellen hat der Funktionsgraph lokale Hoch- oder Tiefpunkte. Die Kenntnis solcher besonderen Kurvenpunkte ist für die praktische Anwendung der Funktionslehre von enormer Bedeutung.

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        Zusammenhang zwischen zweiter Ableitung und Krümmungsverhalten der Funktion f

  f(x) = 1/12·x4- ½·x2 - ½

 

 

 

für - ∞ < x < -1 gilt: f(x) linksgekrümmt

für - 1 < x < 1   gilt: f(x) rechtsgekrümmt

für 1 < x < ∞    gilt:  f(x) linksgekrümmt

  f ''(x) = x2  - 1    S(0|-1)

  0  =  x2  - 1

  x2  =  1

  x1 = -1     x2 = 1

für  - ∞ < x < -1    gilt: f ''(x) > 0

für   - 1 < x < 1     gilt: f ''(x) < 0

für     1 < x < ∞    gilt:  f ''(x) > 0

Daraus wird deutlich:

es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten der Funktion f und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung f ''
eine Funktion f ist an der Stelle x linksgekrümmt (konkav),   wenn  gilt:     f ''(x) >= 0
eine Funktion f ist an der Stelle x streng linksgekrümmt,     wenn   gilt:     f ''(x) > 0
eine Funktion f ist an der Stelle x rechtsgekrümmt (konvex), wenn  gilt:     f ''(x) <= 0
eine Funktion f ist an der Stelle x streng rechtsgekrümmt,    wenn  gilt:     f ''(x) < 0
die Funktion f ändert an den Stellen x ihr Krümmungsverhalten, an denen die zweite Ableitung f '' ihr Vorzeichen ändert
dafür kommen nur die Stellen in Frage, an denen die zweite Ableitung f '' Nullstellen besitzt

Die Stellen, an denen die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert, sind ganz besondere Stellen  -   sogenannte Wendestellen. An diesen Stellen hat der Funktionsgraph Wendepunkte. Die Kenntnis solcher besonderen Kurven- punkte ist für die praktische Anwendung der Funktionslehre von enormer Bedeutung.

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        Rechenverfahren Extrempunkte

In vielen Fällen ist eine vollständige Monotonieuntersuchung von Funktionen nicht nötig, um die Lage ihrer Extrem- punkte aufzuspüren. Beim vereinfachten Verfahren zur Berechnung von Extrempunkten macht man sich die Zusammenhänge zwischen den ersten beiden Ableitungen und den Eigenschaften des Funktionsgraphen zu Nutze:

  1. berechnen der beiden ersten Ableitungen der Funktion f
  2. ermitteln der möglichen Extremstellen xE als Nullstellen der ersten Ableitung          

           →  notwendiges Kriterium für die Existenz von Extrempunkten

  1. berechnen der 2.Ableitung an den möglichen Extremstellen und untersuchen dieser Werte auf ihr Vorzeichen:       · f ''(xE) < 0 , dann befindet sich an der Stelle xE ein Tiefpunkt                                                                      · f ''(xE) < 0 , dann befindet sich an der Stelle xE ein Hochpunkt                           

           →  hinreichendes Kriterium für die Existenz von Extrempunkten

  1. berechnen der Funktionswerte (Extremwerte) an den Stellen xE und angeben der Extrempunkte
f(x) = 0,1·x3 - 1,2·x2 + 2,1·x + 5,4

1. f '(x) = 0,3·x2 - 2,4·x + 2,1       

f ''(x) = 0,6·x - 2,4

2. 0 = 0,3·x2 - 2,4·x + 2,1

0 = x2 - 8x + 7

xE1 = 1   xE2 = 7  sind mögliche Extremstellen von f

3. f ''(1) = -1,8 < 0 also da HP

f ''(7) = 1,8 > 0 also da TP

4. f(1) = 6,4   damit H(1|6,4)

f(7) = -4,4  damit T(7|-4,4)

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        Rechenverfahren Wendepunkte

 

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        Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Ziel einer vollständigen Kurvendiskussion ist ein möglichst exakt gezeichneter Funktionsgraph, der alle wich- tigen Eigenschaften der Funktion graphisch veranschaulicht. Dies ist allein mit einer Wertetabelle nicht zu erreichen, weil wichtige Punkte des Funktionsgraphen wie Extrem- und Wendepunkte nur selten bei ganz- zahligen x-Werten zu finden sind. Kurvendiskussionen folgen in der Regel einer festgelegten Schrittfolge, die wir hier an einem Beispiel vorstellen.

