Jahrgangsstufe:
11
Semester: I
1.
Analytische Geometrie - Koordinatengeometrie
1.1
Einführung in
die Koordinatengeometrie - Koordinatensysteme
Aufgabe: .
geometrische Sachverhalte berechenbar machen
. Geraden, Kreise u.a. geometrische Objekte werden als Menge
von Punkten aufgefasst,
deren Koordinaten Gleichungen mit 2 (bzw. 3) Variablen erfüllen
müssen
Bsp.:
Computergraphiken
Koordinatensysteme
ebenes KS
räumliches KS
. zwei Koordinatenachsen
. drei Koordinatenachsen
. unterteilen Ebene in vier Quadranten . unterteilen Raum in acht
Oktanten
. jedem Punkt wird ein geordnetes Zahlen-
· jedem Punkt wird ein geordnetes Zahlen-
paar [x | y]
zugeordnet tripel [x
| y | z ]
zugeordnet
kartesisches Koordinatensystem: .
Koordinatenachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander
· jede Einheit entspricht 1 cm (gleichmäßige
Achseneinteilung)
Polarkoordinatensystem: -
Lage eines Punktes wird definiert durch seine Verbindungslinie zum KU
- die beiden Koordinaten geben den Winkel dieser Verbindungslinie zum
positiven
Teil der x-Achse sowie deren
Länge an
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1.2 Länge einer
Strecke - Abstand zweier Punkte
Die Länge der Strecke P1P2 kann bei
beliebiger Lage der Punkte stets mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus
den Koordinaten der beteiligten Punkte ermittelt werden. Im rechtwinkligen
Dreieck P1P2P3 gilt:
also
folgt:
|
|
Bsp.:
geg: P(1|3) Q(4|5) ges:
PQ Lösung: PQ = √(4-1)2+(5-3)2 =
√13 ≈ 3,6(LE)
geg: A(-14|9) B(21|-15)
ges: AB Lsg: AB= √(21-(14))2+(-15-9)2 =
√1801 ≈ 42,4(LE) |
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1.3
Mittelpunkt einer
Strecke
Zur
Berechnung der x-Koordinate des Mittelpunktes M einer Strecke P1P2
betrachtet man die kongruenten Dreiecke P1QM und MRP2
(Punkt Q(xm|y1) und Punkt R(x2|ym).
Da in kongru- enten Dreiecken einander entsprechende Strecken gleichlang
sind, gilt: xm - x1 = x2 - xm
woraus für xm folgt:
Analog
kann man aus diesen Dreiecken
ableiten: .
Die
Koordinaten des Mittelpunktes M ergeben sich also aus den arithmetischen
Mitteln der beteiligten Punktkoordinaten.
|
 |
geg: P(1|3) Q(4|5) ges:
MPQ Lösung: MPQ(
)
MPQ(
2,5|4)
geg: A(2|2) M(5|3) ges: B Lösung:
xB
= 8 yB = 4 B(8|4)
|
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1.4 Steigung einer
Strecke
|
|
Strecken können in einem Koordinatensystem ganz
unterschiedlich liegen; um die Richtung einer Strecke festzulegen, gibt es
zwei Möglichkeiten:
 | den Steigungswinkel α |
| die
Steigung m (Steigungszahl, Anstieg) |
|
|
Jede Strecke P1P2 ist Teil einer
Geraden g, insofern definiert man
die Steigung einer Strecke analog zum Anstieg einer Geraden:
;im sogenannten Steigungsdreieck ergibt sich der Steigungswinkel
α
mit:
und
somit gilt folgender Zusammenhang zwischen beiden
Bestimmungsmerkmalen: m = tanα
| für
monoton steigende Strecken gilt: m > 0 und
0°<
α <
90° |
| für
monoton fallende Strecken gilt: m < 0 und
90°<
α <
180°
|
|
|
|
Sonderfall: waagerechte Strecken
y2 - y1 = 0 also m = 0
und α
=
0° |
Sonderfall: senkrechte Strecken x2-x1
= 0 also m=n.d. (m = ∞)
und α
= 90° |
|
|
|
Sonderfall: parallele Strecken
m1 = m2 |
Sonderfall:orthogonale Strecken m2·m1
= -1 oder
|
|
Bsp: geg.: A(-4|1) B(2|-2) ges.: m
,α
Lösung: m = (-2-1)/(2+4) =
-½ m
=
tanα
= -½
α
= 153,4°
Bsp.: Weisen Sie nach, dass die Strecken AB mit A(3|4) und
B(1|-2) und PQ mit P(0|3) und Q(6|1) orthogonal zueinander sind!
mAB = (-2-4)/(1-3) = 3 mPQ = (1-3)/(6-0) =
- ⅓
m2·m1
= - ⅓·3
= -1 oder m2 = -1/m1 = -1/3
= - ⅓
Strecken AB und PQ sind orthogonal
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1.5 Innenwinkel
von Figuren
Mit Hilfe der Steigungswinkel von Strecken kann man die Innenwinkel von
Dreiecken und damit die Innenwinkel vieler ebener Figuren berechnen. Dabei gilt:
die Differenz zweier Steigungswinkel ergibt den Innenwinkel am gemeinsamen Punkt
beider Strecken oder den Nebenwinkel zu diesem. Genaueres muss man einer Skizze
entnehmen.
| Bsp.: Dreieck ABC mit A(1|2), B(4|1) und C(3|4) Bestimmen
Sie die drei Innenwinkel α,
β,
γ!
mAB= - ⅓
αc=
161,6°
mAC=
1
αb=
45,0°
mBC=
-3
αa=
108,4°
| α'
= αc
- αb
= 161,6° - 45° = 116,6° ist der
Nebenwinkel α
=
180°-
α'
= 63,4° |
| β
= αc
- αa
= 161,6° - 108,4° = 53,2° |
| γ
= αa
- αb
= 108,4° - 45° = 63,4° |
Diese
Dreieck ist gleichschenklig, was eine Seitenlängenberechnung (a=√10=c,
b=√8)
bestätigt. |
|
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1.6 Geradengleichungen
Eine Gerade ist eine unendliche
Punktmenge, die im Unterschied zu einer Strecke weder Anfangs- noch
Endpunkt besitzt, also auch nicht über diese definiert werden kann. Sie
ist eindeutig festgelegt durch:
| einen gegebenen Punkt P1(x1|y1) und
eine Angabe über die Richtung der Gerade (m oder α
) |
| zwei
gegebene Punkte P1(x1|y1)
und P2(x2|y2) |
|
|
Punktrichtungsgleichung
y = m·x + n
y1 = m·x1 + n n =
y1 - m·x1
y = m·x + (y1 -
m·x1)
y - y1= m·x - m·x1
y - y1= m·(x - x1) |
 |
Zwei-Punkt-Gleichung
y - y1= m·(x - x1)
y - y1=
·(x - x1)
oder in der Form
(y - y1)·(x2
- x1) = (y2 - y1)·(x - x1) |
| Bsp.: geg.: P(3|5) α
=
60° ges.: Gleichung von g
m
= tanα
=
tan 60° =
√3
y - y1= m·(x - x1)
y - 5=
√3·(x - 3)
y =
√3·x +5 - 3√3 |
Bsp.: geg.: P1(-2|3)
P2(4|-5)
ges.: Gleichung von g
y - y1=
·(x - x1)
y - 3=
·(x - (-2))
y - 3= -
4/3·(x + 2)
y = - 4/3·x +⅓ |
Egal ob über Punktrichtungsgleichung
oder Zwei-Punkt-Gleichung aufgestellt, erhält man zunächst die Gleichung der
Geraden in der Form: y = m·x + n , die man auch kartesische
Normalform der Geradengleichung nennt. Für verschie- dene Anwendungen (z.B.
Schnittpunktsberechnungen u.a.) kann es aber von Vorteil sein, diese Gleichungen
nach Termen mit Variablen und Absolutgliedern zu ordnen, was zur allgemeinen
Geradengleichung führt: Ax + By = C. Für graphische
Darstellungen erweist sich noch eine andere Form der Geradengleichung als
besonders geeignet, die sogenannte Achsenabschnittsform, die man aus der
allgemeinen Geradengleichung erhält, in dem man noch durch das Absolutglied
teilt und die dabei vor x und y auftretenden Brüche mit Vorzeichen reziprok
unter x und y schreibt: x/u + y/v = 1. Diese Gleichungsform ist dadurch
gekennzeichnet, dass das Absolutglied immer 1 beträgt und er- möglicht es
,ganz leicht die Schnittstellen der Gerade mit den Koordinatenachsen (u
und v) abzulesen.
| Bsp.: Gerade g gegeben durch: A(2|-1)
und B(-2|2)
y +1 =
·(x - 2) y +
1 = - ¾·(x
- 2) y = - ¾·x
+ ½ /·4
4y = - 3x + 2 3x + 4y = 2
/:2 3/2·x
+ 2y = 1
u
= ⅔ v = ½
|
|
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1.7 Lagebeziehung
zwischen zwei Geraden - Schnittwinkel zweier Geraden
Geht man davon aus ,dass sich im allgemeinen zwei Geraden in der Ebene in
einem gemeinsamen Punkt S schneiden, so müssen die Koordinaten dieses Punktes
die Gleichungen beider beteiligter Geraden erfüllen, d.h. jeweils in eine wahre
mathematische Aussage überführen. Diese Überlegung ermöglicht es uns, die
Koordinaten eines solchen gemeinsamen Schnittpunktes durch das Gleichsetzen der
beiden Geradengleichungen rechnerisch zu bestimmen. Dabei entsteht i.A. ein
lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.
Bsp.: g1: y
= 3x - 3
g2:
y = -½·x+4
3x-3
= -½·x+4 7/2·x
= 7 x =
2 y = 3·2 - 3 =
3
L ={[2|3]}
y = -½·2 + 4 =
3 S(2|3)
|
 |
Das dabei auftretende Gleichungssystem hat
mehrere Lösungsmöglichkeiten, was zu folgenden Lagebeziehungsmög- lichkeiten
für zwei Geraden in der Ebene führt:
| Geraden schneiden sich in einem Punkt |
Geraden liegen parallel zueinander |
Geraden sind identisch |
 |
 |
 |
| Gleichungssystem hat genau eine Lösung
eindeutige Lösung: L = {[xS|yS]} |
Gleichungssystem hat keine Lösung
L = Ø (leere Menge) |
Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen
L ∞
= {[x|y(x)]} eine freie Variable |
Schneiden sich zwei Geraden in einem
Schnittpunkt S, so stellt sich die Frage nach dem Schnittwinkel. Zunächst erzeugen die beiden Geraden rund um den Schnittpunkt S vier Winkel, von denen je
zwei nach dem Scheitelwinkelsatz gleichgroß sind. Von den verbleibenden zwei
Winkel betrachtet man per Definition den kleineren als den Schnittwinkel φ;
damit gilt: 0°<= φ <=
90°
|
α2
= α1
+ φ
φ
= α2
- α1
(Nebenwinkelsatz für Dreiecke)
tanφ
= tan(α2
- α1)
=
(nach
Additionstheorem TW.S.35)
tanφ
=
wegen
Betragstriche
tanφ
> 0
und damit 0°
< φ
< 90° |
|
Damit gilt für den Schnittwinkel im
obigen Beispiel: tanφ
=
=
=
7
φ
=
81,9°
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1.8 Besondere
Linien im Dreieck
Mit den bisherigen Kenntnissen ist es möglich, fast alle besonderen Linien in
einem gegebenen Dreieck durch Geradengleichungen zu erfassen:
|
Seitenhalbierende verlaufen durch
den Mittelpunkt einer Seite und den gegenüberliegenden Eckpunkt und können
mit Hilfe der Zwei-Punkt-Gleichung unter Nutzung der Formeln zur Berechnung
von Mittelpunkts- koordinaten aufgestellt werden |
|
Mittelsenkrechten verlaufen durch
den Mittelpunkt einer Dreiecksseite und sind orthogonal zu dieser; sie
können unter Nutzung der Formeln zur Berechnung von Mittelpunktskoordinaten
und der Beziehung zwischen den Anstiegen orthogonaler Geraden (Strecken)
über die Punktrichtungsgleichung aufgestellt werden |
|
Höhen verlaufen durch einen
Dreieckseckpunkt und sind senkrecht zur gegenüberliegenden Dreiecksseite;
sie können also ebenfalls mittels Punktrichtungsgleichung und der Beziehung
zwischen den Anstiegen orthogonaler Geraden aufgestellt werden |
Die drei Seitenhalbierenden eines
Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt
des Dreiecks. Lagert man ein reales (z.B. ausgeschnittenes) Dreieck in diesem
Punkt auf einer Spitze, so befindet es sich im (labilen) Gleichgewicht. Die drei
Mittelsenkrechten desselben Dreiecks schneiden sich in einem (i.A.)
anderen Punkt M; dieser ist der Mittelpunkt des
Dreiecksumkreises, denn er ist zu allen drei Eckpunkten gleichweit
entfernt. Auch die drei Höhen desselben Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt H; dieser hat aber bezüglich des Dreiecks keine besondere Bedeutung. Die
von uns hier nicht näher betrachteten Winkelhalbierenden dieses Dreiecks
liefern als Schnittpunkt W den Mittelpunkt des
Dreiecksinkreises. Interessant ist in diesem Zusammenhang die Tatsache,
dass alle genannten Punkte (also S, M, H und W) in jedem Dreieck auf ein und
derselben Gerade - der sogenannten Eulerschen Gerade
- liegen.
Bsp.: Dreieck ABC sei
gegeben mit A(1|1), B(5|4) und C(3|6)
|
Seitenlängen: AB
=
√25
= 5 AC =
√29
≈ 5,4(LE) BC
=
√8
≈
2,8(LE) |
|
Dreiecksseiten:
Gerade gAB: y = ¾·x + ¼
Gerade gAC: y = 5/2·x - 3/2 Gerade
gBC: y = -x + 9 |
| Innenwinkel
: tanαc=¾ tanαb=5/2
tanαa=-1
αc=36,87°
αb=68,2°
αa=135°
α
=
31,3° β
= 81,9° γ
=
66,8° |
|
Seitenmittelpunkte:
MAB(3|5/2)
MAC(2|7/2)
MBC(4|5) |
| Seitenhalbiereden:
Gerade sc: (y - 5/2)·(3
- 3)
=(6 - 5/2)
·(x
- 3) 0 =7/2
·(x
- 3) x = 3
S(3|11/3)
Gerade
sb: y-7/2
=
 ·(x-2)
y = 1/6·x
+ 19/6
Gerade
sa: y - 5 =
·(x
- 4) y = 4/3·x
- 1/3 |
| Mittelsenkrechten:
Gerade mc: y - 5/2
= -4/3·(x
- 3) y = -4/3·x
+ 13/2
M(33/14|47/14)
Gerade mb: y - 7/2
= -2/5·(x
- 2) y = -2/5·x
+ 43/10
Gerade ma: y - 5
= 1·(x
- 4) y = x + 1 |
| Höhen:
Gerade hc: y - 6 = -4/3·(x
- 3) y = -4/3·x
+
10
H(30/7|30/7)
Gerade hb: y - 4 = -2/5·(x
- 5) y = -2/5·x
+ 6 Gerade ha:
y - 1 = 1·(x - 1) y = x |
| Eulersche
Gerade: y - 11/3
=
·(x - 3)
y - 11/3
= 13/27·(x
- 3) y = 13/27·x
+ 20/9 |
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1.9 Der
Flächeninhalt eines Dreiecks
Mit den erworbenen Kenntnissen hat man zur
Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks, von dem die Koordina- ten der
Eckpunkte gegeben sind, die folgenden drei Möglichkeiten:
mit der aus der Sekundarstufe I bekannten Formel:
| A = ½·a·b·sinγ |
| A = ½·b·c·sinα |
| A = ½·a·c·sinβ |
|
mit der aus der Sekundarstufe I bekannten Formel:
| A = ½·g·hg = ½·a·ha = ½·b·hb
= ½·c·hc |
Um die benötigte Länge der Höhe zu ermitteln. berechnet man
zunächst die Koordinaten des Schnittpunktes F (Lotfußpunkt)
zwischen Grundseite und Höhe. |
mit der neuen Formel:
A=½·|x1·(y3-y2)+x2·(y1-y3)+x3·(y2-y1)| |
| aus obigem Beispiel ergibt sich:
A = ½·a·b·sinγ
A
= ½·√29·√8·sin66,8°
= 7 (FE)
A = ½·b·c·sinα
A
= ½·
√29·5·sin31,3°=
6,99 (FE)
A = ½·a·c·sinβ
A
= ½·
√8·5·sin81,9°
= 7 (FE) |
aus obigem Beispiel ergibt sich:
Seite
c: y = ¾·x + ¼
Höhe hc:
y = -4/3·x+10
aus ¾·x + ¼
=-4/3·x+10
folgt xF=117/25
yF=94/25
also
F(4,68|3,76)
und
damit
FC=√(3-117/25)2+(6-94/25)2
=
√7,84 = 2,8 (LE)
A
= ½·c·hc = ½·5·2,8 = 7 (FE)
|
aus obigem Beispiel ergibt sich:
A=½·|x1·(y3-y2)+x2·(y1-y3)+x3·(y2-y1)|
A=½·|1·(6-4)+5·(1-6)+3·(4-1)|
A = ½·|(-14)|
A = 7 (FE)
|
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Kreise - die Kreisgleichung
Wiederholung
- der Kreis
Definition:
Ein Kreis K ist die Menge aller Punkte einer Ebene E,
die von einem festen Punkt M dieser
Ebene den gleichen Abstand r haben.
Welche
Angaben benötigt man zur eindeutigen Festlegung eines Kreises?
M;r oder
M;d
Zeichnen
eines Kreises mit M und r = 3 cm !
Wiederholung
der Begriffe:
Sekante, Tangente, Passante, Sehne, Kreislinie, Zentri-
und
Peripheriewinkel
Wie erhält
man eine Gleichung für diesen Kreis?
Einzeichnen
eines geeigneten Koordinatensystems mit O(0/0)
= M und eines beliebiger
Kreispunkt
P(xp/yp)
Anwenden der
Formel für den Abstand zweier Punkte:
=
r
=
r
xp² + yp²
= r²
Gleichung für einen Kreis in Mittelpunktslage:
x² + y²
= r²
B
Kreis k : M(0/0);
r = 3
x² + y² = 9
alle
Punkte, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen, liegen auf dem Kreis k
Anwendung der
Kreisgleichung zur Lageprüfung von Punkten bezüglich eines gegebenen Kreises
Ü
Kreis k: M(0/0); d = 10
Prüfe
die Lagebeziehung folgender Punkte zum Kreis k!
P(-3/4) Q(- 2/-3)
R(4/-4) S(
\/¯10
/
\/¯15
)
Anwenden der
Kreisgleichung zur Ermittlung der vollständigen Koordinaten von Kreispunkten
Ü Kreis k: M(0/0); r =
4
Berechne
die fehlende Koordinate des Punktes!
P( 2/y ) Q(
x/-3 ) R( -5/y )
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2. Lineare Gleichungssysteme
2.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Lineare Gleichungssysteme lassen sich lösen mit:
| Einsetzungsverfahren |
| Gleichsetzungsverfahren |
| Additionsverfahren |
Bsp.: I 2x + 4y =
13
/·(-3) (-3)·I -6x
- 12y = -39
(-3)·I + 2·II -2y = -9
II
3x + 5y = 15
/·2
2·II 6x + 10y = 30
y = 4,5
y in I →
2x + 4·4,5 = 13 →
x = -2,5
y in II →
3x + 5·4,5 =
15 →
x =
-2,5 L
= {[-2,5|4,5]}
I*
y = -1/2·x + 13/4 
II* y = -3/5·x + 3
Schnittpunkt
S(-2,5|4,5)
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Determinantenverfahren für lineare GLS
mit zwei Variablen
I
a11x + a12y
= b1
II
a21x + a22y
= b2
I
umstellen nach x:
a11x
= -a12y
+ b1 /:a11
x =
-
y
+
x
einsetzen in II :
a21
+ a22y
= b2
/.a11
a12y
+ a21b1 + a22a11y
= a11b2
/-a21b1
-a21a12y
+ a22a11y
= a11b2
– a21b1
(a11a22 – a12a21) . y
= a11b2
– a21b1
/:( a11a22
– a12a21)
y
=
=
analog
erhält man:
x
=
=
daraus
folgt: das lineare Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung:
L =
{[
|
]}
Mit dieser Lösungsmenge könnte man nun jedes LGS mit zwei Variablen durch
Einsetzen der Koeffizienten in diese Terme lösen.
Problem: Einprägen der Termstrukturen der Lösungsmenge
Lösung des Problems: mit Hilfe der Matrizenrechnung:
Da die
Lösung des LGS nicht von der Art der Variablen, sondern nur von den
Koeffizienten vor den Variablen und den Absolutgliedern abhängt, kann man jedes
Gleichungssystem auch als Matrix schreiben:
erweiterte
Koeffizientenmatrix A' =
Koeffizientenmatrix
A =
und da man zu jeder quadratischen Matrix (gleiche Anzahl von Zeilen und
Spalten) nach einer gewissen Rechen- vorschrift eine Determinanten (Zahl)
ausrechnen kann, ergeben sich für diese Determinanten unter bestimmten
Umständen gerade die Terme aus der Lösungsmenge von oben. Für quadratische
Matrizen 2-ter Ordnung kann man z.B. die Determinante ausrechnen, in dem man vom
Produkt der beiden Glieder in der Hauptdiagonale (a11,
a22) das Produkt der Glieder in der sogenannten Nebendiagonale
(a12, a21) abzieht. Ersetzt man nun noch die Spalten in
der Koeffizientenmatrix geeignet durch die Absolutglieder (b1, b2),
so erhält man mit der gleichen Rechenvorschrift auch die beiden anderen Terme
aus der Lösungsmenge.
det(A)
= D =
=
a11.a22 –
a21.a12
Koeffizientendeterminante
det(A1)
= D1 =
=
a22.b1 –
a12.b2
Zählerdeterminante von x
det(A2)
= D2 =
=
a11.b2 –
a21.b1
Zählerdeterminante von y
Produkt
der Hauptdiagonale - Produkt
der Nebendiagonale
Nach
der Cramerschen Regel gilt nun - falls det(A) ≠0
- für x: x = D1/D und für y: y = D2/D
und damit die gleiche Lösung wie oben.
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Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen
a)
I 3x - 5y
= -1
/·3
b) I -4x +
2y = 10
II -9x + 15y = 2
II 2x - y
= -5 /·2
3·I
+ II 0
= -1
Widerspruch
I + 2·II 0
= 0 Nullzeile
L = Ø
L∞
= {[x|2x + 5]}
D =
= 45
- (-45) = 0
D =
= 4 -
4 = 0 -
4 = 0
D1 =
=
-15 - (-10) = -5
D1 =
=
-10 -
(-10) = 0
-
(-10) = 0
D2 =
=
6 -
9 = -3
D2 =
= 20
-
20 = 0
x = -5/0 y = -3/0 → nicht
definiert
x = 0/0 y = 0/0 → nicht bestimmt
| |
keine Lösung
L = Ø |
eindeutige Lösung
L = {[x|y]} |
unendlich viele Lösungen
L = {[x|mx+n]} |
| Gleichungssystem |
|
|
|
| Determinanten |
D = 0
D1 oder D2 ungleich Null
|
D
≠ 0
|
D = 0
D1 = D2 = 0
|
| graphische Deutung |
parallele Geraden in Ebene
keine gemeinsamen Punkte
|
nichtparallele Geraden (Eb.)
ein (gemeins.) Schnittpunkt |
identische Geraden in Ebene
unendlich viele gem. Punkte
|
Bsp.: Für welche Werte des
Parameters a hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung!
I 2x - 5y =
9
I -4x + 10y =
18 I +
II 10y + ay = 23
II 4x + ay = 5
II 4x + ay = 5
(10 + a)·y = 23
y =
-4x
+ 10·
= 18 /·(10+a)
-4(10+a)x + 230 = 18(10+a)
-4(10 +a)x + 230 = 180 + 18a /-230
L = {[
|]}
-4(10+a)x = -50 + 18a
/:(-4)
(10+a)x = 12,5 +
4,5a
x =
· also für alle Werte a ≠
-10 ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar
· für a = -10 hat das Gleichungssystem keine Lösung
· besser mit
Determinantenmethode: D = 2a - (-20) =
2a + 20 ≠
0 folgt 2a ≠
-20 und a ≠ -10
D1 = 9a - (-25) = 9a + 25
D2 = 10 - 36 = -26 (für alle a immer ≠ 0)
daraus folgt, dass für alle a ≠ -10 das GLS eindeutig lösbar ist,
und dass für a = -10 zwar D = 0 ist, aber D1 und D2
ungleich Null bleiben
also L = Ø
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Der
Gaußsche Lösungsalgorithmus
Voraussetzung für die
Anwendung des Gaußschen Lösungsalgorithmus für die Lösung linearer
Gleichungs- systeme ist es, dass das Gleichungssystem in der Normalform
vorliegt; also alle Variablenterme auf einer Gleichungsseite, alle
Absolutglieder auf der anderen Gleichungsseite.
I 3x + 4y - 5z =
50
3x + 4·3 - 5·2
= 50 3x =
48 x = 16
II
2y + 7z =
20
2y + 7·2 =
20 2y =
6 y = 3
III
5z = 10 /:5 z = 2
L = {[16|3|2]}
Hat eine lineares Gleichungssystem die sogenannte Dreiecksform,
so lassen sich die Teillösungen für die drei Variablen von unten nach oben
durch Rückeinsetzen der bereits gefundenen Teillösungen ermitteln. Bei
beliebigen linearen Gleichungssystemen ist man also bestrebt, diese Dreiecksform
mittels mehrmaligem Anwenden des Additionsverfahren zu erreichen.
I a11x1+a12x2+a13x3 = b1
/·(-a21)
/·(-a31)
I a11x1 + a12x2
+ a13x3 = b1
I a11x1 + a12x2
+ a13x3 = b1
II a21x1+a22x2+a23x3
= b2/·a11
II a*22x2 + a*23x3
= b*2 /·(-a*32)
II a*22x2 + a*23x3
= b*2
III a31x1+a32x2+a33x3
= b3
/·a11
III a*32x2 + a*33x3
= b*3 /·a*22
III
a#33x3
= b#3
Falls die jeweils vor x1 bzw. später vor x2
stehenden Koeffizienten nicht teilerfremd sind, können dabei kleinere
Multiplikatoren verwendet werden.
I 4x + 2y - 7z = -3 /·(-3)
/·(-5)
I 4x + 2y - 7z =
-3
I 4x + 2y - 7z = -3
II 3x - 5y + 6z = -1 /·4
II -26y + 45z =
5 /·1
II -26y + 45z = 5
III 5x + 3y - 4z = 13
/·4
III 2y
+ 19z = 67 /·13
III
292z = 876 /:292 z
= 3
übrige Teillösungen durch Zurückeinsetzen in die
Gleichungen II und I des letzten Gleichungssystems
II
-26y + 45·3 =
5 II
-26y = -130 /:(-26) y
= -5
I 4x +2·(-5)
- 7·3 =
-3 I 4x
= 28 /:4 x =
7 genau eine Lösung
L = {[7|-5|3]}
I 2x1
+ 2x2 - 2x3 + 2x4 =
8
I 2x1 + 2x2 - 2x3 + 2x4
= 8
I 2x1 + 2x2 - 2x3 + 2x4
= 8
II
x1 - x2 + x3 + 2x4
=
10
II
4x2 - 4x3 - 2x4
= -12
II
4x2 - 4x3 - 2x4
= -12
III 2x1
- 3x2 + 4x3 - 3x4 =
-4
III
5x2 - 6x3 + 5x4
= 12
III
- 4x3 + 30x4 = 108
IV -2x1 +
4x2 - 3x3 + 3x4 = 9
IV
6x2 - 5x3 + 5x4
= 17 IV
2x3 + 16x4 = 70
I 2x1
+ 2x2 - 2x3 + 2x4 = 8
II
4x2 - 4x3 - 2x4
= -12
III
- 4x3 + 30x4 =
108
L = {[1|2|3|4]}
IV
62x4 = 248
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Das
Determinantenverfahren für GLS mit drei Variablen - Regel von Sarrus
Das Determinantenverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit 3
Variablen in Normalform funktioniert prinzipiell genau so wie das bei linearen
Gleichungssystemen mit zwei Variablen. Nur bei der konkreten Deter- minantenberechnung gibt es Unterschiede (Regel von Sarrus beachten).
I 6x1 - 5x2 + 2x3
= 8
D =
=
(240 + 0 - 6)
- (0 + 18 + 60)
= 234 -
78 = 156
II -3x1 +10x2 +3x3 = -11
D1 =
=
(320 + 0 - 22)
- (0 + 24 + 220)
= 298 -
244 = 54
III
x2 + 4x3 = 0
D2 =
=
(-264 + 0 + 0)
- (0 + 0 - 96)
= -264 -
(-96) = -168
D3 =
=
(0 + 0 - 24)
- (0 - 66 + 0)
= -24 +
66 = 42
nun
gilt wieder: x1 = D1/D = 54/156 = 9/26
x2 = D2/D = -168/156 = -14/13
x3 = D3/D = 42/156 = 7/26
(Cramersche
Regel) und
damit: L
= {[9/26|-14/13|7/26]}
|
damit steht Ihnen ein zusätzliche Kontrollmöglichkeit
gegenüber dem Gaußschen Lösungsalgorithmus zur Verfügung |
I 2x1 - 4x2
+ x3 = 0
I 2x1 - 4x2 + x3
= 0 I 2x1
- 4x2 + x3 =
0 D = 18
II -x1 + 2x2 - 5x3
= 7
II
-9x3 = 14
II 4x2 + 11x3
= -12 D1 =
60 D2 = 23 D3 = -28
III 3x1 - 4x2 + 7x3
= -6 III
4x2 + 11x3 = -12
III
-9x3 = 14 L
= {[10/3|23/18|-14/9]}
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Manigfaltigkeit
der Lösungsmenge bei linearen GLS mit 3 Variablen
I 4x1 + x2 + x3
= 1 I 4x1
+ x2 + x3 =
1 I 4x1
+ x2 + x3 =
1 D = 0
II x1 + 4x2 + 4x3
= 1
II -15x2 - 15x3
= -3 II
-15x2 - 15x3 =
-3 D1 =
0 D2 = -12 D3 = 12
III x1 + x2 + x3
= 1 III
-3x2 - 3x3 = -3
III
0 = 12 L =
Ø
I x1 + 2x2 + 12x3
= 1 I x1
+ 2x2 + 12x3 = 1
I x1 + 2x2 + 12x3 =
1 D = 0
II 3x1 + 2x2 + 16x3 =
3
II -4x2 -
20x3 = 0
II -4x2 - 20x3
= 0 D1
= D2 = D3 = 0
III -x1 + 2x2 + 8x3 = -1
III -4x2 -
20x3 = 0 III
0 = 0 unendlich
viele Lösungen
Umstellen von Gleichung II nach x2:
-4x2 = 20x3 x2
= -5x3
Einsetzen von x2 in Gleichung I und Umstellen nach x1:
x1 + 2(-5x3) + 12x3
= 1 x1 + 2x3 =
1 x1 = -2x3
+ 1
Struktur der Lösungsmenge
angeben: L = {[-2x3
+ 1|-5x3|x3]}
x3 - frei wählbare Variable
Beispielzahlentripel aus
Lösungsmenge: wählen x3 =
1 [-1|-5|1]
wählen x3 = -2
[5|10|-2] u.s.w.
| |
keine Lösung |
eindeutige Lösung |
unendlich viele Lösungen |
| Gaußscher Lösungs- algorithmus |
Auftreten eines Wider- spruches:
z.B. 5 = -3
L = Ø
|
L = {[x1|x2|x3]} |
Auftreten einer (zwei)
wahren math. Aussage: z.B. 0 = 0
L = {[x1(x3)|x2(x3)|x3]}
eine freiwählbare Variable
L = {[x1(x2;x3)|x2|x3]}
zwei frei wählbare Variablen |
| Determinanten- verfahren |
Koeffizientendetermin. D =
0
D1≠0
oder D2≠0
oder D3≠0
L = 
manchmal
auch
bei:
D1
= D2 = D3 = 0
L = Ø
|
Koeffizientendeter- minante D ≠
0
L =
L = {[x1|x2|x3]}
|
Koeffizientendetermin. D =
0
D1
= D2 = D3 = 0
L
=
Struktur
der Lösungsmenge über Gauß:
L = {[x1(x3)|x2(x3)|x3]}
eine freiwählbare Variable
L = {[x1(x2;x3)|x2|x3]}
zwei frei wählbare Variablen
|
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Lineare
Gleichungssysteme mit Parametern
I 3x - 2y + az
= 4
I 3x - 2y + az
= 4
I 3x - 2y + az
= 4
II x + 3y - z
= 1
II -11y + (3+a)z
= 1
II -11y + (3+a)z =
1
III 2x - 5y + 3z = 3
III -11y + (9-2a)z
= 1 III
(3a-6)z = 0
z = 0/(3a-6)
für a ≠
2 gilt: L = {[14/11|-1/11|0]}
für
a = 2
gilt: unendlich viele Lösungen
besser:
Lösen solcher Aufgaben über das Determinantenverfahren:
D
=
=
27 + 4 - 5a -
(6a + 15 - 6) = -11a
+ 22
D1 =
=
36 + 6 - 5a -
(9a + 20 - 6) = -14a
+ 28 x
=
D2
=
= 9 - 8 + 31 - (2a
- 9 + 12) = a - 2
y =
D3
=
= 27 - 4 - 20 - (24 - 15 -
6) = 0
z =
für
alle a ≠
2 gilt: L
= {[ 
]}
= {[
]} = {[
]}
für
a = 2 gilt: L = {[0/0|0/0|0/0]}
also unendlich viele Lösungen
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Anwendungsaufgaben
zu linearen Gleichungssystemen
Aufgabe: In einem Garten gibt es
Schnecken, Raben und Katzen. Alle Tiere Zusammen haben 39 Köpfe und 57 Füße.
Alle Raben zusammen haben 6 Füße mehr als alle Katzen zusammen. Wie viele
Tiere jeder Art gibt es?
I x + y + z
= 39 (Köpfe)
II x + 2y + 4z =
57 (Füße)
III
2y = 4z + 6
alle Katzenfüße und 6 mehr entspricht allen Rabenfüßen
L = {[27|9|3]}
Rekursion von
Funktionsgleichungen
Aufgabe: Von einer ganzrationalen Funktion
3.Grades sei bekannt: f(0) = -6; f(1) = 3; f'(0) = 4; f'(1) = 16
Bestimmen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion!
allgemeine Gleichung einer Funktion dritten
Grades: f(x) = ax3 + bx2 + cx +
d f'(x) = 3ax2
+ 2bx + c
aus f(0) = -6 wird
I
d =
-6
I 3a + 2b +
c =
16
I 3a + 2b = 12
aus f(1) = 3 wird
II a + b + c + d =
3
II a + b + c + d =
3 II
a + b = 5
aus f'(0) = 4 wird
III
c =
4
III
c =
4
a = 2
aus f'(1) = 16 wird IV 3a + 2b +
c = 16
IV
d = -6
b = 3
L = {[2|3|4|-6]}
also f(x) = 2x3
+ 3x2 + 4x - 6
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung einer
ganzrationalen Funktion dritten Grades, dessen Schaubild (Graph) die folgenden
Eigenschaften aufweist: E (-1|11) ist ein Extrempunkt und
W(-2|13) ist ein Wendepunkt.
allgemeine Fktgleichung dritten Grades: f(x) =
ax3 + bx2 + cx + d f'(x) = 3ax2
+ 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b
wegen f(-1) = 11
folgt:
I -a + b - c + d =
11 I d -
c + b - a = 11
I d - c + b - a = 11
wegen f(-2) = 13
folgt: II -8a + 4b -
2c + d = 13 II d -
2c + 4b - 8a = 13 II
c - 3b + 7a = -2
wegen f'(-1) = 0 (EP) folgt: III 3a
- 2b + c =
0
III c - 2b + 3a =
0
III
-b + 4a = -2
wegen f''(-2) = 0 (WP) folgt: IV -12a +
2b
= 0 IV
2b - 12a = 0
IV
-4a = -4
L = {[1|6|9|15]}
also f(x) = x3
+ 6x2 + 9x + 15
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3. Analysis –
Funktionslehre
Der Funktionsbegriff
Definition
1:
Eine Funktion f ist eine eindeutige
Abbildung (Zuordnung)
einer Menge X auf
eine
Menge Y.
Definition
2:
Eine Funktion f ist eine Menge geordneter
Zahlenpaare [x/y]
(x
X;
y
Y),
wobei jedem Argument x aus dem Definitionsbereich
X genau ein Funktionswert
y
aus dem Wertebereich Y zugeordnet
ist.
|
Beispiel |
|
| 215
L
208,
324 F
; V
112;
TH
N ; I
314 T
Schulräume
Schlüssel
|
Pfeildarstellung |
1
6-
4 ;
9
10 ; 2
3 ;-15 18; -8
5
-30
ganze Zahlen gerade Zahlen
|
| Jedem Schulraum wird genau ein
Schlüssel zugeordnet.
|
Wortformulierung |
Jeder ganzen Zahl wird ihr Doppeltes zugeordnet.
|
| f
= {[112/L];[208/I];...;[TH/T]} |
Mengenschreibweise |
f = {[-15/-30];[-4/-8];...;[9/18]} |
| R
112 208 215 314 324 TH
S
L I F
V N
T |
Wertetabelle
|
x
–15 –4
1 3 5
9
y -30
-8
2 6 10 18 |
|
Gleichung
|
y =
f(x) = 2 · x |
|
graphische
Darstellung |
 |
Definition:
Jedes Argument xN
, dem die
Funktion f den
Funktionswert 0 zuordnet,
nennt man
Nullstelle der Funktion f.
Graphisch handelt es sich dabei um die Abszisse (x-Koordinate) eines
Schnittpunktes zwischen Funktionsgraph und x-Achse
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Wiederholung: lineare Funktionen
Funktionen
f mit Gleichungen der Form: y
= m·x + n
nennt man lineare Funktionen.
Anstieg 
Absolutglied
Die graphische Darstellungen von linearen Funktionen sind
Geraden.
| Eigenschaften |
f(x) =
m·x + n |
f(x) =
1,5·x |
f(x) =
-0,5·x + 2 |
| Graphische Darstellung |
|
Gerade durch I. und III.Quadranten |
Gerade durch die Quadranten I,II und IV |
| Definitionsbereich |
DB = R |
|
|
| Wertebereich |
für m
≠
0: WB = R
für m = 0: WB = ( n )
|
WB = R |
WB = R |
| Symmetrie |
zentralsymmetrisch zu bel.Geradenpunkt |
zentralsymmetrisch zu bel.Geradenpkt |
zentralsymmetrisch zu bel. Geradenpkt |
| Monotonie |
für m > 0:
f monoton steigend
für m = 0: f
konstant
für m < 0:
f monoton fallend |
f im
gesamten Definitionsbereich monoton steigend |
f im
gesamten Definitionsbereich monoton fallend |
| Nullstellen |
xN =
|
xN = 0 |
xN = 4 |
| besondere Punkte |
P(0/n) Q
(
|0)
|
P(0/0) |
P(0/2)
Q(4/0) |
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Wiederholung:
quadratische Funktionen
Def.:
Funktionen f mit Gleichungen der Form
y =
f(x) = ax² + bx + c
(a,b,c
R, a≠0) nennt
man quadratische Funktionen.
Ihre graphische Darstellungen sind (nach oben bzw.
nach unten geöffnete) Parabeln
mit genau einem Scheitelpunkt (Tiefpunkt oder Hochpunkt).
Funktionsgleichung in allgemeiner
Form
Funktionsgleichung in
Normalform
f(x)
= ax² + bx + c
f(x) =
x² + px + q (Normalparabel)
S
S
(mit Schablone zeichnen)
B
f(x)
=
x²
+ 2x +
B
f(x)
=
x² + 6x + 7
S
S 
S(-2 |-½)
S(-3/-2)
Scheitelpunktsform
der allg.quadr.Fkt.
Scheitelpunktsform der Normalform
f(x)
= a·(x + d)² + e
f(x) =
(x + d)² + e
S(-d/e)
S(-d/e)
B
f(x)
=
x²
+ 2x +
B
f(x)
=
x² + 6x + 7
f(x) =
(x² + 4x + 3)
f(x) =
x² + 6x + 9 – 9 + 7
f(x) =
(x² + 4x + 4 – 4 + 3)
f(x) =
(x + 3)² - 2
f(x) =
((x + 2)² - 1)
S(-3|-2)
f(x) =
(x + 2)² -
S(-2|
-½
)
| x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
x |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
| y |
1,5 |
0 |
-0,5 |
0 |
1,5 |
4 |
7,5 |
|
y |
2 |
-1 |
-2 |
-1 |
2 |
7 |
14 |
graphische Darstellung von f
graphische Darstellung von f
graphische Darstellung von g(x) = x² + 4x + 3
Nullstellenberechnung:
Nullstellenberechnung von f und g:
0 = x²
+ 4x +
3
0 = x²
+ 6x + 7
xN1/2 = -2 ± 1
xN1/2 = -3 ±
xN1 = -3
xN2 = -1
xN1 = -4,414 xN2 = -1,586
Ergebnis: f und g
haben zwar dieselben Nullstellen,
sehen ansonsten aber höchst unterschied-
lich aus.