Bsp.:    f(x) = -x3 + 9x2 - 24x + 16

f '(x) = -3x2 + 18x - 24
f ''(x) = -6x + 18
f '''(x) = -6
bestimmen Sie zunächst die ersten drei Ableitungen, sie werden für die Extrem- und Wendepunktuntersuchung benötigt
  1. Definitionsbereich:   DB = {x|xR} = R
der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, denen die Funktionsgleichung ohne Einschränkung einen Funktions- wert zuordnet
bei ganzrationalen Funktionen gibt es keinen Grund, eine Zahl aus dem Definitionsbereich auszuschließen
  2.  Symmetrie:

       f(-x) = -(-x)3 + 9·(-x)2 - 24·(-x) + 16 = x3 + 9x2 + 24x + 16

       f(x) = -x3 + 9x2 - 24x + 16          -f(x) = x3 - 9x2 + 24x - 16

f(-x) ≠  f(x)   es liegt also keine Axialsymmetrie zur y-Achse vor 
f(-x) -f(x)  es liegt auch keine Zentralsymmetrie zum Koordinatenursprung vor

Dies heißt jedoch nicht, dass der Funktionsgraph keine Symmetrie aufweist. Wie wir später sehen werden ist jeder Funktionsgraph von Funktionen dritten Grades punktsymmetrisch zum einzigen Wendepunkt.

wir untersuchen im Grundkurs Funk- tionsgraphen nur auf Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung; andere Sym- metriearten bleiben unberücksichtigt
berechnen Sie den Funktionswert f(-x) und vergleichen Sie ihn dann mit den Termen f(x) und  -f(x) (siehe Symmetrie ganzrationaler Funktionen)
bei ganzrationalen Funktionen hängt das Symmetrieverhalten nur von den auftretenden Exponenten ab
  3. Nullstellen:

     0 = -x3 + 9x2 - 24x + 16  /·(-1)

    0 = x3 - 9x2 + 24x - 16         NR: (x3-9x2+24x-16):(x-1) = x2-8x+16

    0 = (x - 1)·(x2 - 8x + 16)            -(x3-x2)

   xN1 = 1     x2 - 8x + 16 = 0               -8x2+24x

                  xN2/3 = 4 ± √(16-16)               -(-8x2+8x)

   Doppellösung: xN2/3 = 4                          16x-16

Funktionsgleichung Null setzen und die entstehende Gleichung mit geeigneten Mitteln lösen (siehe auch Nullstellen ganzrationaler Funktionen)
ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen maximal n Nullstellen
das hier zwingend notwendige Verfah- ren der Polynomdivision setzt voraus, dass eine Lösung der Gleichung durch Probieren gefunden wird
  4. Extrempunkte:

  f '(x) = 0 = -3x2 + 18x - 24 /:(-3)

            0 = x2 - 6x + 8

            xE1/2 = 3 ± √(9-8)  

               xE1 = 2      f ''(2) = 6 > 0   f(2) = -4     T(2|-4)

          xE2 = 4      f ''(4) = -6 < 0   f(4) = 0     H(4|0)

zunächst mit dem vereinfachten Re- chenverfahren für Extrempunkte ver- suchen, die Koordinaten der auftreten- den Extrempunkte zu ermitteln
bei auftretenden Problemen auf Monotonieuntersuchung mittels Teststellenverfahren ausweichen
ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen maximal (n-1) Extrempunkte
  5. Wendepunkte:

  f ''(x) = 0 = -6x + 18 

            6x = 18 /:6

            xW = 3     f '''(3) = -6 0   f(3) = -2     W(3|-2)               