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Wiederholung: Lösungsverfahren
für quadratische Gleichungen
Jede
quadratische Gleichung kann man mit der Lösungsformel für quadratische
Gleichungen lösen. Steht vor x2 dabei ein von 1 verschiedener
Koeffizient, so sollte diese Gleichung durch Division mit diesem Koeffizienten
in die Normalform gebracht werden (obwohl es im Tafelwerk auch eine
Lösungsformel für quadratische Glei- chungen in allgemeiner Form gibt; deren
Anwendung führt bei ungeübten Schülern jedoch häufig zu fehlerhaf- ten
Rechnungen). Nicht immer aber ist dies der rationellste Weg zur Lösung der
quadratischen Gleichung. Das optimale Lösungsverfahren für quadratische
Gleichungen hängt stark von der Form der quadratischen Glei- chung ab.
|
allgemeine Form |
Normalform |
ohne Absolutglied |
ohne lineares Glied |
| 0,25·x2 + 0,5·x - 0,75 = 0/·4 erst in
Normalform bringen
x2 + 2x - 3 = 0
x1/2 = -1 ± √(1+3)
x1/2 = -1 ± √4
x1/2 = -1 ± 2
x1
= -3 x2 = 1 |
x2 - 5x + 6 = 0 mit Hilfe der Lösungsformel
lösen
x1/2 = -p/2 ± √[(p/2)2-q]
x1/2 = 2,5 ± √(6,25-6)
x1/2 = 2,5 ± √0,25
x1/2 = 2,5 ± 0,5
x1
= 2 x2 = 3 |
2x2 - 18 = 0/+18 nach x2 um- stellen,
dann Wurzel ziehen
2x2 = 18 /:2
x2 = 9 /√(
)
|
x | = 3
x1
= -3 x2 = 3
|
4x2 - 10x = 0 durch Ausklam- mern
Linearfaktor abspalten
2x · (2x - 5) = 0
x1 = 0 2x - 5 = 0
/+5
2x = 5 /:2
x2 = 2,5
|
| die Lösungen können bzgl. der Normalform mit
dem Satz von Vieta auf Richtigkeit überprüft werden
x1 · x2 = q x1
+ x2 = -p |
|
|
Kennt man die
Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form, so kann man
diese in Linear- faktoren zerlegen. Dies ermöglicht das Aufstellen von
Funktionstermen unter Kenntnis ihrer Nullstellen und ihrer Form; es ist aber
auch beim Lösen von quadratischen Ungleichungen von Vorteil.
| Stellen Sie den gegebenen
Funktionsterm als Produkt von Linearfaktoren dar! |
| f(x) = x2 + 5x + 6
0 = x2 + 5x + 6
x1/2 = -2,5 ± √(6,25-6)
x1
= -2 x2 = -3
f(x)
= (x + 2) ·(x + 3) |
f(x) = 3·x2 - 4,5x
0 = 3·x2 - 4,5x
0 = 1,5x·(2x - 3)
x1
= 0 x2 = 3/2
f(x)
= 1,5x · (2x - 3) |
f(x) = 0,25·x2 - 0,25x - 1,5
0 = 0,25·x2 - 0,25x - 1,5 /·4
0 = x2 - x - 6
x1/2 = 0,5 ± √(0,25+6)
x1
= -2 x2 = 3
f(x)
= 0,25 · (x + 2) · (x - 3) |
| geg.: quadratische Normalparabel mit xN1=-1 und xN2
= 3
ges.: Gleichung, Scheitelpunkt und Graph der Funktion |
geg.: quadratische Parabel mit Streckensfaktor -0,5 und den
Nullstellen xN1=0 und xN2 = 5
ges.: Gleichung , Scheitelpunkt und Graph der Funktion |
| f(x) = (x+1) · (x-3) = x2 - 2x -
3 S(1|-4)
 |
f(x) = -0,5 · (x-0) · (x-5) = -0,5x2 +
2,5x S(2,5|3,125)
 |
| Lösen Sie die quadratische
Ungleichungen im Bereich der reellen Zahlen! |
| x2 + 7x + 10 > 0
Lösen zunächst die Gleichung: x2
+ 7x + 10 = 0
x1=-2 und x2=-5
(x + 2) · (x + 5) > 0 ein Produkt ist positiv, wenn beide
Faktoren das gleiche Vorzeichen haben
x+2<0 und x+5<0 x+2>0
und x+5>0
x <-2 und
x<-5
x>-2 und x>-5
L1 = {x<-5}
und L2 = {x>-2}
L = {x<-5 und x>-2}
 |
3x2 - 18x - 21 < 0
Lösen zunächst die Gleichung: 3x2 - 18x - 21 = 0 /:3
x2 - 6x - 7 = 0
x1=-1 und x2=7
3·(x + 1) · (x - 7) < 0 ein Produkt ist negativ, wenn
die beiden Faktoren verschiedene Vorzeichen haben
x+1<0 und
x-7>0 x+1>0 und x-7<0
x<-1 und
x>7
x>-1 und x<7
L1 = Ø
und L2 = {-1 < x < 7}
L = {-1 < x < 7}
 |
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Wiederholung: Lagebeziehung
zwischen Parabeln und Geraden
| Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen der
Parabel -0,5·x2 + 2x + 1 und der Gerade y = -x +
3,5 |
| unter der Annahme beide Graphen besitzen gemeinsame
Schnittpunkte gilt:
f(x) = g(x)
-0,5·x2 + 2x + 1 = -x + 3,5
0 = -0,5·x2 + 3x - 2,5 /·(-2)
0 = x2 - 6x + 5
xS1=1 und xS2=5 f(1)
= -0,5·12 + 2·1 + 1 =
2,5 f(5) = -0,5·52 +
2·5 + 1 = -1,5
g(1) = -1 +
3,5 =
2,5
g(5) = -5 +
3,5 = -1,5
S1(1|2,5)
S2(5|-1,5) |
 |
Die Gerade g ist
also für die Parabel f eine Sekante, denn sie
schneidet den Graph von f in zwei Punkten. Geraden können aber auch Parabeln in
einem Punkt berühren (Tangente) bzw. keine
gemeinsamen Punkte mit ihnen haben (Passante).
| Gibt es eine zu g parallele Gerade, die
Tangente an den Graph von f ist; diese also nur in einem Punkt berührt? |
| unter der Annahme beide Graphen besitzen gemeinsame
Schnittpunkte gilt:
f(x) = g(x)
-0,5·x2 + 2x + 1 = -x + n
0 = -0,5·x2 + 3x + 1 - n /·(-2)
0 = x2 - 6x + n - 2
x1/2 = 3 ± √(9-(n-2)
= 3 ± √(11-n)
die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn
die Diskriminante D = 0 11 - n =
0 n = 5,5 Gleichung
der Tangente t also: y = -x + 5,5
f(3) = -0,5·32 +
2·3 + 1 =
2,5
g(3) = -3 + 5,5
= 2,5
Berührungspunkt zwischen Parabel und Tangente Po(3|2,5) |
 |
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Anwendungsaufgaben
zu quadratischen Funktionen
Will man Sachaufgaben mit
Hilfe quadratischer Funktionen lösen, muss man oft erstmal die Gleichung der
benötigten quadratischen Funktionen herausfinden. Dabei muss klar sein, ob es
sich um eine Normalparabel handelt oder nicht, denn davon hängt ab, wie viele
Punkte des Graphen man zur rechnerischen Bestimmung der Funktionsgleichung
benötigt. Prinzipiell ist bei solchen Aufgaben immer ein
Gleichungssystem zu lösen:
| quadratische Parabel schneidet die Koordinatenachsen in P1(0|2)
und P2(4|0) und verläuft durch P3(2|2) |
Normalparabel verläuft durch die Punkte P1(-1|2)
und P2(2|-1) |
| in allgemeine Gleichung y = f(x) = ax2 + bx +
c Koordi- naten der gegebenen Punkte einsetzen:
I 2
=
+ c
I 4·a + 2·b + c = 2 /·(-4)
II 0 = 16·a + 4·b +
c II
16·a + 4·b + c = 0
III 2 = 4·a + 2·b + c
III
+ c = 2
I 4·a + 2·b + c =
2 a = -¼
II - 4·b -
3c = -8 b = ½
III
+ c = 2 c =
2 f(x) = -¼x2
+ ½x + 2 |
in Normalform der quadr.Gleichung: f(x) = x2 +
px + q Koordinaten der gegebenen Punkte einsetzen:
I 2 = 1 - p +
q
I -p + q = 1 /·2
II -1 = 4 + 2p + q
II 2p + q = -5
I -p + q =
1 p = -2
II 3q =
-3 q = -1
f(x) = x2 - 2x - 1 |
Bei Extremwertaufgaben kommt
es darauf an, die extremal werdende Größe mit einer geeigneten (quadra-
tischen) Funktionsgleichung zu beschreiben, dessen Scheitelpunkt dann
Auskunft über den Extremwert und die Bedingungen seines Eintretens liefert.
| Mit 40 m Maschendrahtzaun soll ein an eine Hauswand
angrenzender rechteckiger Hundeauslauf so eingezäunt werden, dass er
einen maximalen Flächeninhalt besitzt. Wie lang sind in diesem Falle die
Seiten des Rechtecks?
A = a·b und aus u = a + 2b = 40 ergibt sich a = 40 - 2b
eingesetzt in die Ausgangsgl. A = (40-2b)·b = -2b2 + 40b
also mathematisch die Funktionsgleichung f(x) = -2x2+40x deren
Scheitelpunkt bei S(10|200)
liegt also x= b
= 10(m) und y= A = 200(m2)
und durch Einsetzen von b=10 in umgestellte Umfangsgleichung a
= 40-2·10 = 20(m) |
|
Eine weitere
typische Anwendung von quadratischen Funktionen sind Parabolspiegel bzw. -antennen.
Bei ihnen kommt es vor allem auf die Koordinaten des Brennpunktes einer Parabel
an. In ihm schneiden sich alle Strahlen, die parallel zur Rotationsachse eines
Parabolspiegels einfallen.
| Der Querschnitt eines
Parabolspiegels kann mit der Funktionsgleichung y
= f(x) = a·x2 beschrieben werden. Zur Herleitung der
Brennpunktkoordi- naten benutzen wir den achsenparallel einfallenden
Strahl, der rechtwinklig zum Brennpunkt reflektiert wird. Nach dem
Reflektionsgesetz folgt dann für den Anstiegswinkel der Tangente
im Berührungspunkt B α
=
45° also hat die Gleichung: a·x2 = x +
n nur genau eine Lösung und somit folgt:
und für die Abszisse des Berührungspunktes
da
es nur eine Lösung geben kann, folgt xB=1/2a und da yB=f(xB)=
a·(1/2a)2 und weil Berührungspunkt B und Brennpunkt F die
gleiche Höhe haben, folgt
|
 |
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Wiederholung: Potenzfunktionen
Kurzvortrag:
Potenzfunktionen
-
Definieren
Sie die Begriffe „Funktion“, „Potenzfunktion“ und „Nullstellen
einer Funktion“!
-
Sprechen
Sie über die Eigenschaften der Funktionen
y = f(x) = xn (n
Z)! Nehmen Sie dazu eine geeignete Fallunterscheidung vor!
-
Führen
Sie für die Funktionen mit der Gleichung
f(x) = a.xn + c eine Parameterdiskussion bezüglich
der Parameter a und c durch!
-
Skizzieren
Sie den Graph der Funktion f(x)
= 0,5.x-2 – 2 in ein geeignetes Koordinatensystem
und berechnen Sie dazu vorher die Nullstellen der Funktion!
Def.:
Funktionen f mit Gleichungen der Form
y =
f(x) = a·xn
+ c
(a ≠ 0; a,c
R, n
Z)
nennt
man Potenzfunktionen.
Man unterscheidet die
Potenzfunktionen in : · Potenzfunktionen mit positiven oder negativen
Exponenten
· Potenzfunktionen mit geraden oder ungeraden Exponenten
Ihre graphische Darstellungen sind
Parabeln (bei
positiven Exponenten) bzw. Hyperbeln (bei
negativen
Exponenten)
Systematisierung:
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
| Eigenschaft |
n
ungerade |
n
gerade |
| Beispiel
|
f(x) = x3
f(x) = x5 |
f(x) = x2
f(x) = x4 |
| Definitionsbereich |
DB =
{ x
R}
oder DB = R |
DB ={
x
R}
oder DB = R |
| Wertebereich
|
WB
= { y
R }
oder
WB = R |
WB = { y > 0 } oder WB = R+ |
| Nullstellen
|
xN = 0 |
xN = 0 |
| Monotonie |
im
gesamten DB gilt:
f(x) monoton steigend |
für -  < x < 0 gilt: f(x) monoton
fallend
für 0
< x <
gilt:
f(x) monoton steigend |
| Symmetrie |
zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung |
axialsymmetrisch zur y-Achse |
| Graph
verläuft durch die Quadranten |
I und III |
I und II |
| besondere
Punkte |
P1( -1|-1) , O(0|0) und P2(1|1) |
P1( -1|1) , O(0|0) und P2(1|1) |
| graphische
Darstellung |
|
|
Systematisierung:
Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
| Eigenschaft |
n
ungerade |
n
gerade |
| Beispiel
|
f(x) = x-3
f(x) = x-1 |
f(x) = x-2
f(x) = x-4 |
| Definitionsbereich |
DB =
{x
R; x
≠
0}
oder DB = R\{ 0
} |
DB ={
x
R; x
≠
0}
oder DB = R\{ 0 } |
| Wertebereich
|
WB
= { y
R; y
≠
0}
oder
WB = R\{ 0 } |
WB = { y > 0 } |
| Nullstellen
|
keine |
keine |
| Monotonie |
im
gesamten DB gilt:
f(x) monoton fallend |
für -
< x < 0 gilt: f(x) monoton steigend
für 0
< x <
gilt:
f(x) monoton fallend |
| Symmetrie |
zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung |
axialsymmetrisch zur y-Achse |
| Graph
verläuft durch die Quadranten |
I und III |
I und II |
| besondere
Punkte |
P1( -1|-1) und P2(1|1) |
P1( -1|1) und P2(1|1) |
| graphische
Darstellung |
 |
|
Parameterdiskussion
für Funktionen f mit Gleichungen der Form
y =
f(x) = a·xn
+ c
(a ≠ 0; a,c
R, n
Z)
| Parameter a |
Parameter c |
|
· der Parameter a staucht
(0<|a|<1) bzw. streckt (|a|>1) den
Graphen der Funktion f entlang der y-Achse
· bei negativem Wert des Parameters a wird
der Graph der Funktion f zusätzlich noch an der x-Achse gespiegelt |
· der Parameter c verschiebt den Graphen der
Funktion f entlang der y-Achse nach oben (bei positivem Wert) bzw. nach
unten (bei negativem Wert) |
|
f1(x) = x3
f2(x) = 1.5·x3 f3(x)
= ⅓·x3
f4(x) = -½·x3
|
f1(x)
= -x4 f2(x)
= -x4-2
f3(x) = -x4 +1
f4(x) = -x4+4
|
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Jahrgangsstufe:
11
Semester: II
Ganzrationale Funktionen
Definition:
Funktionen f mit Gleichungen der Form: f(x) = an·xn
+ an-1·xn-1 + an-2·xn-2 + ... + a2·x2
+ a1·x + a0 (mit an ≠
0; an, an-1,an-2,..., a2,
a1, a0 R;
n
N) werden
als ganzrationale Funktionen bezeichnet. Ihre
Graphen nennt man Parabeln n-ten Grades; die Zahlen
an,
an-1,an-2,..., a2,
a1, a0 werden als Koeffizienten
bezeichnet.
Bsp.:
f(x) = 4x5 - 2x4 + 0,5x3 + 8x2 - 3x
+
1
g(x) = -0.25x6 + 3x4 - x2 - 1,5
Aufgabe:
gegeben sei die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = 1/2·x3 +
13/6·x2 - 8/3
Fertigen Sie für die Funktion f eine Wertetabelle (Schrittweite in x jeweils
eine halbe Einheit) an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion f im
Intervall -4,5
x
1,5 auf Millimeterpapier!
| x |
-4,5 |
-4 |
-3,5 |
-3 |
-2,5 |
-2 |
-1,5 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
| y |
-4,4 |
0 |
2,4 |
3,3 |
3,1 |
2 |
0,5 |
-1 |
-2,2 |
-2,7 |
-2,1 |
0 |
3,9 |
Trotz
feingliedriger Wertetabelle lassen sich folgende Eigenschaften der
ganzrationalen Funktion nicht exakt ermitteln:
|
genaue
Lage der mittleren Nullstelle |
|
genaue
Lage des Hochpunktes |
|
genaue
Lage des Punktes, zu dem der Funktionsgraph zentralsymmetrisch ist |
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Elementare Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
a)
Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Wiederholung:
Lösen quadratischer Gleichungen
|
reinquadr. Gleichungen
0 = a·x2 + c
5·x2 - 80 = 0 /+80
5·x2 = 80 /:5
x2 = 16 / √
|x|
=
4
x1
= -4 x2 = 4
L = { -4; 4 } |
quad.Gl. ohne Absolutglied
0 = a·x2 + b·x
0 = 4·x2
- 6·x
0 = 2x·(2x
- 3) Ein Produkt wird Null, wenn einer
der Faktoren Null wird 2·x =
0 (2x - 3) = 0
x1
=
0
x2 = 1,5
L = { 0; 1,5 } |
Normalform quadr.Gl.
0 = x2 + p·x + q
0 = x2
+ x - 6 x1/2
= -
 x1/2
= -
x1 = -3 x2 = 2
Vieta:
x1·x2 = q
= -6
x1+x2
= -p
= -1
L
= { -3; 2 } |
allgemeine Form quadr.Gl.
0 = a·x2 + b·x + c
5·x2
+ 10·x - 75 = 0 /:5
x2
+ 2·x - 15 = 0
x1/2
= -1 ±
x1 = -5 x2 = 3
x1·x2
= -15
x1+x2
= -2
L = { -5; 3 }
|
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Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Lösen kubischer Gleichungen
| reinkubische Gleichungen |
kubische Gleichungen ohne Absolutglied |
| ax3 + d = 0 |
ax3 + cx = 0 |
ax3 + bx2 = 0 |
ax3 + bx2 + cx = 0 |
|
0,125x3 - 1 = 0 /·8
x3 - 8
= 0 /+8
x3
= 8 /√
x
= 2
L
= {2}
|
2x3 - 8x = 0
2x·(x2 - 4) = 0
x1=0 x2
- 4 = 0 /+4
x2 = 4 /√
|x| = 2
x2 = -2 x3 = 2
L = {-2;0;2}
|
x3 - 3x2 =
0
x2·(x - 3) = 0
x1/2 = 0 x - 3 =
0 /+3
x = 3
L = {0;3}
|
9x3 - 9x2 - 4x = 0
x·(9x2 - 9x - 4) = 0
x1 = 0 9x2
- 9x -4 = 0 /:9
x2 - x - 4/9 = 0
x2/3 = ½
± √(¼ + 4/9)
x2/3 = ½
± √25/36
x2/3 = ½
± 5/6
x2
= 4/3 x3 = -⅓
L
= { -⅓;0;4/3}
|
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Lösen von kubischen
Gleichungen mit Absolutglied mittels Polynomdivision
Vorbereitung: 1116
: 9 = 124 4336 : 16
= 271 Verfahren
der schriftliche Division wiederholen
0
= x3 - 6x2 + 11x -
6 eine Lösung durch Probieren
ermitteln: x1 = 1, denn 13
- 6·12 + 11·1 - 6 = 0
0
= (x - 1) ·( ?
) dadurch kann von kubischem Term ein Linearfaktor abgespalten
werden
Frage: Wie lautet der zweite (quadratische) Restterm der Gleichung?
dafür Verfahren der Polynomdivision nutzbar, denn wenn (x - 1) · (
? ) = x3 - 6x2 + 11x - 6,
dann (x3 - 6x2 + 11x - 6) : (x - 1) =
( ? )
also rechnen wir: (x3 - 6x2 + 11x - 6) : (x -
1) = x2 - 5x + 6
-(x3 - x2)
-5x2 + 11x
-(-5x2 +
5x)
6x - 6
-(6x - 6)
Rest: 0
0 = (x - 1) · (x2
- 5x + 6) nun kann der zweite Faktor Null gesetzt und
nach den Regeln für
quadratische Gleichungen gelöst werden
x1
= 1 x2
- 5x + 6 = 0
x2/3 = 2,5 ±√(6,25
- 6) = 2,5 ±√0,25
= 2,5 ±
0,5
x2 = 2 x3
=
3
L = {1; 2; 3}
Probe:
(x - 1) ·(x - 2) · (x - 3) = x3
- 6x2 + 11x - 6
0 = 25x3
+ 15x2 - 9x + 1 durch Probieren: x1
= -1 (ganzzahlige Teiler vom Absolutglied probieren)
0 = (x-(-1))
· ( ?
) durch
Polynomdivision: (25x3 + 15x2 - 9x + 1) : (x + 1) = 25x2
- 10x + 1
0 = (x + 1) ·
(25x2 - 10x + 1)
x1 = -1 25x2 - 10x + 1 = 0
x2/3 = 5 ±
0
L
= {-1; 5}
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Lösen
biquadratischer Gleichungen
Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der
Funktion f mit der Gleichung f(x) = x4 -13x2
+ 36 !
0 = x4 -13x2 +
36 Substituieren
(Ersetzen): x2 = z
(Zurückführen auf Lösung quadratischer
Gleichung)
0 = z2 - 13z + 36
z1/2 = 6,5 ±√(42,25
- 36) = 6,5 ±√6,25 = 6,5 ± 2,5
z1 = 4 Zurücksubstituieren
x2 = 4 |x| =
2 xN1
= -2 xN2 = 2
z2 = 9 Zurücksubstituieren
x2 = 9 |x| =
3 xN3
= -3 xN4 = 3
L = {-3;-2;2;3}
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Frage: Wie entscheidet man
sich für das richtige Lösungsverfahren bei der Nullstellenbestimmung?
| 9x4
- 9x3 -4x2 =
0
x4 - 10x2 + 9 =
0
24x3 + 3 =
0
4x3 - 13x + 6 =0
Hat die nach dem Nullsetzen der Funktionsgleichung entstandene
Gleichung ein Absolutglied? |
|
ja
x4 - 10x2
+ 9 =
0
24x3 + 3 =
0
4x3 - 13x + 6 =0
Hat die Gleichung nur einen einzigen Variablenterm? |
nein
9x4 - 9x3
-4x2 = 0
kleinste auftretende Potenz der Variablen
ausklammern
x2·(9x2
- 9x - 4) = 0
x1/2 =
0 9x2 - 9x - 4 = 0 /:9
x2 - x - 4/9 = 0
x3 = -1/3 x4
= 4/3
|
| ja
24x3 + 3 = 0
Gleichung nach der Variablen umstellen
x3 = - 1/8
x1 = -1/2
|
nein
x4 - 10x2 + 9 =
0
4x3 - 13x + 6 =0
Sind die auftretenden Potenzen der Variablen so symmetrisch
angeordnet, dass eine Substitution sinnvoll erscheint? |
| ja
x4 - 10x2 + 9 = 0
kleinste auftretende Potenz der Variablen substituieren
z2 - 10z + 9 = 0
z1 =
9 z2 =
1
x1=-3 x2=-1
x3=1 x4=3 |
nein
4x3 - 13x + 6 =0
mittels Polynomdivision in
Linear- und Restterm zerlegen
(x + 2)·(4x2 - 8x + 3) = 0
x1 =
-2 x2 - 2x + 3/4 = 0
x2 = 0,5 x3 = 1,5 |
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Schnittstellen
ganzrationaler Funktionen
f(-1)
= 1 g(-1)
= 1
f(0)
= 0 g(0)
= 0
f(1,8)
= -1,8 g(1,8) = -1,8 |
Das Besondere an Schnittstellen von Funktionsgraphen ist,
dass an diesen Stellen beide Funktionen den gleichen Funktionswert
besitzen:
deshalb:
f(x) = g(x)
-x = -1,25x3
+ x2 + 1,25x
0 = -1,25x3 + x2 + 2,25x
0 = -1,25x·(x2 - 0,8x - 1,8)
xS1 =
0
x2 - 0,8x - 1,8 = 0
S1(0|0)
xS2 = -1
xS3 = 1,8
S2(-1|-1) S3(1,8|1,8) |
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Symmetrie ganzrationaler Funktionen
Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen können
zentralsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt oder axialsymmetrisch zu einer
Parallelen zur y-Achse verlaufen.
|
Axialsymmetrie (zur y-Achse) |
Zentralsymmetrie (zum
Koordinatenursprung) |
 |
 |
|
Bei der Axialssymmetrie kann der Graph an der
Symmetrieachse
gespiegelt werden und ist dann deckungsgleich zum Originalgraphen.
es gilt für alle x aus dem
DB: f(-x)
= f(x) |
Bei der Zentralsymmetrie kann der Graph um das
Symmetriezentrum um 180° gedreht werden und ist dann deckungsgleich zum
Originalgraphen.
es gilt für alle x aus dem
DB: f(-x)
= -f(x) |
| f(x) = 0,5x4 - 2x2 -
2
f(-x) = 0,5(-x)4 - 2(-x)2 - 2
f(-x) = 0,5x4 - 2x2 - 2 = f(x)
Graph von f ist axialsymmetrisch zur y-Achse |
f(x) = 0,5x3 - 3x
f(-x) = 0,5(-x)3 - 3(-x)
f(-x) = -0,5x3 + 3x
f(-x) = - (0,5x3 - 3x) = - f(x)
f ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung |
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Potenzen und
Logarithmen
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Eigenschaften
der Exponentialfunktionen
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Exponentielles
Wachstum und exponentieller Abfall
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Logarithmusfunktionen
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Jahrgangsstufe:
12
Semester: I
Zahlenfolgen
Aufgabe: Ergänzen Sie folgende Zahlenreihe um
drei weitere Glieder und geben Sie den Grundgedanken zur Berechnung an!
2 5
10 17 26
37
50
n2 + 1
0 3/2
8/3 15/4 24/5
36/6
48/7
(n2-1)/n
1/6 1/6
3/20 2/15 5/42
6/56
7/72
n/(n+1)(n+2)
Eine reelle
Zahlenfolge ist eine Aneinanderreichung von reellen Zahlen, die nach
einem charakteristischen Merkmal berechnet und in einer festen Anordnung
aufgeschrieben werden. Dabei handelt es sich um eine spezielle Art von
Funktionen, bei denen der Definitionsbereich auf den Bereich der natürlichen
Zahlen eingeschränkt wird.
| Funktion |
|
Zahlenfolge |
| x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| y |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
Wertetabelle
Folgenschreibweise |
(an) = ( 2;
4; 6; 8;
10; ... ) |
| f(0) = 0;
f(1) = 2; f(2)
= 4; ... |
Argument
Indexzahl
Funktionswert
Folgenglied |
a1
= 2; a2
= 4; a3
= 6; a4
= 8; ... |
|
f(x) = 2·x |
Gleichung expliz. Bildungsvorschrift |
(an) =
(2·n) |
| jeder Zahl wird ihr Doppeltes zuge- ordnet |
Wortformulierung |
Folge der geraden nat. Zahlen |
|
 |
graphische Darstellung |
an
 n |
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Grenzwerte von
Zahlenfolgen
Bsp.: (an) = ((2n-1)/n) = (2 - 1/n) = (1;
3/2; 5/3; 7/4; 9/5; ...199/100; ...1999/1000; ...19999/10000; ...)
= ( 1; 1,5; 1,67; 1,75; 1,8; ... 1,99; .......1,999: ............1,9999; ...)
Definition:
| Eine reelle Zahl g
heißt Grenzwert einer Zahlenfolge (an)
:= |
Für jede beliebige positive reelle Zahl ε
(ε>0) |
| für fast alle = für unendlich viele ja, nur
für endlich viele nein
ε-Umgebung
- offenes Intervall g - ε < an < g
+ ε |
liegen fast alle Folgenglieder der Folge (an)
in der ε-Umgebung
der Zahl g. |
| Eine reelle Zahl g
heißt Grenzwert einer Zahlenfolge (an)
:= |
bei
ε>0, beliebig (aber fest) gilt für fast alle natürlichen
Zahlen n:
|an - g| < ε
Schreibweise:
Man
sagt: (an) ist konvergent
|
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Grenzwertsätze
für Zahlenfolgen
Der Nachweis eines Folgengrenzwertes mit Hilfe der
Grenzwertdefinition ist aufwendig; außerdem muss man den Grenzwert einer
Zahlenfolge durch Probeberechnungen von Folgengliedern hoher Stellenzahl erst
einmal vermuten, was durchaus auch zu Fehlvermutungen führen kann. Besser wäre
es zweifelsohne, man könnte den Grenzwert einer Folge berechnen. Unter der
Voraussetzung, dass man schon einige Folgengrenzwerte kennt, ist dies mit Hilfe
der Grenzwertsätze für Folgen möglich.
Es seien (an) und (bn) zwei konvergente
Zahlenfolgen mit
und
.
Dann
ist auch jede Zahlenfolge (cn) mit (cn) = ((an) +
(bn))
konvergent und es gilt: gc = ga
+ gb. Ähnliches gilt auch für die anderen drei
Grundrechenarten.
Vor
allem wenn es gelingt, eine Folge in Nullfolgen und konstante Folgen zu
zerlegen, ist eine Berechnung des Folgengrenzwertes mit Hilfe der
Grenzwertsätze leicht möglich.
Bsp.:
Bei
komplizierteren Folgen erfolgt die Zerlegung in konstante Folgen und Nullfolgen
durch Ausklammern der größten Potenz von n in Zähler und Nenner.
Bsp.:
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Grenzwerte
von Funktionen
Bei den Grenzwerten von Funktionen muss man zwei Arten unterscheiden: den Grenzwert
einer Funktion im Unendlichen und den Grenzwert einer Funktion an einer
Stelle xo. Bei der Definition führt man diese Grenzwerte auf
Grenzwerte von Folgen zurück; diese Definitionen sind für
Grenzwertberechnungen allerdings recht unhandlich, so dass man auch hier lieber
auf die Anwendung von sogenannten Grenzwertsätzen zurückgreift.
| Grenzwert einer Funktion im Unendlichen |
Grenzwert einer Funktion an der Stelle xo |
Eine Funktion f hat für x → ∞
den Grenzwert G, wenn gilt:
| f
ist für alle x
a (a
 R)
definiert |
| für
jede divergente Folge (xn) konvergiert die zugehörige
Funktionswertefolge (f(xn)) gegen G |
| Schreibweise:
|
|
Eine Funktion f hat für x → xo
den Grenzwert G, wenn gilt:
| f
ist in jeder ε-Umgebung von xo definiert (ε >
0) |
| für
jede gegen xo konvergierende Folge (xn) konver-
giert die zugehörige Funktionswertefolge (f(xn)) gegen G |
| Schreibweise:
|
|
Bsp.:
|
Bsp.: f(x) = 2x + 3
 |
durch Probieren:
| x |
10
100 1000
10000 100000 ...
∞ |
| f(x) |
2,1 2,01
2,001 2,00001
2,00001 ... 2 |
|
durch Probieren:
| x |
1
1,5 1,9 1,99 2
2,01 2,1 2,5 3 |
| f(x) |
5
6 6,8
6,98 7
7,02 7,2
8 9 |
|
mittels Testfolge: (xn)= (10n)
mit
zugeh.Fktswertefolge:
Grenzwertbildung:
Ergebnis:
Grenzwert von f im Unendlichen
dieser
Grenzwert wurde jedoch mit einer einzelnen konkreten Testfolge be- stimmt;
die Definition verlangt aber einen Nachweis für jede beliebige Testfolge
|
mittels Testfolge: (xn)=(2+1/n)
mit
zugeh.Fktswertefolge:
Grenzwertbildung:
Ergebnis:
Grenzwert von f an Stelle xo=2
dieser
Grenzwert wurde jedoch mit einer einzelnen konkreten Testfolge be- stimmt;
die Definition verlangt aber einen Nachweis für jede beliebige Testfolge
|
mittels beliebiger divergenter Testfolge:
(xn) mit
zugeh.Fktswertefolge:
Grenzwertbildung:
wenn
(xn) divergent ist, so konvergiert (1/xn) gegen Null
Ergebnis:
Grenzwert von f im Unendlichen
|
mittels beliebiger, gegen xo konvergierender Testfolge:
(xn) = (2+hn) mit
(sogenannte
h-Methode)
zugeh.Fktswertefolge:
(f(xn) = (2·(2+hn)+3) = (7+2hn)
Grenzwertbildung:
Ergebnis:
Grenzwert von f an Stelle xo=2
|
| Leichter lässt sich der Nachweis für den Grenzwert aber
mit den auch für Funktionen geltenden Grenzwertsätzen führen, was eine
Termumformung notwendig macht:
Dieser
Grenzwert gibt Auskunft darüber, dass der Graph der Funktion f am rechten
Rand des Koordinatensystems sich beliebig dicht der waagerechten Gerade
mit der Gleichung y = 2 nähert, ohne sie je zu erreichen. So ein
Verhalten nennt man: der Graph hat die waagerechte
Asymptote y = 2
|
Auch für den Grenzwert von Funktionen an einer Stelle xo
gelten Grenzwertsätze, deren Anwendung eine Termum- formung dann
notwendig macht, wenn bei Einsetzen der Stelle xo in die
Funktionsgleichung der Nenner Null wird. Dies ist hier aber nicht der
Fall:
Dieser
Grenzwert ist allerdings relativ uninteressant, weil die Funktion f an der
Stelle 2 auch den Funktionswert f(2) =7 besitzt, und somit der Graph an
dieser Stelle keine Besonderheiten aufweist. So etwas nennt man: der Graph
ist an der Stelle 2 stetig.
|
Grenzwerte von Funktionen an einer Stelle xo sind
besonders dort von Interesse, wo die Funktion f nicht definiert ist. An solchen
Stellen kann folgendes auftreten:
weitere Beispiele:
|
 der Graph hat an der Stelle xo=3 eine Lücke |
|
 der Graph hat an der Stelle xo=0 eine Lücke |
|
 der Graph hat an der Stelle xo=2 eine Lücke
|
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Das
Tangentenproblem
Problem: Wie bestimmt man bei einem beliebigen
Funktionsgraphen den Anstieg der Kurve in einem Punkt Po?
Im Unterschied zu linearen Funktionen mit Gleichungen der Form y = m·x
+ n, deren Graphen (Geraden) in jedem Punkt den gleichen Anstieg m
haben, ändert sich der Kurvenanstieg bei den Graphen anderer Funktionstypen von
Punkt zu Punkt. Zur Lösung des sogenannten Tangentenproblems benötigt
man aber diesen Anstieg an einer Stelle xo, um die Gleichung der
Tangente im Punkt Po (Gerade, die in unmittelbarer Nähe von Po
nur einen gemeinsamen Berührungspunkt mit der Kurve hat) aufstellen zu können.
Außerdem ist diese Steigungszahl auch ein Kriterium für das lokale
Änderungsverhalten der Funktion und lässt somit bei vielen praktischen
Anwendungen aus den funktionalen Zusammenhängen der Vergangenheit Prognosen
für die zukünftige Entwicklung diese Sachverhaltes zu. Am Beispiel der
Funktion f(x) = x2 wollen wir zeigen, wie man mit dem
Grundgedanken der Infinitesimalrechnung dieses Problem lösen kann:
| wir wählen zunächst einen Punkt Po, in dem der Anstieg
des Funktionsgraphen von f ermittelt werden soll: Po(1|1) |
| da wir ohne Anstieg bei xo=1 noch keine
Tangentengleichung aufstellen können, wählen wir rechts von Po
noch einen zweiten Punkt Ph auf der Normalparabel (z.B. Ph(3|9);
so können wir wenigstens über die Zweipunktgleichung die Gleichung
einer Sekante durch beide Punkte aufstellen können: y-1=
·(x-1) y-1=4·(x-1) y = 4x - 3 |
|
|
| nun lassen wir den zweiten Punkt Ph immer näher an den Punkt
Po
heranrücken, so dass die Lage der Sekante immer besser mit der Lage
der gesuchten Tangente übereinstimmt |
| wählen also nun Ph(2|4), woraus sich für die zweite
Sekante ergibt: y-1=
·(x-1)
y-1=3·(x-1) y =
3x - 2 |
|
 |
| halbiert
man den waagerechten Abstand der Punkte Po und Ph
weiter, merkt man, dass die Sekantenanstiege mS eine
Zahlenfolge darstellen: |
| Ph(1,5|2,25)
y-1=
·(x-1) y-1=2,5·(x-1) y =
2,5x - 1,5 |
| Ph(1,25|1,5625)
y-1=
·(x-1) y-1=2,25·(x-1) y =
2,25x - 1,25 |
| die Folge der Sekantenanstiege würde sich wie folgt
weiterentwickeln:
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
usw |
| mS |
4 |
3 |
2,5 |
2,25 |
2,125 |
2,0625 |
2,03125 usw |
|
|
 |
| man
darf vermuten, dass diese Folge für n gegen ∞ den Grenzwert 2 besitzt; das würde
bedeuten: |
| mittels
Punktrichtungsgleichung lässt sich nun eine Tangentengleichung
aufstellen: y - 1 = 2 · (x - 1) y
= 2x - 1 ist Gleichung der Tangente |
| somit
wird klar: je kleiner der (waagerechte) Abstand zwischen Ph
und Po - also h - wird, umso näher kommt der
Sekantenanstieg ms dem Tangentenanstieg mt,
den die Tangente im Punkt Po an den Graph der Funktion f
hat; somit wird aus einer mittleren
Änderungsrate über ein Intervall die lokale
Änderungsrate der Funktion f an einer Stelle xo. |
|
 |
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Die erste
Ableitung einer Funktion an einer Stelle xo
Der Tangentenanstieg mt an den Graphen einer
Funktion f in einem Punkt Po ist identisch mit dem Anstieg des
Graphen selbst in Po. Damit stellt sich die Frage, wie man einen
solchen Anstieg bei beliebigem Funktionsgraphen und beliebiger Stelle xo ausrechnen
kann, ohne sich auf Vermutungen verlassen zu müssen. Hier kommt wieder der
zentrale Begriff der Infinitesimalrechnung - Grenzwert - ins Spiel. Die
Sekantenanstiege stellen eine Funktion in Abhängigkeit des waagerechten
Punktabstandes h (h>0) dar; der Grenzwert dieser Funktion ms(h)
für h gegen Unendlich ist der gesuchte Anstieg des Graphen in Po.
| geg.: f(x) = x2
xo =
1
Po(1|1)
xh = 1+1
= 2 Ph(2|4) |
geg.: f(x) = x2
xo = 1 Po(1|1)
xh = 1+h Ph(1+h|(1+h)2) |
geg.: f(x) = x2
xo = bel. Po(xo|xo2)
xh = xo+h Ph(xo+h|(xo+h)2) |
geg.: f(x) = bel.
xo = bel. Po(xo|f(xo))
xh = xo+h Ph(xo+h|f(xo+h)) |
- ms =
ms =
Sekantengleichung:
y-1
= 3·(x -1) y =
3x - 2 |
- ms(h) =
ms(h) =
ms(h) =
ms(h) =
2 + h |
- ms(xo;h) =
ms(xo;h) =
ms(xo;h)=
ms(xo;h) = 2·xo
+ h
|
1.ms(h) =
·diesen
Term nennt man auch Differenzenquotienten
D(h)
·er
beschreibt, wie sich mit kleiner werdendem waage- rechten Abstand h
zwischen Ph und Po der Sekantenan-
stieg ändert
|
 |
2. mt =
mt =
mt =
2
·Anstieg der Normalparabel im Punkt Po(1|1) ist gleich 2
·Anstieg der Tangente an die Normalparabel im Punkt Po(1|1)
ist gleich 2 ·Tangentengleichung:
y-1=2·(x-1) y = 2x -
1
|
2. mt(xo)=
mt(xo) = 
mt(xo)
= 2·xo
·Anstieg der Normalparabel ist an jeder beliebigen Stelle xo
doppelt so groß wie xo ·Anstieg der Normalparabel ist
selbst auch eine Funktion von xo |
2. mt(xo)
=
mt(xo) =
existiert
,
so nennt man diesen Grenzwert den Differentialquotienten der Funktion f
oder auch die erste Ableitung der Funktion f an der
Stelle xo
Symbol: mt(xo)= f '(xo)
|
Die zu einer gegebenen Funktion f(x) i.d.R. existierende
Funktion f '(x) ordnet jeder beliebigen Stelle x einen Tan- gentenanstieg mt
bzw. einen Kurvenanstieg m zu. Mit ihrer Hilfe kann man das Tangentenproblem
lösen, aber auch eine Vielzahl weiterführender Informationen über den
Funktionsgraphen in Erfahrung bringen, denn dieser Anstieg ist ein Maß für die
lokale Änderungsrate der Funktion f. Das dargestellte Verfahren zur Ermittlung
der Funktion f '(x) ist dabei allgemeingültig auf jede beliebige Funktion
anwendbar.
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Elementare
Ableitungsregeln
Bei der Untersuchung verschiedener Funktionen fielen einige
Gesetzmäßigkeiten zwischen den Ausgangsfunktionen f und ihren
Ableitungsfunktionen f ' auf, die man in folgenden Ableitungsregeln
zusammenfassen kann:
| Potenzregel:
f(x) = xn
f '(x) = n·xn-1
gilt nur für
Potenzfunktionen;
alter Exponent multipliziert mit Potenzfunktion mit um 1 vermindertem
neuen Exponenten |
| Konstantenregel: f(x)
= c (c
R) f '(x) =
0
Ableitung eines konstanten Summanden ist Null |
| Faktorregel:
f(x) = c · g(x) f
'(x) = c · g '(x) konstanter
Faktor bleibt unabgeleitet stehen |
| Summenregel:
h(x) = f(x) + g(x) h'(x) = f'(x) + g'(x) bei Summen
jeden Summanden einzeln ableiten |
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Rechenverfahren
Tangente (Normale)
Das oben beschriebene Tangentenproblem
lässt sich jetzt relativ einfach lösen:
gegeben: eine Funktion f
und eine Stelle xo, an der die Tangente an den
Graphen Gf gelegt werden soll
- berechnen Sie yo
= f(xo) als Funktionswert der gegebenen Funktion
f an der Stelle xo; daraus ergeben sich die
Berührungspunktkoordinaten zwischen Graph und
Tangente: Po(xo|f(xo))
- berechnen Sie den benötigten
Tangentenanstieg mt
= f '(xo) als Funktionswert der
Ableitungsfunktion f '(x) an der Stelle xo
- ermitteln Sie mittels
Punktrichtungsgleichung: y
- yo = mt ·(x - xo)
die Gleichung der gesuchten Tangente
Bsp.: gesucht sei
die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = 0,25x2
- 3x an der Stelle xo= 2
dazu muss man zuerst die Ableitungsfunktion f '(x) berechnen
(Ableitungsregeln): f '(x) = 0,25·2x - 3·1 = 0,5x - 3
- yo
= f(2) = 0,25·(2)2
- 3·2 = -5
Po(2|-5)
- mt = f '(2) =
0,5·2 - 3 = -2
-
y - (-5) =
-2 · (x - 2)
y + 5 = -2x + 4
y
= -2x - 1 ist die Gleichung der gesuchten Tangente |
 |
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Anwendungen
zur Steigung
LB.S.41 Nr.15
| f(x) = x2-2x+2
f '(x) = 2x-2
Po(2|2)
f '(2) = 2
Tangente: y - 2 = 2 · (x - 2)
y = 2x - 2 |
 |
g(x) = a(x - 4)2 +
b
g(x) = ax2-2ax+16a+b
g'(x) = 2ax-2
I g(2) = 2 weil Graph Gg
durch Po(2|2) II g'(2) = 2 weil
beide Graphen sich berühren
I 2 = 4a - 16a + 16a +
b
II 2 = 4a - 8a
I 2 = 4a +
b b
= 4
II 2 =
-4a a
= -½
g(x)
= -½x2
+ 4x - 4 |
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Produkt-,
Quotienten- und Kettenregel
Produktregel
|
Quotientenregel
|
Kettenregel
|
| Lässt sich eine Funktion f(x) als Produkt zweier Funktionen
u(x) und v(x)
darstellen, so bildet man die 1.Ableitung der Funktion f nach der Regel: |
Lässt sich eine Funktion f(x) als Quotient aus der
Zählerfunktion u(x) und der Nennerfunktion v(x) darstel- len, so bildet
man die 1.Ableitung der Funktion f nach der Regel: |
Lässt sich eine Funktion f(x) als Nacheinanderausführung
der inneren Funktionen
u(x) und der äußeren Funktion v(x)
darstellen, so bildet man die Ableitung der Funktion f nach der Regel: |
| f '(x)=[u(x)·v(x)]'=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) |
|
f '(x) = v'(u(x))
· u'(x)
also: |
|
oder kurz: [u·v]'
= u'·v + u·v' |
oder kurz:
|
äußere Ableitung ·
innere Ableitung |
| Beispiele: |
Beispiele: |
Beispiele: |
| f(x) = x2 · x3
= x5
f '(x) = 2x·x3+x2·3x2
= 2x4+3x4 = 5x4 |
=
x2 - x
 =2x-1
|
f(x) = (2x2-5)3
f '(x) = 3(2x2-5)2·4x
= 12x·(2x2-5)2 |
| f(x) = (2x-1)·√x
f
'(x) = 2·√x
+ (2x-1)·1/(2·√x)
f
'(x) = 2·√x·2√x/(2√x)+(2x-1)/(2√x)
f
'(x) = (6x-1)/(2√x) |
|
f(x) = √(3x2
- 4)
f
'(x) = 1/(2√(3x2
- 4)) · 6x
f
'(x) = 3x/√(3x2
- 4) |
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Zusammenhang
zwischen erster Ableitung und Monotonieverhalten der Funktion f
Mit dem Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt man die zukünftige
Entwicklung der Funktionswerte einer Funktion.
| Definition:
|
Eine Funktion f ist im Intervall I monoton
steigend, wenn
für alle x1,x2
I mit x2 >
x1 gilt: f(x2) >= f(x1)
Eine Funktion f ist im Intervall I streng monoton
steigend, wenn
für alle x1,x2
I mit x2 >
x1 gilt: f(x2) > f(x1)
Eine Funktion f ist im Intervall I monoton
fallend, wenn
für alle x1,x2
I mit x2 >
x1 gilt: f(x2) <= f(x1)
Eine Funktion f ist im Intervall I streng monoton
fallend, wenn
für alle x1,x2
I mit x2 >
x1 gilt: f(x2) < f(x1) |
 |
Diese Definition ist zwar sehr anschaulich, eignet sich aber nicht so
sehr zur Bestimmung der Monotonieintervalle einer Funktion f. Das man für das
Monotonieverhalten einer Funktion f ein leichter handhabbares Kriterium finden
kann, macht das folgende Beispiel deutlich:
| f(x) = ⅓·x3+½·x2-2x
für
-
∞ < x < -2
gilt: f(x) monoton steigend
für
-
2 < x < 1
gilt: f(x) monoton fallend
für
1
< x < ∞
gilt: f(x) monoton steigend |
 |
f '(x) = x2 + x -
2 S(-½|-2,25)
0 = x2
+ x - 2
x1/2 = -½ ± √(¼+2) = -½ ± 1,5
x1
= -2 x2 = 1
für
- ∞ < x < -2 gilt: f '(x) > 0
für
- 2 < x < 1 gilt: f '(x) < 0
für
1 < x < ∞ gilt: f '(x) > 0 |
Daraus wird deutlich:
| es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten der Funktion f
und dem Vorzeichen der ersten Ableitung f ' |
| eine Funktion f ist an der Stelle x monoton
steigend, wenn gilt:
f '(x) >= 0 |
| eine Funktion f ist an der Stelle x streng monoton
steigend, wenn gilt: f '(x) > 0 |
| eine Funktion f ist an der Stelle x monoton
fallend, wenn gilt:
f '(x) <= 0 |
| eine Funktion f ist an der Stelle x streng monoton
fallend, wenn gilt: f '(x) <
0 |
| die Funktion f ändert an den Stellen x ihre Monotonie, an denen die erste
Ableitung f ' ihr Vorzeichen ändert |
| dafür kommen nur die Stellen in Frage, an denen die erste Ableitung f '
Nullstellen besitzt |
Die Stellen, an denen die Funktion ihr Monotonieverhalten ändert, sind ganz
besondere Stellen - sogenannte Extremstellen. An diesen Stellen hat der
Funktionsgraph lokale Hoch- oder Tiefpunkte. Die Kenntnis solcher besonderen
Kurvenpunkte ist für die praktische Anwendung der Funktionslehre von enormer
Bedeutung.