zunächst mit dem vereinfachten Re- chenverfahren für Wendepunkte ver- suchen, die Koordinaten der auftreten- den Wendepunkte zu ermitteln
bei auftretenden Problemen auf Krümmungsuntersuchung mittels Teststellenverfahren ausweichen
ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen maximal (n-2) Wendepunkte
  6. Verhalten im Unendlichen    
für sehr große x (rechter Rand des KS) strebt f(x) immer kleineren Werten zu; Funktionsgraph verläuft rasch nach unten  für sehr kleine x (linker Rand des KS) strebt f(x) immer größeren Werten zu; Funktionsgraph verläuft rasch nach oben 
an den Rändern des KS verhält sich die Funktion f so wie die Grundfunktion g(x) = -x3
hier untersucht man das Verhalten des Funktionsgraphen an den "Rändern des Koordinatensystems" (siehe Grenzwert einer Funktion im Unendlichen)
das Verhalten im Unendlichen hängt bei ganzrationalen Funktionen maßgeblich vom Term mit der größten Potenz von x ab
  7. Wertetabelle:           x      0,5          4,5          5

                                          y    6,125     -0,875        -4

trotz der bisherigen Ergebnisse erfor- dert die gewünschte Genauigkeit der Zeichnung einige wenige ergänzende Wertepaare
  8. graphische Darstellung:

eintragen aller bisheriger Ergebnisse und verbinden der Punkte unter Berück- sichtigung der Funktionseigenschaften (z.B.Krümmung ändern im Wendepunkt)

 

 f(x) = ⅓·x3 - x
f '(x) = x2  - 1
f ''(x) = 2x 
f '''(x) = 2
f(x) = ¼·x4 - 5/3·x3 + 3x2
f '(x) = x3  - 5x2 + 6x
f ''(x) = 3x2 - 10x + 6 
f '''(x) = 6x - 10
  1.DB = R 1.DB = R
 2.  Symmetrie:

       f(-x) = ⅓·(-x)3 - (-x) = -⅓·x3 + x

       f(x) = ⅓·x3 - x        -f(x) = -⅓·x3 + x

f(-x) = -f(x)  zentralsymmetrisch zum Koord.ursprung 
2.  Symmetrie:

       f(-x) = ¼·(-x)4 - 5/3·(-x)3 + 3(-x)2 = ¼·x4 +5/3· x3 + 3x2

       f(x) = ¼·x4 - 5/3·x3 + 3x2   -f(x) =- ¼·x4 + 5/3·x3 - 3x2

f(-x) ≠  f(x)  nicht axialsymmetrisch zur y-Achse
f(-x) ≠  -f(x)  nicht zentralsymmetrisch zum KU 
  3. Nullstellen:

     0 = ⅓·x3 - x 

    0 = x ·(⅓·x2 - 1 )

    xN1 = 0     ⅓·x2 - 1= 0  

                       ⅓·x2 = 1             

                         x2 = 3           

                 xN2 = -3         xN3 = 3                 

 3. Nullstellen:

     0 = ¼·x4 - 5/3·x3 + 3x2 /·4

    0 = x4 - 20/3·x3 + 12x 

    0 = x2 · (x2 - 20/3·x + 12)

    xN1/2 = 0     x2 - 20/3· x + 12 = 0  

                xN3/4 = 10/3 ± √(100/9-12)     

                 keine weiteren Nullstellen 

  4. Extrempunkte:

  f '(x) = 0 = x2  - 1 /:+1

            x2 = 1

          xE1 = -1   f ''(-1) = -2 < 0  f(-1) =    H(-1| )

          xE2 = 1    f ''(1) = 2 > 0   f(1) = -   T(1|- )

4. Extrempunkte:

  f '(x) = 0 = x3  - 5x2 + 6x 

            0 = x · (x2  - 5x + 6)

   xE1 = 0        xE2/3 = 2,5 ± √(6,25-6)      f ''(0)=6 T1(0|0)

          xE2 = 2     f ''(2) = -2 < 0   f(2) = 8/3     H(2| 8/3)

          xE3 = 3      f ''(3) = 3 > 0    f(3) = 9/4   T2(3|9/4)

  5. Wendepunkte:

  f ''(x) = 0 = 2x  

       xW = 3     f '''(0) = 2 0   f(0) = 0

     W(0|0)               

5. Wendepunkte:

  f ''(x) = 0 = 3x2 - 10x + 6 /:3