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Zusammenhang
zwischen zweiter Ableitung und Krümmungsverhalten der Funktion f
| f(x) = 1/12·x4-
½·x2
- ½
für
-
∞ < x < -1
gilt: f(x) linksgekrümmt
für
-
1 < x < 1
gilt: f(x) rechtsgekrümmt
für
1
< x < ∞
gilt: f(x) linksgekrümmt |
 |
f ''(x) = x2 -
1 S(0|-1)
0 = x2 - 1
x2 = 1
x1
= -1 x2 = 1
für
- ∞ < x < -1 gilt: f ''(x) > 0
für
- 1 < x < 1 gilt: f ''(x) < 0
für
1 < x < ∞ gilt: f ''(x) > 0 |
Daraus wird deutlich:
| es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten der Funktion f
und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung f '' |
| eine Funktion f ist an der Stelle x linksgekrümmt
(konkav), wenn gilt: f ''(x) >= 0 |
| eine Funktion f ist an der Stelle x streng linksgekrümmt,
wenn gilt: f ''(x) > 0 |
| eine Funktion f ist an der Stelle x rechtsgekrümmt
(konvex), wenn gilt: f ''(x) <= 0 |
| eine Funktion f ist an der Stelle x streng rechtsgekrümmt,
wenn gilt: f ''(x) <
0 |
| die Funktion f ändert an den Stellen x ihr Krümmungsverhalten, an denen die
zweite Ableitung f '' ihr Vorzeichen ändert |
| dafür kommen nur die Stellen in Frage, an denen die zweite Ableitung f ''
Nullstellen besitzt |
Die Stellen, an denen die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert, sind ganz
besondere Stellen - sogenannte Wendestellen. An diesen Stellen hat der
Funktionsgraph Wendepunkte. Die Kenntnis solcher besonderen Kurven-
punkte ist für die praktische Anwendung der Funktionslehre von enormer Bedeutung.
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Rechenverfahren
Extrempunkte
In vielen Fällen ist eine vollständige Monotonieuntersuchung von Funktionen
nicht nötig, um die Lage ihrer Extrem- punkte aufzuspüren. Beim vereinfachten
Verfahren zur Berechnung von Extrempunkten macht man sich die Zusammenhänge
zwischen den ersten beiden Ableitungen und den Eigenschaften des
Funktionsgraphen zu Nutze:
- berechnen der beiden ersten
Ableitungen der Funktion f
- ermitteln der möglichen
Extremstellen xE als Nullstellen der ersten
Ableitung
→ notwendiges Kriterium für die
Existenz von Extrempunkten
- berechnen der 2.Ableitung an den
möglichen Extremstellen und untersuchen dieser Werte auf ihr
Vorzeichen: · f
''(xE) < 0 , dann befindet sich an der Stelle xE
ein
Tiefpunkt
· f ''(xE) < 0 , dann befindet sich an
der Stelle xE ein
Hochpunkt
→ hinreichendes Kriterium für die
Existenz von Extrempunkten
- berechnen der Funktionswerte
(Extremwerte) an den Stellen xE und angeben der Extrempunkte
|
f(x) = 0,1·x3 -
1,2·x2 + 2,1·x + 5,4 |
 |
| 1. |
f '(x) = 0,3·x2 - 2,4·x +
2,1
f ''(x) = 0,6·x - 2,4 |
| 2. |
0 = 0,3·x2 - 2,4·x + 2,1
0 = x2 - 8x + 7
xE1 = 1 xE2 = 7 sind mögliche
Extremstellen von f |
| 3. |
f ''(1) = -1,8 < 0 also da HP
f ''(7) = 1,8 > 0 also da TP |
| 4. |
f(1) = 6,4 damit H(1|6,4)
f(7) = -4,4 damit T(7|-4,4) |
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Rechenverfahren
Wendepunkte
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Kurvendiskussion
ganzrationaler Funktionen
Ziel einer vollständigen Kurvendiskussion ist ein möglichst exakt
gezeichneter Funktionsgraph, der alle wich- tigen Eigenschaften der Funktion
graphisch veranschaulicht. Dies ist allein mit einer Wertetabelle nicht zu
erreichen, weil wichtige Punkte des Funktionsgraphen wie Extrem- und Wendepunkte
nur selten bei ganz- zahligen x-Werten zu finden sind. Kurvendiskussionen folgen
in der Regel einer festgelegten Schrittfolge, die wir hier an einem Beispiel
vorstellen.
Bsp.: f(x) = -x3 + 9x2 - 24x + 16
| f '(x) = -3x2 + 18x - 24 |
| f ''(x) = -6x + 18 |
| f '''(x) = -6 |
|
| bestimmen Sie zunächst die ersten drei Ableitungen, sie werden für
die Extrem- und Wendepunktuntersuchung benötigt |
|
- Definitionsbereich: DB = {x|xR}
= R
|
| der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, denen die
Funktionsgleichung ohne Einschränkung einen Funktions- wert zuordnet |
| bei ganzrationalen Funktionen gibt es keinen Grund, eine Zahl aus
dem Definitionsbereich auszuschließen |
|
| 2. Symmetrie:
f(-x)
= -(-x)3 + 9·(-x)2
- 24·(-x) + 16 = x3
+ 9x2 + 24x + 16
f(x) = -x3
+ 9x2 - 24x + 16
-f(x) = x3 -
9x2 + 24x - 16
| f(-x) ≠
f(x) es liegt also keine Axialsymmetrie zur y-Achse
vor |
| f(-x)
≠ -f(x) es liegt auch keine
Zentralsymmetrie zum Koordinatenursprung vor |
Dies
heißt jedoch nicht, dass der Funktionsgraph keine Symmetrie aufweist.
Wie wir später sehen werden ist jeder Funktionsgraph von Funktionen
dritten Grades punktsymmetrisch zum einzigen Wendepunkt. |
| wir untersuchen im Grundkurs Funk- tionsgraphen nur auf
Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum
Koordinatenursprung; andere Sym- metriearten bleiben unberücksichtigt |
| berechnen Sie den Funktionswert f(-x)
und vergleichen Sie ihn dann mit den Termen f(x)
und -f(x) (siehe Symmetrie
ganzrationaler Funktionen) |
| bei ganzrationalen Funktionen hängt das Symmetrieverhalten nur von
den auftretenden Exponenten ab |
|
| 3. Nullstellen:
0 = -x3 + 9x2 -
24x + 16 /·(-1)
0 = x3 - 9x2 + 24x -
16 NR: (x3-9x2+24x-16):(x-1)
= x2-8x+16
0 = (x - 1)·(x2 - 8x +
16) -(x3-x2)
xN1
= 1 x2 - 8x + 16 =
0
-8x2+24x
xN2/3 = 4 ± √(16-16)
-(-8x2+8x)
Doppellösung: xN2/3 = 4
16x-16 |
| Funktionsgleichung Null setzen und die entstehende Gleichung mit
geeigneten Mitteln lösen (siehe auch Nullstellen
ganzrationaler Funktionen) |
| ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen maximal n Nullstellen |
| das hier zwingend notwendige Verfah- ren der Polynomdivision setzt
voraus, dass eine Lösung der
Gleichung durch Probieren gefunden wird |
|
| 4. Extrempunkte:
f '(x) = 0 = -3x2 + 18x - 24 /:(-3)
0 =
x2 - 6x + 8
xE1/2
= 3 ± √(9-8)
xE1
= 2 f ''(2) = 6 > 0 f(2) =
-4 T(2|-4)
xE2 = 4 f ''(4) = -6 <
0 f(4) = 0 H(4|0) |
| zunächst mit dem vereinfachten Re-
chenverfahren für Extrempunkte ver- suchen, die Koordinaten der
auftreten- den Extrempunkte zu ermitteln |
| bei auftretenden Problemen auf Monotonieuntersuchung
mittels Teststellenverfahren ausweichen |
| ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen maximal (n-1)
Extrempunkte |
|
| 5. Wendepunkte:
f ''(x) = 0 = -6x + 18
6x =
18 /:6
xW
= 3 f
'''(3) = -6 ≠
0 f(3) = -2 W(3|-2) |
| zunächst mit dem vereinfachten Re-
chenverfahren für Wendepunkte ver- suchen, die Koordinaten der
auftreten- den Wendepunkte zu ermitteln |
| bei auftretenden Problemen auf Krümmungsuntersuchung
mittels Teststellenverfahren ausweichen |
| ganzrationale Funktionen n-ten Grades besitzen maximal (n-2)
Wendepunkte |
|
6. Verhalten im Unendlichen:
 |
|
| für sehr große x (rechter Rand des KS) strebt f(x)
immer kleineren Werten zu; Funktionsgraph verläuft rasch nach
unten |
für sehr kleine x (linker Rand des KS) strebt f(x)
immer größeren Werten zu; Funktionsgraph verläuft rasch nach oben |
| an
den Rändern des KS verhält sich die Funktion f so wie die
Grundfunktion g(x) = -x3
|
|
| hier untersucht man das Verhalten des Funktionsgraphen an den
"Rändern des Koordinatensystems" (siehe Grenzwert
einer Funktion im Unendlichen) |
| das Verhalten im Unendlichen hängt bei ganzrationalen Funktionen
maßgeblich vom Term mit der größten Potenz von x ab |
|
| 7. Wertetabelle:
x
0,5
4,5 5
y 6,125
-0,875 -4 |
| trotz der bisherigen Ergebnisse erfor- dert die gewünschte
Genauigkeit der Zeichnung einige wenige ergänzende Wertepaare |
|
| 8. graphische Darstellung:
 |
| eintragen aller bisheriger Ergebnisse und verbinden der Punkte unter
Berück- sichtigung der Funktionseigenschaften (z.B.Krümmung ändern
im Wendepunkt) |
|
f(x) = ⅓·x3
- x
| f '(x) = x2 - 1 |
| f ''(x) = 2x |
| f '''(x) = 2 |
|
f(x) = ¼·x4
- 5/3·x3
+ 3x2
| f '(x) = x3 - 5x2 + 6x |
| f ''(x) = 3x2 - 10x + 6 |
| f '''(x) = 6x - 10 |
|
| 1.DB = R |
1.DB = R |
| 2. Symmetrie:
f(-x)
= ⅓·(-x)3
- (-x) = -⅓·x3
+ x
f(x) = ⅓·x3
- x -f(x) = -⅓·x3
+ x
| f(-x)
= -f(x) zentralsymmetrisch zum Koord.ursprung |
|
2. Symmetrie:
f(-x)
= ¼·(-x)4
- 5/3·(-x)3
+ 3(-x)2 = ¼·x4
+5/3· x3
+ 3x2
f(x) = ¼·x4
- 5/3·x3
+ 3x2 -f(x) =-
¼·x4
+ 5/3·x3
- 3x2
| f(-x)
≠ f(x) nicht axialsymmetrisch
zur y-Achse |
| f(-x)
≠
-f(x) nicht zentralsymmetrisch zum KU |
|
| 3. Nullstellen:
0 = ⅓·x3
- x
0 = x ·(⅓·x2
- 1 )
xN1
= 0 ⅓·x2
- 1=
0
⅓·x2
= 1
x2
= 3
xN2 =
-√3 xN3 =
√3 |
3. Nullstellen:
0 = ¼·x4
- 5/3·x3
+ 3x2 /·4
0 = x4
- 20/3·x3
+ 12x2
0 = x2
· (x2
- 20/3·x
+ 12)
xN1/2
= 0 x2
- 20/3· x
+ 12 =
0
xN3/4
= 10/3
± √(100/9-12)
keine
weiteren Nullstellen |
| 4. Extrempunkte:
f '(x) = 0 = x2 - 1 /:+1
x2
= 1
xE1
= -1 f ''(-1) = -2 < 0 f(-1) = ⅔ H(-1| ⅔)
xE2 = 1 f ''(1) = 2 > 0 f(1) = -⅔ T(1|- ⅔) |
4. Extrempunkte:
f '(x) = 0 = x3 - 5x2 + 6x
0 =
x · (x2 - 5x + 6)
xE1
= 0
xE2/3
= 2,5 ± √(6,25-6)
f ''(0)=6 T1(0|0)
xE2
= 2 f ''(2) = -2 < 0 f(2) = 8/3
H(2| 8/3)
xE3 = 3 f ''(3) = 3 > 0
f(3) = 9/4 T2(3|9/4) |
| 5. Wendepunkte:
f ''(x) = 0 = 2x
xW
= 3 f
'''(0) = 2 ≠
0 f(0) = 0
W(0|0)
|
5. Wendepunkte:
f ''(x) = 0 = 3x2 - 10x + 6 /:3
0 = x2 - 10/3·x + 2
xW1/2
= 5/3
± √(25/9-2)
xW1=(5+√7)/3 f'''(2,55)=5,3≠0 f(2,55)=2,44
W1(2,6|2,4)
xW2=(5-√7)/3 f'''(0,785)=-5,3≠0 f(0,785) =1,14
W(0,8|1,1)
|
| 6. Verhalten im Unendlichen
Graph
strebt am linken Rand nach unten und am rechten nach oben
Graph verhält sich also etwa wie g(x) = x3
|
6. Verhalten im Unendlichen
Graph
strebt sowohl am linken wie am rechten Rand nach oben ähnlich g(x) = x4 |
| 7. Wertetabelle:
x
0,5 1,5 2
2,5 3
y -0,46 -0,375 0,67
2,7 6 |
7. Wertetabelle:
x -1 -0,5
1 3,5 4
y 4,92 0,97 1,58 2,81
5,33 |
| 8. graphische Darstellung:
 |
8. graphische Darstellung:
 |
| Graphen von Funktionen dritten Grades haben typischerweise ein S-Form |
|
| Graphen
von Funktionen vierten Grades haben ty- pischerweise eine W-Form (nach
oben oder unten) |
|
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Kurvenscharen
ganzrationaler Funktionen
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Rekursionsaufgaben
zu ganzrationaler Funktionen
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Extremwertaufgaben
mit ganzrationalen Funktionen
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Jahrgangsstufe:
12
Semester: II
Einführung
in die Integralrechnung
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Die
Streifenmethode
Mit den Mitteln der Integralrechnung ist es möglich, den
Inhalt von Flächen rechnerisch zu bestimmen, die vollständig oder teilweise
krummlinig begrenzt sind. Um die Korrektheit der auf diesem Wege ermittelten
Lösungen nachzuweisen, berechnen wir zunächst einen Flächeninhalt, der auch
mit elementargeometrischen Mitteln bestimmbar ist. So schließen der Graph der
Funktion f mit f(x) = x und die Abszissenachse im Intervall I[0|a] eine Fläche
ein, deren Inhalt mit der Gleichung für rechtwinklige Dreiecke A = 0,5a2
ergibt.
Grundgedanke der Integralrechnung:
Man unterteile das vorgegebene Intervall I[0|a] in n (hier:
fünf) gleiche Abschnitte. Danach fülle man die zu berechnende Fläche A mit
Rechtecken der Breite a/n aus, die zum einen geradeso vollständig innerhalb der
Fläche A liegen (blau); zum anderen diese Fläche
A geradeso einschließen (rot). Die Summe der zu
kleinen, blauen Rechteckflächen ist kleiner als der gesuchte Flächeninhalt und
wird Untersumme sn genannt. Die Summe
der zu großen, roten Rechteckflächen ist größer als der gesuchte
Flächeninhalt und wird Obersumme Sn genannt.
Für a = 2 und n = 5 ergibt sich daraus:
s5 = 0·0,4+0,4·0,4+0,8·0,4+1,2·0,4+1,6·0,4
= 1,6 < A02
< 2,4 = 0,4·0,4+0,8·0,4+1,2·0,4+1,6·0,4+2·0,4
= S5
Da sich der Inhalt der Fläche A02 in diesem Falle
elementargeometrisch zu A02 = 2(FE) berechnen lässt, wird
klar, dass die Abweichung der beiden Rechteckflächensummen noch recht groß
ist. Erhöht man jedoch die Anzahl der Unterteilungen des Intervalls I,
verringert sich automatisch der bei der Annäherung der Fläche A durch
Rechteckflächen begangene Fehler. Dies zeigt folgende Tabelle für a = 2:
| Anzahl der Teilintervalle n |
Untersumme
sn |
Flächeninhalt der Fläche
A |
Obersumme Sn |
| 5 |
1,6 |
A02 |
2,4 |
| 10 |
1,8 |
A02 |
2,2 |
| 100 |
1,98 |
A02 |
2,02 |
| 1000 |
1,998 |
A02 |
2,002 |
| 10000 |
1,9998 |
A02 |
2,0002 |
| 100000 |
1,99998 |
A02 |
2,00002 |
Die Untersumme
sn entpuppt sich als eine monoton steigende Zahlenfolge, deren
Grenzwert für n gegen unendlich scheinbar 2 beträgt. Da auch die Obersumme Sn
bei fallender Monotonie diesem Grenzwert entgegenstrebt und der gesuchte
Flächeninhalt nach wie vor zwischen beiden Werten liegen muss, ist damit mit
Mitteln der Infinitesimalrechnung gezeigt, dass A02 in
diesem Falle 2(FE) betragen muss.
Verallgemeinerung für a beliebig:
Flächenberechnung (Untersumme)
sn
=
sn
=
·( 0 + 1 + 2 + ... + n-1 )
sn
=
|
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
|
Flächenberechnung
(Obersumme)
Sn
=
Sn
=
·( 1 + 2 + 3 + ... + n )
Sn
=
 |
|
explizite
Bildungsvorschrift
sn
=
sn
=
sn
=
sn
=
 |
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
|
explizite
Bildungsvorschrift
Sn
=
Sn
=
Sn
=
Sn
=
|
|
Grenzwert
der Untersumme
 |
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
|
Grenzwert
der Obersumme
|
Da
beide Grenzwerte übereinstimmen und den gesuchten Flächeninhalt einschließen,
ist mit den Mitteln der Integralrechnung gezeigt, dass die vom Graphen der
Funktion f(x) = x und der x-Achse im Intervall I[0|a] eingeschlossene Fläche
den Flächeninhalt ½·a² (FE)
besitzt. Dies hätten wir allerdings auch elementargeo- metrisch
über den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (A = ½·a·b = ½·a·a
= ½·a2) herausbekommen können. Die übereinstimmenden Ergebnisse
zeigen uns aber, dass die Streifenmethode zu den richtigen Ergebnissen führt.
A01
= ½·1² = ½ (FE)
A02 = ½·2² = 2(FE)
A03 = ½·3² = 9/2(FE)
A14 =A04–A01
½·4²-½·1²=8-½=7,5(FE)
Wenden wir nun unsere Streifenmethode auf einen Fall an, bei dem wir
elementargeometrisch nicht in der Lage wären, den Flächeninhalt zu
berechnen:
der Graph der Funktion f(x) = x2 und die x-Achse schließen im
Intervall I[0|a] eine Fläche ein.
Flächenberechnung (Untersumme)
sn
=
sn
=
·( 0² + 1² + 2² + ... + (n-1)² )
sn
=
|
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a < |
Flächenberechnung
(Obersumme)
Sn
=
Sn
=
·( 1² + 2² + 3² + ... + n² )
Sn
=
|
|
explizite
Bildungsvorschrift
sn
=
sn
=
sn
=
sn
=
|
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a < |
explizite
Bildungsvorschrift
Sn
=
Sn
=
Sn
=
Sn
=
|
|
Grenzwert
der Untersumme
|
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
<
A0a <
|
Grenzwert
der Obersumme
 |
Da
beide Grenzwerte übereinstimmen und den gesuchten Flächeninhalt einschließen,
ist mit den Mitteln der Integralrechnung gezeigt, dass die vom Graphen der
Funktion f(x) = x² und der x-Achse im Intervall I[0|a] eingeschlossene Fläche
den Flächeninhalt ⅓·a³
(FE) besitzt. Und solche krummlinig begrenzten Flächen kann man nur
mit der Integralrechnung berechnen.
A01
= ⅓·1³
= ⅓
(FE)
A02 = ⅓·2³
= 8/3(FE) A03
= ⅓·3³
= 9(FE)
A14
= A04 – A01 = ⅓·4³
- ⅓·1³ = 64/3 - ⅓
= 21(FE)
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Verallgemeinerung
der Streifenmethode - Riemannsches Integral
Flächenrandfunktion
|
|
A
|
Flächeninhaltsfunktion |
|
A
|
| f(x)=x0 |
 |
a |
F(x)
= x1 = x |
 |
b
– a |
| f(x)=x1 |
 |
½·a2 |
F(x)
=
½·
x2 |
 |
|
| f(x)=x2 |
 |
⅓
·a3 |
F(x)
=
⅓
·x3 |
 |
|
| f(x)=x3 |
 |
¼·a4 |
F(x)
=
¼·
x4 |
 |
|
| f(x)=x4 |
 |
a5 |
F(x)
=
x5 |
 |
|
Es sei f eine im Intervall I[a|b] stetige,
nichtnegative Funktion, n die Anzahl der Unterteilungen des Intervalls [a|b], sn
die Reihe der zu kleinen (blauen) einbeschriebenen
Rechteckflächen (Untersumme) und Sn
die Reihe der zu großen (roten) umbeschriebenen
Rechteckflächen (Obersumme).
Existiert
und
und gilt
=
, so nennt man diesen Grenzwert das bestimmte
Integral über der Funktion f von a bis b. Das bestimmte Integral ist
also stets eine reelle Zahl (die durchaus auch negativ sein kann).
Symbolik:
a,b
- Intervallgrenzen f(x) - Integrand (Integrandenfunktion)
Das langgezogene S soll die Summenbildung symbolisieren; der zum Symbol
gehörende Ausdruck dx weist auf die immer kleiner werdenden Teilintervalle
(Rech- teckbreiten) ∆x hin.
Eigenschaften des bestimmten Integrals:
-
-
-
-
-
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Regeln zum
Auffinden von Stammfunktionen
Will man über die betrachteten Funktionen in der Tabelle im Stoffgebiet
"Verallgemeinerung der Streifen- methode -
Riemannsches Integral" hinaus krummlinig begrenzte Flächen unter
beliebigen Funktionsgraphen berechnen, benötigt man einen allgemeinen
Zusammenhang zwischen der Funktion f, die die Fläche nach oben begrenzt
(Flächenrandfunktion) und der Funktion F, mit der dann die
Flächenberechnung erfolgen soll (Flächenin- haltsfunktion).
Zunächst erkennt man aus dieser Tabelle einen Zusammenhang für beliebige
Potenzfunktionen mit Gleichungen der Form f(x) = xn: F(x)
=
. Damit
wären aber nur Flächen unter Potenzfunktionen berechenbar. Bei genauerem
Betrachten der Ergebnisse aus der Tabelle fällt auf: F'(x) =
f(x).
Es
seien die Funktion f und F im Intervall I definiert und F sei in I
differenzierbar (ableitbar). Eine Funktion F heißt Stammfunktion
einer Funktion f im Intervall I genau dann, wenn für jedes x
I
gilt: F'(x)
= f(x) Gibt es zu einer
Funktion f eine Stammfunktion F, so gibt es unendlich viele Stammfunktionen Fn,
die sich alle nur um eine additive Konstante von F unterscheiden. Die Menge aller
Stammfunktionen einer Funktion f nennt man das unbestimmte
Integral über der Funktion f. Symbolik:
c
R
Regeln
für das Auffinden von Stammfunktionen:
|
Flächenrandfunktion |
Stammfunktion |
Beispiele |
| 1. Potenzregel |
f(x) = xn |
F(x) = |
f(x) = x7 |
F(x) =
⅛·x8
|
| 2. Summenregel |
f(x) = h(x) + g(x) |
F(x) = H(x) + G(x) |
f(x) = x3 + x2 +1 |
F(x) =
¼x4 + ⅓x3
+ x
|
| 3. Faktorregel |
f(x) = a·g(x) |
F(x) = a·G(x) |
f(x) = 4x3 |
F(x) = 4·¼x4 = x4 |
| 4. Kettenregel (vereinfacht) |
f(x) = g(mx+n) |
F(x) = G(mx+n)·1/m |
f(x) = (2x-7)3 |
F(x) = ¼(2x-7)4·½
F(x) = ⅛·(2x-7)4
|
Zur
Kontrolle sollte man also eine gefundene Stammfunktion noch einmal ableiten.
Entsteht dabei wieder die Flächenrandfunktion f, so war das Bilden der
Stammfunktion richtig oder anders gesagt: das Integrieren ist die
Umkehroperation des Differenzierens.
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Hauptsatz der
Integral- und Differentialrechnung
Der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung zeigt nun auf, wie
man mit Hilfe von Stammfunktionen bestimmte Integrale berechnen kann. Dabei wird
nochmal deutlich, dass hier ein enger Zusammenhang zwischen den beiden Bereichen
der Infinitesimalrechnung (Integral- und Differentialrechnung) besteht:
Ist f eine im Intervall I[a|b] stetige Funktion und F irgendeine
Stammfunktion von f , so gilt:
Damit
können wir nun eine Vielzahl von bestimmten Integralen nach folgendem Verfahren
berechnen: 1.Stammfunktion finden 2.Intervallgrenzen in
Stammfunktion einsetzen
3.Subtrahieren
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Fläche
zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Bsp.: Funktion f mit Gleichung f(x) =
1/4·x4 - 9/4·x2 und Abszissenachse (x-Achse)
schließen eine Fläche A ein.
1.) Nullstellenberechnung: f(x) =
0 0 = 1/4·x4 - 9/4·x2
0 = x4 - 9x2 0 = x2·(x2
- 9)
ergibt nach dem Satz: Ein Produkt wird Null,
wenn einer der Faktoren Null wird: xN1/2 = 0
xN3 = -3 xN2 = 3
2.) Skizze des Funktionsgraphen in geeignetem
Intervall:
3.) Ansatz mittels Integralrechnung:
4.) Berechnung der Einzelintegrale:
5.) Berechnung der Gesamtfläche: A = | 0 - (81/10) | +
| (-81/10) - 0 | = 162/10 = 81/5 = 16,2 (FE)
Unter
Nutzung der Symmetrieeigenschaften des Funktionsgraphen von f genügt es auch,
die Fläche zwischen Funk- tionsgraph und x-Achse im Intervall von 0 bis 3 zu
berechnen und diese dann zu verdoppeln.
Man
kann zur Flächenberechnung auch ein Integral von -3 bis 3 benutzen, weil
der Funktionsgraph von f an der Nullstelle xN1/2 = 0 seine relative
Lage zur Achse nicht ändert (beide Teilflächen liegen unter der x-Achse).
Bsp.:
gegebene ist die Funktion f mit der Gleichung
;
ihr Graph sei Gf
| gesucht:
Fläche
zwischen
Graph
Gf und x-Achse
im
Intervall I [1|3]
|
 |
A
= 7 (FE)
|
| gesucht:
Fläche ,
die be- grenzt wird von
Gf,
der x-Achse
und den
Geraden
x=-0,5 und
x=-1,5
|
 |
A =
A
=
A=
 =
|
| gesucht:
Fläche
zwischen
Graph und
x-Achse
im
Intervall
–1 ≤
x ≤ 2
|
 |
|
Handlungsanweisung
zur Berechnung
der
Fläche
zwischen dem Graphen einer Funktion und der Abszissen-
achse:
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Fläche
zwischen zwei Funktionsgraphen
Bsp.: f(x) = -x3 + 3x2
g(x) = -x+3
1.) Berechnung der Schnittstellen beider
Graphen: f(x) = g(x) -x3 + 3x2 = -x+3
0 = x3
- 3x2 - x + 3
(bringt man alle Terme auf eine
Seite, entsteht automatisch die Differenzfunktion D(x)=g(x)-f(x)=x3-3x2-x+3)
über Polynomdivision oder mittels
Binomischer Formel für kubische Binome zerlegbar in: 0 = (x+1)·(x-1)·(x-3)
also gibt es drei Schnittstellen
zwischen beiden Graphen: xS1 =
-1 xS2 = 1 xS3
= 3
2.) Skizze beider Funktionsgraphen in geeignetem
Intervall:
3.) Ansatz mittels Integralrechnung:
4.) Berechnung der Einzelintegrale:
A = ( 7/4 - (-9/4) ) + ( 9/4 - (-7/4) )
= 4 + 4
5.) Berechnung der Gesamtfläche: A = 8 (FE)
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Rotationsvolumina
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Wiederholung:
Exponentialfunktonen
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Die
Funktionen f(x) = ex und f(x) = lnx
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Anwendungsaufgaben:
unbegrenztes Wachstum (Zerfall)
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Anwendungsaufgaben:
begrenztes Wachstum (Zerfall)
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Ableitung und
Stammfunktion von Exponentialfunktionen
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Kurvendiskussion
und Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen
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Kurvenscharen
von Exponentialfunktionen
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Jahrgangsstufe:
13
Semester: I
Wiederholung
- Lösen von Gleichungssystemen
Im folgenden Stoffgebiet wird es von besonderer Wichtigkeit sein,
Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten sicher lösen zu
können. Da die Behandlung dieses Stoffabschnitts schon etwas zurück liegt, sei
hier noch einmal an die beiden Lösungsverfahren - den Gaußschen
Lösungsalgorithmus und das Determinantenverfahren
- erinnert.
Ziel des Gaußschen Lösungsverfahrens ist es, ein geordnetes
Gleichungssystem in die Dreiecksform zu bringen, um daraus von unten nach oben
die Teillösungen berechenbar zu machen.
I 3x - y + 2z =
5 /·(-4)
/·(-2) I 3x - y + 2z = 5
I 3x - y + 2z =
5
x = 5
II 4x +2y + 4z = 8 /·3 II 10y + 4z = 4
/·1 II
10y + 4z = 4
y = 2
III 2x - 4y + z = -2
/·3 III -10y - z =
-16 /·1 III
3z = -12 /:3 z
= -4 L = {[5|4|-2]}
Beim Determinantenverfahren werden aus vier quadratischen Zahlenschemen
(Matrizen) nach einem bestimmten Schema (Hauptdiagonale - Nebendiagonale) reelle
Zahlen (Determinanten D, D1, D2, D3) berechnet,
aus denen sich dann die Teillösungen als Quotienten ergeben.
D
= 
= 6 - 8 - 32 - (8 - 48 - 4) = 10
D1 =
= 10 + 8 - 64 - (-8 - 80 - 8) = 50
D2
=
= 24 + 40 - 16 - (32 - 24 + 20) =
20 D3 =
= -12 - 16 - 80 - (20 - 96 + 8) = -40
nun
gilt : x = D1/D = 50/10 = 5
y = D2/D = 20/10 = 2 z = D3/D =
-40/10 = -4
L = {[5|2|-4]}
Außerdem
sei noch mal daran erinnert, dass solche Gleichungssysteme drei Lösungsvarianten
besitzen:
| genau
eine
Lösung
L = {[x|y|z]} |
| keine
Lösung
L = Ø |
| unendlich
viele Lösungen L = {[x(z)|y(z)|z]}
(Teillösungen x und y von frei wählbarer Variable z abhängig) |
Für
letzteres noch ein Beispiel:
I 4x - 3y - 5z = 9
/·1
/·(-3)
I 4x - 3 y - 5z = 9
I 4x - 3 y - 5z = 9
x = 2z + 3
II 2x + 5y - 9z = 11
/·(-2) II -13y +
13z = -13 /·1 II -13y +
13z = -13 y =
z + 1
III 6x -11y - z = 7
/·2 III -13y
+ 13z = -13 /·1
III
0 = 0 L
= {[2z+3|z+1|z]} z R
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Einführung
in die Vektorrechnung
Es gibt physikalische Größen,
bei denen neben dem Betrag auch die Richtung der Größe für deren Wirkung eine
Rolle spielt (z.B.
Kraft, Beschleunigung, Geschwindigkeit, elektrische Feldstärke
u.v.a.m.); diese werden mittels
gerichteter Strecken veranschaulicht. Der
Begriff des Vektors wurde durch
Naturforscher wie da Vinci, G.Galilei und J.Kepler in die Mathematik eingebracht.
Der norwegische Kartograph und Geodät Caspar Wessel rechnete als erster mit
gerichteten Strecken. Heutzutage ist der Begriff des Vektors sehr weit gefasst;
er umfasst z.B. physikalische Größen, Verschie- bungen, differenzierbare
Funktionen, konvergente Folgen, Polynome, Matrizen u.v.a.m. Für all diese
höchst unterschiedlichen Objekte ist die Verwendung eines einheitlicher Begriffes
„Vektor“ möglich, weil alle bei starker Verallgemeinerung gemeinsame
Eigenschaften besitzen.
Anwendung
:
| innermathematisch:
Lagebeziehung zwischen Figuren und Körpern im Raum |
| außermathematisch: Bahnkurven von
mechanischen Bewegungen,Kosten-Nutzen-Berechnungen
in WiWi, Überlagerung von Feldern
|
Der Begriff „Vektor“
Es gibt eine Vielzahl geometrischer
Abbildungen einer Ebene auf sich selbst, wie z.B. geometrische
Bewegungen (Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen u.a.) , Ähnlichkeitsabbildungen
(zentrische Streckungen); u.a..
Die Verschiebung ist eine besondere geometrische Bewegung mit
besonderen Eigenschaften:
|
jedem Punkt der Ebene
(Original) wird genau ein Punkt derselben Ebene als Bildpunkt zugeordnet und
umgekehrt (eineindeutige Abbildung)
|
|
die
Verbindungsstrecken
AA', BB', CC'
usw. zwischen Original- und
Bildpunkt sind:
 |
parallel |
|
zueinandergleichgerichtet |
|
gleichlang |
|
| Definition: |
Als „Vektor“
bezeichnet man (vereinfacht) eine Klasse von Verschiebungspfeilen,
die alle zu ein und derselben Verschiebung gehören.
Symbol:
oder
Einen ausgewählten dieser
Verschiebungspfeile nennt man Repräsentant des Vektors. |
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Relationen
und Rechenoperationen
zwischen Vektoren
Relationen
|
vergleichen (in Beziehung setzen zueinander) zweier
(oder mehrerer) Objekte einer Menge, ohne dabei neue Objekte zu schaffen |
|
können sein: "kleiner als",
"größer als", "gleich", aber auch "liegt
in", "liegt auf", "liegt unter" u.s.w. |
Relationen zwischen Vektoren
Rechenoperationen
|
verknüpfen nach gewissen Vorschriften zwei (oder
mehrere) Objekte einer Menge wodurch neue Objekte ( im Idealfall innerhalb dieser
Menge) entstehen |
|
können sein: "Addition von
Objekten", "Subtraktion von Objekten", "Multiplikation
von Objekten", aber auch "Multiplikation eines Objektes mit einer
reellen Zahl" u.v.m. |
Rechenoperationen zwischen Vektoren
| Definition:
|
es seien Vektoren  ,
und
sowie
reelle Zahlen r, s und t gegeben
Jeden
Vektorterm der Form:
 nennt
man eine Linearkombination der Vektoren
,
und
.
|
| Satz: |
Sind
zwei ebene Vektoren und
nicht
parallel zueinander (also keine Vielfachen voneinander),
so lässt sich
jeder andere ebene Vektor
eindeutig als Linearkombination der Vektoren und
darstellen
und zwar in der Form:
(r,s
R)
|
Liegen
drei räumliche Vektoren ,
und
nicht
in ein und derselben Ebene, so lässt sich
jeder andere räumliche Vektor
eindeutig als Linearkombina- tion der Vektoren ,
und
darstellen
und zwar in der Form:
(r,s
und t R)
|
|
Verwendet
man allerdings zwei andere nichtparallele Vektoren zur Darstellung des
Vektors ,
so
ergibt sich eine andere Linearkombination mit anderen
Vervielfachungszahlen, was sich als ungünstig für eine eindeutige
Beschreibung eines Vektors durch Zahlen herausstellt. |
Verwendet
man allerdings drei andere nicht in einer Ebene liegende Vektoren zur
Darstellung des Vektors ,
so
ergibt sich eine andere Linearkombi- nation mit anderen
Vervielfachungszahlen, was sich als ungünstig für eine eindeutige
Beschreibung eines Vektors durch Zahlen herausstellt. |
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Vektorraum,
Basis, Komponenten, Koordinaten
Damit wird klar, dass der Begriff "Vektor" in der Mathematik ein
sehr abstrakter Fachbegriff ist, hinter dem sich sehr viele, höchst
unterschiedliche mathematische Objekte (wie z.B. quadratische Matrizen,
differenzierbare Funktionen, Polynome, aber auch Verschiebungspfeile) verbergen
können.
Mit Blick auf die Definition Linearkombination
von Vektoren und den dort erfolgten Nachtrag bezüglich verschiedener
Vektorpaare (Vektortripel) ist es nun noch notwendig, sich auf ein
Vektorpaar (Vektortripel) zu einigen, um eine eindeutige Zuordnung von
Verschiebungspfeilen und Zahlen zu ermöglichen. Dafür nimmt man im Allgemeinen
Vektoren der Länge 1(LE), welche gleich gerichtet zu den Koordinatenachsen
verlaufen. Wir nennen sie die Einheits- vektoren
(parallel
zur x-Achse),
(parallel
zur y-Achse) und
(parallel
zur z-Achse im dreidimensionalen Koordina- tensystem)
Damit kann jetzt jeder Vektor durch ein senkrecht geschriebenes Zahlenpaar
(Zahlentripel) erfasst werden. Mit dieser Koordinatendarstellung von Vektoren
kann man rechnen, wie bisher mit reellen Zahlen (denn die Koordinaten eines
Vektors sind nichts anderes als reelle Zahlen), was zukünftig geometrische
Zeichnungen auf ein Minimum beschränkt.
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Rechnen mit
Vektoren in Koordinatendarstellung
Für das Rechnen mit Vektoren in der Koordinatenschreibweise
gelten folgende Rechenregeln analog zu den Rechen- gesetzen bei den reellen
Zahlen:
|
Vektorraum R2 |
Vektorraum R3 |
| Addition von Vektoren |
|
|
| Subtraktion von Vektoren |
|
|
| Multiplikation von Vektoren mit reeller Zahl |
|
|
| Linearkombination |
|
|
| Vektor zwischen zwei Punkten P1 und P2 |
|
|
| Betrag (Länge) eines Vektors |
oder
|
oder
|
Das dies mit unseren bisherigen (geometrischen) Vorstellungen vom Rechnen mit
Vektoren übereinstimmt, kann man am Besten anhand von Beispielen mit ebenen
Vektoren belegen:
gegeben:
und
berechnen
Sie:
Der
Betrag eines Vektors gibt seine Länge an.
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Lineare
Unabhängigkeit von Vektoren
Ob sich Vektoren als Basis eines Vektorraumes (und damit zur Darstellung
beliebiger Vektoren als Linearkombination der Basisvektoren) eignen, unterliegt
der Erfüllung scheinbar verschiedener Forderungen:
| im Vektorraum R2 durften die beiden Vektoren nicht parallel
sein |
| im Vektorraum R3 durften die drei Vektoren nicht in einer Ebene
liegen (was sich schwer prüfen lässt) |
Die Eignung einer bestimmten Anzahl von Vektoren als Basis eines beliebigen
Vektorraumes Rn (n-dimensionaler Vektorraum) lässt sich mit einer
allgemeinen Definition erfassen:
| Definition:
|
es seien
,
 bis
 beliebig
viele Vektoren und r1, r2 bis rn genauso
viele reelle Zahlen
Die
Vektoren
,
bis
heißen
linear unabhängig, wenn sie nur auf
triviale Weise den Nullvektor kombinieren können; d.h. wenn die
Vektorgleichung:
nur
die triviale Lösung r1 = r2 = ... = rn =
0 hat. Andernfalls nennt man die Vektoren linear
abhängig.
Für
linear abhängige Vektoren gilt, dass sich
jeder dieser Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren
darstellen lässt: es gibt reelle Zahlen s1, s2
bis sn-1 mit
|
Sind zwei Vektoren linear abhängig, so nennt man
diese Vektoren kollinear; es gilt
dann: die Vektorgleichung:
hat mehr als nur die triviale Lösung oder:
es gibt eine reelle Zahl s mit:
Kollineare
Vektoren liegen parallel zueinan- der, sie sind nämlich
Vielfache voneinander.
|
Sind drei Vektoren linear abhängig, so nennt man
diese Vektoren komplanar; es gilt
dann:
die Vektorgleichung:
hat mehr als nur die triviale Lösung oder:
es gibt reellen Zahl s und t mit:
Komlanare
Vektoren liegen in einer Ebene, jeder von ihnen lässt
sich nämlich als Linearkombination der anderen beiden darstellen. |
Diese Eigenschaft von Vektoren wird sich noch als sehr nützlich bei der
Untersuchung der Lagebeziehung von geometrischen Objekten herausstellen.
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Berechnen von
Punktkoordinaten, Teilungspunkte, Mittelpunkt
Zur Berechnung von Punktkoordinaten ist es in der
Vektorrechnung üblich, die Koordinaten des Ortsvektors dieses Punktes mit Hilfe
einer Vektorkette zu bestimmen.
| geg.: A(-2|-3) B(3|0) und
C(4|2)
ges.: D
|
die Vektoren CD und BA haben die gleichen Koordinaten;
weil sie parallel zueinander, gleichgerichtet und gleichlang sind, sind
sie nämlich Repräsentanten desselben Vektors
|
Bei Teilungspunkten geht man genauso vor, nutzt aber, dass das
Teilungsverhältnis etwas über die Länge des Vektors zwischen Anfangspunkt und
Teilungspunkt der Strecke vorgibt.
| geg.: A(7|4|2) B(-1|8|4)
T teilt AB Im Verhältnis 1:3
|
T teilt AB Im Verhältnis 1:3 bedeutet:
AT : TB = 1 : 3
daraus folgt: AT = 1/4 ·AB und TB =
3/4·AB
|
Der Mittelpunkt einer Strecke ist ein spezieller Teilungspunkt für T teilt
Strecke AB im Verhältnis 1:1. Daraus folgt:
|
geg.: A(4|1) B(2|4) ges.: M
M(3|2,5) |
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Vektorielle
Geradengleichungen
Eine Gerade g im dreidimensionalen Raum ist eindeutig bestimmt durch:
| zwei Punkte |
| einen Punkt und einen Richtungsvektor |
Bei einer Gerade handelt es sich um eine
unendlich große Punktmenge. Nur durch Verwendung eines Para- meters kann man die Ortsvektoren der
unendlich vielen Geradenpunkte mit einer Gleichung erfassen. Abhängig davon, welche Bestimmungsstücke
der Gerade bekannt sind , unterteilt man in:
| Punktrichtungsgleichung |
Zweipunktgleichung |
 |
 |
(t
R)
po
- Stützvektor (Ortsvektor eines geg. Geradenpunktes)
a
- Richtungsvektor (ein Repräsentant liegt auf der Gerade)
x
- Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes
t
- Parameter (jede reelle Zahl ist dafür wählbar)
|
(t
R)
p1
- Stützvektor (Ortsvektor eines geg. Geradenpunktes)
P1P2
- Richtungsvektor aus zwei geg. Geradenpunkten
x
- Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunktes
t
- Parameter (jede reelle Zahl ist dafür wählbar) |
|
geg.:
P(-3|1|2)
ges.:
Gleichung der Gerade g
Gerade
g: 
(t
R)
für t = 0 folgt P(-3|1|2) g
für t = 1 folgt P(-1|2|0) g
für t = 2 folgt P(1|3|-2) g
für t = -1 folgt P(-5|0|4) g
für t = ½ folgt P(-2|1,5|1) g
|
geg.:
A(2|2|1) B(1|3|2) ges.:
Gleichung der Gerade h
Gerade
h:
(r
R)
für r = 0 folgt A(2|2|1) g
für r = 1 folgt B(1|3|2) g
für r = 2 folgt P(0|4|3) g
für r = -2 folgt P(4|0|-1) g
für r = ½ folgt P(1,5|2,5|1,5) g |
Zu jedem Parameterwert gehört eindeutig ein zur Gerade führender Ortsvektor
und damit auch ein Punkt auf der Gerade. Und umgekehrt gehört zu jedem Punkt
der Gerade ein eindeutig bestimmbarer Parameterwert.
Sind mehr als zwei Punkte der Gerade bekannt, gibt es auch mehrere (richtige)
Parametergleichungen dieser Gerade.
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Lagebeziehung
zwischen Punkt und Gerade
Ein Punkt P liegt auf der Gerade g, wenn sein Ortsvektor p die vektorielle
Geradengleichung erfüllt; d.h. wenn es eine reelle Zahl t
gibt, so dass die Geradengleichung den Ortsvektor des Punktes P liefert. Setzt man die Koordinaten des Ortsvektors von
P in die Geradengleichung für den Vektor x ein, so entsteht ein unterbestimmtes
Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit nur einer Variablen. Bei diesem
muss bei Lage von P auf g in allen Gleichungen ein überein-
stimmender Parameterwert ermittelt werden können!
| Liegt
der Punkt Q(5|3|1) auf Gerade
g: ?
|
Liegt
der Punkt P(-1|5|4) auf Gerade h:
?
|
aus
 folgt: |
I 5 = -3 + 2t t =
4 II 3 = 1 +
t t = 1 III 1
= 2 - 2t t = ½ |
aus
 folgt: |
I -1 = 2 - r r =
3 II 5 = 2 +
r r = 3 III 4
= 1 + r r = 3 |
|
also
ein Widerspruch, weil verschiedene Parameter- werte, d.h.
Q
g |
|
also ein übereinstimmender Parameterwert, d.h.
P
h |
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Lagebeziehung
zwischen einer Gerade und einer Koordinatenebene
Liegt eine Gerade g nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen, so
durchstößt sie jede der drei Koordinatenebenen in je einem Durchstoßpunkt D.
Man findet diese Punkte über ihre besonderen Eigenschaften:
| jeder Punkt in der x-y-Koordinatenebene hat die z-Koordinate
Null Dxy(x|y|0) |
| jeder Punkt in der x-z-Koordinatenebene hat die y-Koordinate
Null Dxz(x|0|z) |
| jeder Punkt in der y-z-Koordinatenebene hat die x-Koordinate
Null Dyz(0|y|z) |
Die Durchstoßpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen nennt man auch Spurpunkte.
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Lagebeziehung
zwischen zwei Geraden
Unter
der Vermutung, die beiden Geraden könnten einen gemeinsamen Schnittpunkt
besitzen, kann man die beiden vektoriellen Geradengleichungen gleichsetzen. Dabei entsteht ein
überbestimmtes Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den zwei
Parameterwerten (aufpassen: dritte Gleichung auf wahre Aussage prüfen!!); dessen Lösung lässt
(fast) eindeutig auf die vier verschiedenen Lagebeziehungsmöglichkeiten zwischen
zwei Geraden im Raum schließen. Auch aus den
Eigenschaften der Stütz- bzw. Richtungsvektoren beider Geraden kann die Lagebeziehung zwischen den geometrischen Objekten abgeleitet werden.
|
Gerade
g1:
Gerade
g2:
|
Geraden g1 und g2
liegen
echt parallel zueinander
|
Geraden g1 und g2
sind
identisch
|
Geraden g1 und g2
schneiden einander
im Schnittpunkt S
|
Geraden g1 und g2
liegen
windschief zueinander
|
| Vektoreigenschaften |
| Richtungsvektor a1 ist kollinear
zu Richtungsvektor a2 |
|
Verbindungsvektor P1P2 ist nicht
kol- linear zu a1 bzw.a2 |
|
| Richtungsvektor a1 ist kollinear
zu Richtungsvektor a2 |
|
Verbindungsvektor P1P2 ist auch
kol- linear zu a1 bzw.a2 |
|
| Richtungsvektor a1 ist nicht
kolli- near
zu Richtungs- vektor a2 |
|
Verbindungsvektor P1P2 ist
kompla- nar zu a1 und a2 |
|
| Richtungsvektor a1 ist nicht
kolli- near
zu Richtungs- vektor a2 |
|
Verbindungsvektor P1P2 ist nicht
kom- planar zu a1 und a2 |
|
| Lösung des Gls |
keine Lösung
L = Ø |
unendlich viele Lösungen
L = {[t(s)|s]} |
eindeutige Lösung
L = {[t|s]} |
keine Lösung
L = Ø |
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Geradenscharen
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Ebenengleichungen
in Parameterform
Eine Ebene E im dreidimensionalen Raum ist eindeutig bestimmt durch:
| drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen |
| einen Punkt und zwei Richtungsvektoren, die nicht kollinear sind (also
nicht parallel zueinander) |
| zwei sich schneidende Geraden |
| zwei echt parallele Geraden |
| eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf dieser Gerade liegt |
| einen Punkt und einen Vektor, der senkrecht zur Ebene E liegt |
Da es sich bei einer Ebene - ähnlich wie bei einer Geraden - um eine
unendlich große Punktmenge handelt, kann man in Analogie zu den
Geradengleichungen durch Verwendung von Parametern die Ortsvektoren der unend-
lich vielen Ebenenpunkte erfassen. Abhängig davon, welche Bestimmungsstücke
der Ebene bekannt sind , unterteilt man in:
| Punktrichtungsgleichung |
Drei-Punkt-Gleichung |
|
|
|
| Vektor x - Ortsvektor eines beliebigen
Ebenenpunktes
Vektor po - Stützvektor (Ortsvektor des bekannten Ebenen-
punktes)
Vektoren
v und w - Spannvektoren (liegen in der
Ebene) λ,
μ - Parameterwerte (stehen für beliebige reelle Zahlen) |
Vektor x - Ortsvektor eines bel. Ebenenpunktes Punkte P1,P2,P3 - bekannte
Ebenenpunkte Vektor p1- Stützvektor (Ortsvektor
zum Punkt A) Vektoren P1P2 und P1P3 - Spannvektoren
λ,
μ - Parameterwerte (für bel. reelle Zahlen) |
Die Verwendung der Variablen
λ,
μ
für die Parameterwerte ist willkürlich und soll der besseren Unterscheidung
von Ebenengleichungen und Geradengleichungen dienen. Sind von einer Ebene
drei Punkte gegeben, ist jeder der drei Punkte als Aufpunkt nutzbar; auch die
Auswahl der Verbindungsvektoren kann anders erfolgen. Bei den Spannvektoren muss darauf geachtet werden, dass sie nicht
kollinear sein müssen; d.h. sie dürfen keine Vielfachen voneinander sein.
Sollte dies nach Aufstellen einer Ebenengleichung aus drei Punkten auftreten,
lagen die drei Punkte entlang einer Geraden (siehe oben).
Bsp.: geg.: P(3|0|-1)
Bsp.:
geg.: A(2|0|1) B(3|3|6) C(4|-1|2)
Ebene
E1:
Ebene E2:
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Lagebeziehung
zwischen Ebenen(Parameterform), Punkten und Geraden
| Ebene und Punkt |
Ein Punkt Q liegt auf der Ebene E, wenn sein Ortsvektor q die vektorielle
Ebenengleichung erfüllt; d.h. wenn es zwei relle Zahlen
λ
und μ gibt, so dass die Ebenengleichung den Ortsvektor des Punktes Q
liefert. Setzt man die Koordinaten des Ortsvektors von Q in die
Ebenengleichung für den Vektor x ein, so entsteht ein unterbestimm- tes
Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit nur zwei Variablen. Bei diesem
muss vor allem die wahre Aus- sage in Gleichung 3 geprüft werden!
Liegt
Punkt Q(5|7|2) in der Ebene
E1?
Liegt
Punkt P(7|5|-3) in der Ebene
E2?
I
5 = 3 + 2λ
+ 2μ I
2λ
+ 2μ
= 2
I 7 = 2 + λ + 2μ
I λ + 2 μ = 5 /·(-3)
/·(-5) II 7
= - λ + 3μ
II - λ + 3 μ = 7 /·2
II
5
= + 3λ
- μ
II
3λ
- μ
= 5
III 2 = -1 + λ + 2μ
III λ + 2μ = 3
/·(-2) III
-3
= 1 + 5λ
+ μ
III 5λ
+ μ
= -4
I
2λ
+ 2μ
= 2
λ =
-1
I λ + 2 μ =
5
II
8μ = 16 μ =
2
II
-7μ
= -10
μ =
0,7
III -2μ
= -4 μ =
2
III -9μ = -29
μ = 29/9 Widerspruch!
L =
{[-1|2]}
L = Ø
für
λ
= -1 und μ
= 2
liefert die
Ebenengleichung es gibt kein geordnetes Zahlenpaar [λ|μ]
so dass die Ebe--
von
E1 den Ortsvektor des Punktes
Q nengleichung von E2 den Ortsektor des Punktes
P liefert ·Punkt Q liegt auf E1 ·Punkt P liegt nicht auf der
Ebene E2
| Ebene
und Gerade |
Unter
der Vermutung, die Ebene und die Gerade könnten einen gemeinsamen Schnittpunkt
besitzen, kann man die beiden vektoriellen Parametergleichungen von Gerade und
Ebene gleichsetzen. Dabei entsteht ein Gls aus drei Gleichungen mit den drei
Parameterwerten; dessen Lösung lässt eindeutig auf die drei verschiedenen La-
gebeziehungsmöglichkeiten zwischen Ebene und Gerade schließen. Auch aus den
Eigenschaften der Stütz-, Richtungs- bzw. Spannvektoren von Gerade und Ebene
kann die Lagebeziehung zwischen den geometrischen Objekten abgeleitet werden.
E:
g:
|
g echt parallel zu E
|
g liegt in E
|
g schneidet E in Punkt S
|
| Vektor-
eigenschaften |
|
Richtungsvektor a ist komplanar
zu den Spannvektoren u und v |
|
Verbindungsvektor PQ ist nicht
komplanar zu u und v |
|
|
Richtungsvektor a ist komplanar
zu den Spannvektoren u und v |
|
Verbindungsvektor PQ ist auch komplanar
zu u und v |
|
|
Richtungsvektor a ist nicht
komplanar zu den Spannvektoren u und v |
|
| Lösungen des Gls |
keine Lösung
L = Ø |
unendlich viele Lösungen
L = {[λ(r)|μ(r)|r]} |
eindeutige Lösung
L = {[λ|μ|r]} |
Die Koordinaten eines eventuell vorhandenen
Schnittpunktes S erhält man nur über das Gleichungssystem; die dort erhaltenen
Ergebnisse für λ,μ
und r führen bei Einsetzen in die jeweilige Vektorgleichung in Ebenen- und
Geradengleichung übereinstimmend zu den Koordinaten des Ortsvektors von S.
Bsp.: Untersuche
die Lagebeziehung zwischen der Gerade g:
und der Ebene E:
I 1 + r = 1 +
λ
+ 2μ
I λ
+ 2μ - r =
0
I λ
+ 2μ - r =
0
I λ
+ 2μ - r =
0 λ
= -1 II + r
=
μ
II μ -
r =
0
II μ -
r = 0
II μ -
r = 0 μ =
1 III 3 + r
= 2 - λ + μ
III -λ + μ - r = 1
III 3μ - 2r = 1
III
r = 1
aus L = {[-1|1|1]} folgt: Gerade g schneidet Ebene
E
Gerade g schneidet Ebene
E im Punkt S(2|1|4)
| Ebene - Ebene |
Auch bei der Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen
darf man annehmen, dass es gemeinsame Punkte geben kann, und durch Gleichsetzen
beider Parametergleichungen versuchen, diese zu bestimmen. Einen einzigen
Schnittpunkt kann es jedoch nicht geben; schneiden sich zwei Ebenen, so gibt es
unendlich viele gemeinsame Punkte, die alle auf einer Geraden - der
Schnittgeraden - liegen. Das entstehende unterbestimmte Gleichungssystem
aus drei Gleichungen mit vier Variablen (je zwei Parameterwerte pro
Ebenengleichung) hat also immer entweder unendlich viele oder aber gar keine
Lösung.
Bsp.: Weisen Sie nach, dass die Ebenen E3:
und
E4:
identisch
sind!
I 2 + 3r + s = 18 + 2λ
+ 4μ
I 3r + s - 2λ
- 4μ
= 16 I 3r + s - 2λ
- 4μ = 16 I 3r
+ s - 2λ
- 4μ = 16 II 1
+ s = 2 - λ + μ
II s
+ λ - μ =
1
II s
+ λ - μ =
1
II s
- λ + μ = 1 III
r + s =
6 + 2μ
III r + s -
2μ = 6 III
- 2s - 2λ + 2μ = -2 III
0 = 0
Die
Tatsache, dass hier eine Gleichung wegfällt, deutet auf zwei frei wählbare
Variablen und damit auf zweimal unendlich viele Lösungen hin. Dies ist sicher
ein Indiz dafür, dass beide Ebenen identisch sind. Eine weitere Untersuchung
der Lagebeziehung mittels von Vektoreigenschaften ist möglich aber aufwendig.
|
E1:
E2:
|
E1 echt parallel zu E2
|
E1 und E2 sind
identisch
|
E1 schneidet E2 in
Gerade s
|
| Vektor-
eigenschaften |
|
Spannvektor c ist kom- planar
zu den Spannvek- toren u und v |
|
Spannvektor d ist kom- planar
zu den Spannvek- toren u und v |
|
Verbindungsvektor PoQo ist nicht
komplanar zu u und v (bzw. zu c und d) |
|
|
Spannvektor c ist kom- planar
zu den Spannvek- toren u und v |
|
Spannvektor d ist kom- planar
zu den Spannvek- toren u und v |
|
Verbindungsvektor PoQo ist komplanar zu
u und v (bzw. zu c und d) |
|
|
Spannvektor c oder Spannvektor d ist nicht
komplanar zu den Spannvektoren u und v |
|
| Lösungen des Gls |
keine Lösung
L = Ø |
zweimal unendlich viele Lösungen
(zwei frei wählbare Variablen)
L = {[λ(r,s)|μ(r,s)|r|s]} |
einmal unendlich viele Lösungen
(eine frei wählbare Variable)
L = {[λ(s)|μ(s)|r(s)|s]} |
Mit dem Zusammenhang zwischen den zwei Parameterwerten einer
Ebenengleichung (z.B. zwischen r und s)
kann man im dritten Fall die Gleichung der Schnittgerade s ermitteln.
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Koordinatengleichung
einer Ebene - Achsenabschnittsform
In Anbetracht der Schwierigkeiten bei der Untersuchung der Lagebeziehung
zwischen Ebenen lohnt es sich, nach geeigneteren Beschreibungsmethoden für
Ebenen zu suchen. Vor allem die Vielzahl der Parameterwerte erschwerte die
Rechnung; es wäre also schön, wenn man eine parameterfreie Darstellung einer
Ebene finden könnte. Wie man das erreichen kann, soll hier an einem Beispiel
gezeigt werden:
Ebene E:
zunächst in Parameterform auch umformbar in:
I
x1 = 2 + λ
+ 3μ I λ
+ 3μ - x1
= -2 I λ + 3μ
- x1
= -2 I λ + 3μ
- x1
= -2 II x2 = -2 - λ + 3μ
II
-λ + 3μ - x2
= 2
II 6μ
- x1- x2
= 0
II 6μ
- x1- x2
= 0 III x3
= λ
+ μ III λ
+ μ - x3
= 0 III
2μ - x1 + x3 = -2
III
2x1- x2
-
3x3
= 6
Die Ebene E kann also auch parameterfrei mit einer Gleichung beschrieben
werden. Die Variablen x1
, x2
und
x3
stehen dabei für die Koordinaten eines beliebigen Ebenenpunktes (bzw.
dessen Ortsvektors), deshalb nennt man diese Form der Ebenengleichung auch Koordinatenform:
A·x1
+ B·x2
+
C·x3 + D = 0
Es
gibt zwar zu einer Ebene E (ähnlich wie bei der Parameterform) auch
unendlich viele richtige Koordinatenglei- chungen, diese aber gehen durch
Multiplikation (bzw. Division) mit einer reellen Zahl auseinander hervor.
Es existiert also zu einer Ebene E genau eine weitestgehend
"heruntergekürzte" Koordinatengleichung mit ganz- zahligen
Koeffizienten. Diese kann man unter Nutzung der Tatsache, dass die Spannvektoren
der Ebene sowie der Verbindungsvektor vom gegebenen zum beliebigen Ebenenpunkt
PX in der Ebene E liegen, also komplanar sind, auch auf folgendem Wege
ermitteln:
| D
=
= 0 |
|
0 = 3·x3 +
3·(x2 + 2) - 1·(x1 - 2) - [ 3·(x1 - 2) +
1·(x2 + 2) - 3·x3 ] |
|
0 = 3x3 + 3x2 + 6 - x1 + 2 - [ 3x1 -
6 + x2 + 2 - 3x3
] |
|
0 = 3x3 + 3x2 - x1 + 8 - [ 3x1 + x2
- 3x3 -
4] |
|
0 = 3x3 + 3x2 - x1 + 8 - 3x1 - x2
+ 3x3 +
4 |
|
0 = - 4x1 + 2x2 + 6x3 + 12
/:2 |
|
0 = - 2x1 + x2 + 3x3 +
6 |
Koordinatengleichung der Ebene E: -
2x1 + x2 + 3x3 = -6 unterscheidet
sich von der obigen nur um Faktor (-1)
Ganz eindeutig wird die Zuordnung zwischen Ebene E und einer
Koordinatengleichung, wenn man diese in die sogenannte "Achsenabschnittsform"
(AAF) bringt. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass ihr Absolutglied 1 be- tragen
muss, was in der Regel eine Division mit dem vorhandenen Absolutglied
erforderlich macht. Bringt man dann die Koeffizienten nach der
Doppelbruchregel unter die Koordinaten x1
, x2
und
x3 ,
so lassen sich dort die "Achsenabschnitte"
ablesen - also auf jeder Koordinatenachse die Strecke vom Koordinatenursprung
(Oregon) bis zum Schnittpunkt der Ebene mit dieser Koordinatenachse. Verbindet
man diese Achsenpunkte, erhält man das sogenannte "Spurdreieck"
- ein Ebenenausschnitt, der die Lage der Ebene im räumlichen
Koordinatensys- tem veranschaulicht.
- 2x1 + x2
+ 3x3 = -6 /:(-6)
]
AAF Achsenpunkte: A1(3|0|0)
A2(0|-6|0) A3(0|0|-2)
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Lagebeziehung
zwischen Ebenen(Koordinatenform), Punkten und Geraden
Unter Verwendung der Koordinatengleichung einer Ebene gestalten sich alle
Lagebeziehungsuntersuchungen einfacher, weil meistens keinen Gleichungssysteme,
sondern nur einzelne Gleichungen zu lösen sind.
| Ebene - Punkt |
Nur solche Punkte, deren Koordinaten die Koordinatengleichung einer Ebene
erfüllen (d.h. in eine wahre Aussage überführen) liegen in der Ebene.
Liegt
Punkt Q(5|7|2) in der Ebene
E1?
Liegt
Punkt P(7|5|-3) in der Ebene
E1?
Ebene
E1:
Parameterform
Ebene E2:
-5x1 - 2x2 + 8x3 =
-23
Koordinatenform
8x1 + 9x2 - 7x3 = 9
-5·5 - 2·7 + 8·2
= -23
Einsetzen der Punktkoordinaten
8·7 + 9·5 - 7·(-3)
= 9
-23 = -23 w.A.
Prüfen des Wahrheitsgehaltes
122 =
9 f.A.
Q(5|7|2) liegt auf E1
P(7|5|-3) liegt nicht auf E2
| Ebene
- Gerade
|
Auch
diese Aufgabenstellung läuft am Ende auf eine Punktprüfung hinaus. Es wird
geprüft, ob einer der beliebigen Geradenpunkte in der Ebene E liegt.
Bsp.: Untersuche
die Lagebeziehung zwischen der Gerade g:
und der Ebene E:
Zuerst
verwandeln wir die Gleichung der Ebene E in die Koordinatenform: x1
- 3x2 + x3 = 3 (für Geraden ist
dies im dreidimensionalen Raum nicht möglich). Danach wandeln wir die Geradengleichung so um, dass die
Koor- dinaten des
beliebigen Geradenpunktes erkennbar werden:
Koordinaten des beliebigen Geradenpunktes
X(1+r|r|3+r)
Nun
setzen wir diese Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein, und
berechnen den Geradenpa- rameter r so, dass der zugehörige Geradenpunkt auch
Ebenenpunkt ist. Gelingt dies, können wir den Schnitt- punkt zwischen Gerade
und Ebene berechnen, in dem wir diesen Parameterwert in die Geradengleichung
zurück einsetzen:
(1
+ r) - 3·(r) + (3 + r)
= 3 1 +
r - 3r + 3 + r = 3 -r + 4 =
3 r = 1
S(2|1|4)
|
E:
Ax1 + Bx2 + Cx3 = D
g:
|
g echt parallel zu E |
g liegt in E |
g schneidet E in Punkt S |
| Vektor-
eigenschaften |
|
Richtungsvektor u ist orthogonal
zum Norma- lenvektor n der Ebene |
|
Geradenaufpunkt P liegt nicht in Ebene |
|
|
Richtungsvektor u ist orthogonal
zum Norma- lenvektor n der Ebene |
|
Geradenaufpunkt P liegt in Ebene |
|
|
Richtungsvektor u ist nicht orthogonal
zum Normalenvektor n der Ebene |
|
| Lösungen des Gls |
Widerspruch z.B.: 0 = -3
keine Lösung L = Ø |
wahre Aussage z.B.: 4 = 4
unendl.viele Lösungen L = R |
r = -2
eindeutige Lösung L = {r} |
| Ebene - Ebene |
Die Übereinstimmung zweier Ebenen ist wegen der relativen
Eindeutigkeit der Koordinatengleichung sofort ablesbar; die anderen beiden
Lagebeziehungsfälle sind aus dem Gleichungssystem - bestehend aus den beiden
Koordinatengleichungen der Ebenen - ableitbar.
Bsp.: Weisen Sie nach, dass die Ebenen E3:
und
E4:
identisch
sind!
I 3r + s - x1 =
-2 I 3r + s -
x1 =
-2
D =
=
0
II
s - x2
= -1
II
s - x2
=
-1
0 = 2·(x3-6) -2·(x1-18) -[4·(x2 -2) -4·(x3-6)]
III
r + s - x3
= 0 III
-2s - x1+ 3x3 = -2
0 = 2x3 - 2x1 + 24 - [ 4x2 - 4x3 +
16]
I 3r + s - x1 =
-2
0 = -2x1 - 4x2 + 6x3 + 8 / :(-2)
II
s - x2
=
-1
0 = x1 + 2x2 - 3x3 - 4
III
-x1 - 2x2 + 3x3
= -4 die beiden
Koordinatengleichungen x1
+ 2x2 - 3x3 = 4
von
E3 und E4 sind bis auf den Faktor (-1) identisch,
damit sind es die Ebenen
auch
|
E1:
Ax1 + Bx2 + Cx3 = D E2:
ax1 + bx2 + cx3 = d
|
E1 echt parallel zu E2 |
E1 und E2 sind
identisch |
E1 schneidet E2 in
Gerade s |
| Vektor-
eigenschaften |
|
Normalenvektor n1 ist
kollinear zum Normalen- vektoren n2 |
|
ein beliebiger Punkt der Ebene E1 liegt
nicht in der Ebene E2 |
|
nur die linken Seiten beider
Koordinatengleichungen gehen durch Multiplikation bzw. Divi- sion mit
einer reellen Zahl aus- einander hervor |
|
|
Normalenvektor n1 ist kollinear
zum Normalen- vektoren n2 |
|
ein beliebiger Punkt der Ebene E1 liegt
auch in der Ebene E2 |
| beide Koordinatengleichungen gehen durch
Multiplikation bzw. Division mit einer reellen Zahl auseinander hervor |
|
|
Normalenvektor n1 ist nicht kollinear
zum Normalenvektoren n2 der anderen Ebene |
|
| Lösungen des Gls |
Widerspruch in Zeile 2
keine Lösung
L = Ø |
wahre Aussage in Zeile 2
zweimal unendlich viele Lösungen
(zwei frei wählbare Variablen) L = {[x1(x2,x3)|x2|x3]} |
einmal unendlich viele Lösungen
(eine frei wählbare Variable)
L = {[x1(x3)|x2(x3)|x3]} |
Ersetzt man im dritten Fall die frei wählbare Variable x3
durch den Geradenparameter r ,kann man aus dieser Lösungsmenge die Gleichung
der Schnittgerade s ableiten.
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Schnittgerade
zweier Ebenen
Das Verfahren zur Bestimmung der Schnittgeradengleichung zweier Ebenen
hängt von der Art der gegebenen Ebenengleichungen ab:
| beide Ebenen in Parameterform |
Setzt man die Parametergleichungen zweier Ebenen gleich, erhält man nach
den Gaußschen Umformungen eine Beziehung zwischen den beiden Parameterwerten
einer der beiden Ebenen. Stellt man diese Beziehung nach einem Parameter um und
setzt diese in die entsprechende Ebenengleichung ein, erhält man eine Para-
metergleichung mit nur noch einem Parameterwert - die Gleichung der
Schnittgerade s.
Bsp.: Bestimmen Sie für die Ebenen E:
und
F:
die Gleichung der Schnittgerade s!
I 2 + 2r + s = 1 + λ
- 2μ
I 2r + s - λ + 2μ
= -1 I 2r + s -
λ + 2μ
= -1 I 2r + s -
λ + 2μ
= -1 II 2 + 2s = 1 +
λ + 5μ II
2s - λ - 5μ = -1 II 2s -
λ
- 5μ = -1
II 2s - λ - 5 μ =
-1 III 2 + 5r + 3s = 5 - 3λ + 2μ III 5r +
3s + 3λ -
2μ = 3 III
s -11λ +14μ = -11 III -23λ
+ 23μ = -23
· aus Gleichung III folgt: λ
- μ = 1 und umgestellt also λ = μ
+ 1 setzt man dies in die Gleichung der Ebene
F ein:
so lautet
eine
Gleichung der Schnittgerade s also:
· aus Gleichung III aber auch möglich: -λ
+ μ = -1 und umgestellt also μ = λ
- 1 setzt man dies in die Gleichung der Ebene
F ein:
so lautet
eine andere Gleichung derselben Schnittgerade s also:
beide
Geradengleichungen beschreiben dieselbe Gerade, weil sie im Richtungsvektor
übereinstimmen und ihr Verbindungsvektor ein Vielfaches des Richtungsvektors
ist (also kollinear zu diesem ist). Es handelt sich also um identische Geraden,
was auch über eine Punktprobe prüfbar wäre.
| eine Ebene in Parameterform - eine Ebene in
Koordinatenform |
Der rechentechnisch günstigste Fall: Man fasst die
Parametergleichung der einen Ebene zu einem Vektorterm zusammen und setzt dessen
Koordinaten in die Koordinatengleichung der anderen Ebene ein. Im Ergebnis
erhält man wieder eine Beziehung zwischen den Parameterwerten der einen
Ebenengleichung und kann wie oben gesehen weiterrechnen.
Bsp.: Bestimmen Sie für die Ebenen E:
und
F:
5x1
+ 2x2 + x3 = -8 die Gleichung der Schnittgerade s!
Umformung der
Parametergleichung von Ebene E: 
Einsetzen in Koordinatengleichung von Ebene
F: 5·(3+2λ-μ) + 2·(1-λ) + (5+3μ) =
-8
15 +10λ - 5μ + 2 - 2λ
+ 5 + 3μ = -8
·aus der letzten Gleichung folgt: 8λ
- 2μ
= -30 und umgestellt also
μ = 4λ +15 setzt man dies in die
Gleichung der Ebene
E ein:
so lautet
eine
Gleichung der Schnittgerade s also:
| beide Ebenen in Koordinatenform |
Stellt man aus den beiden Koordinatengleichungen ein unterbestimmtes
Gleichungssystem mit zwei Gleichungen aber drei Variablen zusammen und ermittelt
dessen allgemeine Lösungsmenge in Abhängigkeit einer frei wählbaren
Variablen, so kann aus dieser Lösungsmenge auf die Gleichung der Schnittgerade
geschlossen werden.
Bsp.: Bestimmen Sie für die Ebenen E und
F die Gleichung der Schnittgerade s , wenn die Ebenen durch folgende Gleichungen
gegeben sind : Ebene
E 2x + 3y - z =
1 und
Ebene F 5x + y + z = 3
I 2x + 3y - z =
1
I 2x + 3y - z =
1
2x + 3·(7/13·z-1/13) - z =
1 x = -4/13·z + 8/13
II 5x + y + z = 3
II -13y + 7z = 1
y = 7/13·z - 1/13
L = {[-4/13·z+ 8/13|7/13·z
- 1/13|z]}
Dies sind die Koordinaten aller gemeinsamen Punkte der Ebenen E und F.
Ersetzt man nun z durch eine für Geradenparametergleichungen typischen
Variable (z.B. t) und schreibt die drei Koordinaten im Sinne eines
Ortsvektors senkrecht untereinander, ergibt sich eine Geradengleichung:
und
kann dann noch den Richtungsvektor ganzzahlig machen.
Schnittgerade
s:
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Das
Skalarprodukt zweier Vektoren
Wie kann man nun die Multiplikation zweier Vektoren
definieren???
Zunächst einmal muss man festhalten, dass mathematische
Definitionen nicht mit den Kategorien "wahr" oder "falsch"
beurteilt werden können. Jeder Mathematiker hat das Recht, das Produkt zweier
Vektoren nach seinen Ideen neu zu definieren. Gibt es jedoch für diese
"neue" Definition keinerlei sinnvolle Anwendungs- möglichkeiten, so
wird diese schnell wieder in Vergessenheit geraten.
Es gibt drei verschieden Arten, das Produkt zweier Vektoren
zu definieren:
| das Skalarprodukt (ein Skalar; eine
Zahl) |
| das Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt (ein
Vektor)
im LK zu behandeln |
| das Spatprodukt (eine Zahl)
im LK zu behandeln |
Bildet man das Produkt zweier Vektoren 
und
nach
der Vorschrift:
, so nennt man das Ergebnis das Skalarprodukt
der Vektoren a und b. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl.
Bsp.:
wenn 
,
und
, so
Für
das skalare Multiplizieren von Vektoren gelten folgende Rechenregeln:
-
Kommutativgesetz
-
eine Art Assoziativgesetz
-
Distributivgesetz
-
das
Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst entspricht dem Quadrat seines
Betrages
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Anwendungen des
Skalarprodukts
C bezeichnen wir die gerichtete
Strecken AB als Vektor a; AC als Vektor b und BC als Vektor c
A
B
so gilt zum einen
nach dem Cosinussatz:
andererseits
gilt nach der Definition des Skalarproduktes:
Im Vergleich beider Gleichungen erhält man:
und
damit eine zweite Art der Skalarproduktdefinition. Sie liefert dieselben
Ergebnisse wie die obige Definition, hat aber unter bestimmten Umständen einige
Vorteile. So eröffnet sie uns die Möglichkeit, im dreidimensionalen Raum
diverse Winkel zu berechnen:
(Winkel
zwischen zwei Vektoren)
Aus cos90° = 0 folgt
außerdem:
wenn
, so
und umgekehrt. (orthogonale Vektoren)
Auch
in der Physik werden viele skalare physikalische
Größe über das Skalarprodukt zweier vektorieller
physikalischer Größen definiert. Als Beispiele seien hier nur genannt:
| Arbeit
W als Skalarprodukt von Kraftvektor F und Wegvektor s |
| magnetischer Fluss Φ als Skalarprodukt von magnetischer
Flussdichte B und Flächenvektor A |
Eine weitere Anwendung des Skalarproduktes ermöglicht
uns die Berechnung der Flächeninhalte von Parallelo- grammen und Dreiecken
unter Kenntnis der Eckpunktkoordinaten.
| Flächeninhalt
eines Parallelogramms:
 ;
wobei die Vektoren
a,b für die beiden nichtparallelen Seiten stehen |
| Flächeninhalt
eines
Dreiecks:
;
wobei die Vektoren
a,b für zwei beliebige der drei Dreiecksseiten stehen
|
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Innenwinkel
von Figuren, Schnittwinkel von Geraden
| Innenwinkel von Figuren und Körpern |
Schnittwinkel von Geraden |
|
P
Q 
R |
g 
h |
|
Zur Berechnung des Innenwinkels PQR einer geometrischen
Figur stellt man vom Scheitel- punktes des Winkels zwei Vektoren entlang der
Schenkel auf und berechnet dann den Winkel zwischen diesen beiden
Vektoren:
|
Der Schnittwinkel an zwei sich schneidenden Geraden wird
durch die Lage ihrer Richtungsvektoren bestimmt. Bei nichtorthogonalen Vek-
toren entstehen dabei stets zwei verschieden große Winkel am Schnittpunkt S, von denen man den kleineren als den Schnittwinkel
bezeichnet und demzufolge mittels Betragstrichen berechnen muss:
|
|
|
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Jahrgangsstufe:
13
Semester: II
Normalenform
der Ebenengleichung
| Ist eine Ebene E durch einen Punkt Po und einen
Vektor n gegeben, der senkrecht zur Ebene steht, so gilt für beliebige
Ebenenpunkte X und ihre Ortsvektoren folgenden Gleichung:
Normalenform
der Ebenengleichung:
Vektor n - Normalenvektor
Dabei
wird die Tatsache genutzt, dass für jeden in der Ebene E liegenden Punkt
X der Verbin- dungsvektor zum ebenfalls in der Ebene liegenden Punkt Po
orthogonal zum Normalenvektor n der Ebene stehen muss.
|
|
geg.:
und
P(4|1|3) definieren eine Ebene E ges.: Normalen-
und Koordinatenform der Ebenengleichung
aus
 wird
und über
schließlich 2(x-4) - (y-1) + 5(z-3) = 0
und
daraus die Koordinatenform der Ebenengleichung: 2x
- y + 5z
= 22 und dabei fällt auf, dass sich die Koordinaten des
Normalenvektors n in den Koeffizienten der
Koordinatengleichung der Ebene wiederfinden.
|
| Dies erleichtert auch die Umformung in
umgekehrter Reihenfolge:
geg.: Koordinatengleichung der Ebene E 2x
+ 5y + 3z
= 13 ges.: Normalenform der Ebenengleichung
wir lesen zunächst den Normalenvektor aus den Koeffizienten vor x, y
und z ab:
 und
bestimmen aus der Koordinatengleichung die Koordinaten
eines beliebigen, in der Ebene liegenden
Punktes P, z.B. P(1|1|2) weil 2·1
+ 5·1 + 3·2
= 13 w.A. daraus wird dann die Normalenform der Ebenengleichung der
Ebene E:
|
| auch die Parameterform einer Ebenengleichung
kann man in die Normalenform umformen:
geg.:
Parametergleichung
der Ebene E
ges.:
Normalenform der Ebenengleichung
wir
suchen zunächst einen Vektor
, der zu den beiden Spannvektoren
und
orthogonal ist
aus
 und
folgt das unterbestimmte Gleichungssystem:
 und aus ihm
die unendlich große Lösungsmenge: L = {[-2n3|8/5·n3|n3]}
mit frei wählbarer z-Koordinate des daraus
ableitbaren Normalenvektors; also ist
ein möglicher Normalenvektor der Ebene E und damit folgt für die
Normalenform der Ebenengleichung:
Man
wird freilich in den meisten Fällen die Parameterform einer
Ebenengleichung sowieso erst mal in die Koor- dinatenform überführen und
daraus ist dann ganz schnell die Normalenform der Ebenengleichung
gewonnen.
|
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Schnittwinkel
zwischen Ebenen und Gerade
Mit der Normalenform der Ebenengleichung ist es nun auch möglich,
Schnittwinkel bei Beteiligung von Ebenen auszurechnen. Dies ist aus der
Parametergleichung einer Ebene nicht möglich, weil z.B. die Winkel zwischen dem
Richtungsvektor einer Gerade und je einem Spannvektor der Ebene in der Regel
nicht gleich sind, und somit die Definition eines eindeutigen Schnittwinkels
zwischen Gerade und Ebene sehr schwierig wird.
| Schnittwinkel zwischen Gerade
und Ebene |
Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen |
|
|
Gerade g:
Ebene E:
für
den Schnittwinkel φ
gilt:
|
Ebene E1:
Ebene E2:
für
den Schnittwinkel φ
gilt:
|
 |
Bsp.: Gerade g:
Ebene E: 
wenn
eine Winkelberechnung erforderlich ist, lohnt es die Gleichung der Ebene
in die Koordinatenform umzuwan- deln, da auch die Schnittpunktsberechnung
dadurch einfacher wird
aus
 folgt für
E: x+y+3z = 12
g
in E: (-6 + 4r) +
(6 - r) + 3(-2 + 2r) = 12
9r - 6 = 12
r = 2 eingesetzt in g: S(4|2|4)
aus
und 
folgt
φ = 36,3°
g schneidet E im Punkt S(2|4|2) unter einem Winkel von 36,3° |
Bsp.: Ebene E1:
Ebene E2:
auch
hier ist es wegen der Winkelberechnung erforderlich, beide Gleichungen in die Koordinatenform
umzuwandeln, für die Schnittgeradenberechnung kann man sich dann eine
günstige Konstellation aussuchen
aus
folgt für E1: -x+2y+z = 3
aus
folgt für E2: -3x+3y-
2z=-5
E2
in E1: -(3
- r - 3s) + 2(2 - r - s) +
(1 + 3s) = 3
-r + 4s + 2 = 3
und r = 4s - 1
eingesetzt in E2 ergibt sich:
aus
und
folgt
φ =
52,5°
E1 schneidet E2 in der Gerade s:
unter einem Winkel von 52,5° |
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Hessesche
Normalform der Ebenengleichung
Sowohl die Koordinatenform als auch die Normalenform einer Ebenengleichung
kann man noch weiter umformen, so dass die entstehende Gleichung gut zum
Berechnen von Abständen in der Analytischen Geometrie geeignet ist. Dabei
spielt der Betrag des Normalenvektors eine entscheidende Rolle, weil durch die
Division mit selbigem ein Normalen- vektor (beliebiger Länge) auf die Länge
1(LE) normiert werden kann.
| Koordinatenform der Ebenengleichung |
|
Normalenform der Ebenengleichung |
|
A·x + B·y + C·z =
D
A·x + B·y + C·z - D = 0
|
Normalenvektor
Betrag
des Normalenvektors
Normaleneinheitsvektor
Hesse'sche
Normalform der Ebenengleichung
|
|
| Bsp.: Ebene E 4x - 5y + 3z =
12
4x - 5y + 3z - 12 = 0
|
Hesse'sche Normalform
|
Bsp.:
Ebene E 
|
| Setzt man hier für x, y und z die Koordinaten eines
beliebigen Ebenenpunktes ein, erhält man die wahre Aussage 0 = 0 |
|
Setzt
man hier für den Vektor x den Orts- vektor eines beliebigen Ebenenpunktes
ein, erhält man die wahre Aussage 0 = 0 |
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Abstand
zwischen einem Punkt und einer Ebene
Zur Berechnung des Abstandes zwischen einer Ebene E und einem nicht auf der
Ebene liegenden Punktes P benötigt man normalerweise folgende Rechenschritte:
|
| aufstellen einer Gleichung einer Lotgerade l, welche den Punkt P
enthält und senkrecht zur Ebene E verläuft |
| berechnen des Schnittpunktes F der Lot- gerade l mit der Ebene E |
| berechnen des Abstandes der Punkte P und F (oder berechnen der
Länge des Vektors PF) |
|
Bsp.: Ebene E 5x - 4y + 20z =
20 P(-1|4|3)
Lotgerade l durch P:
Schnittpunktsberechnung:
5(-1+5s) - 4(4-4s) + 20(3+20s) = 20
s = -19/441
F(536/441|1840/441|943/441)
Abstand
PF: PF = √(95/441)2 + (76/441)2 +
(380/441)2 = 399/441 = 19/21 |
Dies führt zwar zum Erfolg, erscheint aber doch recht umständlich. Mit der
Hesse'schen Normalform der Ebenen- gleichung geht das einfacher; setzt man in
diese die Koordinaten eines nicht auf der Ebene liegenden Punktes ein, so ergibt
sich ein Wert ungleich Null, der genau dem Abstand des Punktes von der Ebene
entspricht.
| Bsp.: Ebene E 5x - 4y + 20z =
20 P(-1|4|3)
5x - 4y + 20z - 20 = 0
d(P;E) =
d(P;E) = 19/21 (LE)
|
Bsp.: Ebene E
P(-1|4|3)
aus
wird
d(P;E)
=
d(P;E)
=
|-25/21 + 4/21 + 40/21| = 19/21
(LE)
|
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Abstand
zwischen einem Punkt und einer Gerade
Zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Gerade g gibt es mehrere
Rechenverfahren; in allen Varianten spielt die Tatsache, dass die kürzeste
Entfernung des Punktes zur Gerade senkrecht auf der Gerade steht.
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Besondere
Lage von Ebenen im Koordinatensystem
Im Allgemeinen besitzt jede Ebene drei Achsenpunkte und
drei Spurgeraden und kann mit Hilfe des Spurdreiecks in einem räumlichen
Koordinatensystem veranschaulicht werden.
Dabei bezeichnet man den Schnittpunkt zwischen der Ebene E
und einer der Koordinatenachsen als Achsen- punkt;
die Schnittgerade zwischen der Ebene E und einer der Koordinatenebenen
nennt man Spurgerade. Die Gleichung einer
Spurgeraden kann sowohl in Form einer vektoriellen Parametergleichung im Raum
als auch als parameterfreie Gleichung in der jeweiligen Koordinatenebene
angegeben werden.
| 3x + 2y +
4z = 6 Gleichung der Ebene
E in Koordinatenform
AAF:
Achsenpunkte: A1(2|0|0)
A2(0|3|0) A3(0|0|1,5)
| Spurgeraden:
|
Parameterform |
parameterfrei |
|
s12:
|
|
y = -3/2·x + 3
|
|
s13:
|
|
z =
-3/4·x + 3/2
|
|
s23: |
|
z =
-1/2·y + 3/2 |
|
|
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Systematisierung:
analytische Geometrie
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Wiederholung Differentiationsregeln:
| Differentiationsregel |
Kurzform |
Beispiel |
| Potenzregel
f(x) = xn |
(xn)'
= n·xn-1 |
f(x) = x6
f'(x) = 6·x5 |
| Faktorregel
f(x) = c·u(x) |
(c·u)'
= c·u' |
f(x) = 0,5·x6
f'(x) =0,5·6·x5 = 3·x5 |
| Konstantenregel f(x)
= c |
(c)'
= 0 |
f(x) =
7
f'(x) = 0 |
| Summenregel f(x)=u(x)+v(x) |
(u+v)' = u'
+ v' |
f(x) = 4x3 - 0,5x2
f'(x) = 12x2 - x |
| Produktregel
f(x)=u(x)·v(x) |
(u·v)' = u'·v
+ u·v' |
f(x) = (x2-1)·x3
f'(x) = 2x·x3+(x2-1)·3x2
= 5x4-3x2 |
| Kettenregel
f(x) = u(v(x)) |
(u(v))'= u'(v)
· v' |
f(x) = (x3+2)2
f'(x) = 2·(x3+2)·3x2
= 6x5+12x2 |
| Exponentialfkt. f(x)
= ax |
(ax)'
= ax·lna |
f(x) = 3x
f'(x) = 3x·ln3 |
| e -
Funktion f(x)
= ex |
(ex)'
= ex |
f(x) = 5·ex
f'(x) = 5ex |
Wiederholung Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen:
Bsp.: f(x) = ¼·x4
- 2x2 + 7/4
f '(x) = x3 - 4x f
''(x) = 3x2 - 4 f '''(x) = 6x
| allgemeine Schrittfolge |
f(x) = ¼·x4 - 2x2 +
7/4 |
graphische Darstellung |
| 1. Definitionsbereich |
DB = {x | x R}
oder DB = R |
 |
| 2. Symmetrie |
f(-x) = ¼·(-x)4-2(-x)2+7/4
= ¼·x4-2x2+7/4 = f(x)
Gf ist axialsymmetrisch zur y-Achse |
| 3. Nullstellen |
aus f(x) = 0 = ¼·x4 - 2x2
+ 7/4 = ¼·z2 - 2z + 7/4
folgt z1 = 1 und z2 = 7 und damit hat Gf
die Nullstellen: xN1=-√7 xN2=-1
xN3=1 xN4=√7 |
| 4. Extrempunkte |
aus f '(x) = 0 = x3 - 4x = x·(x2
- 4) folgt Gf hat die mög-
lichen Extremstellen: xE1=-2 xE2=0
xE3=2 und mit f
''(-2)=f ''(2)=8 und f ''(0)=-4 folgt Gf hat die Extrem-
punkte: T1(-2|-2,25) H(0|1,75) T2(2|2,25) |
| 5. Wendepunkte |
aus f ''(x) = 0 = 3x2 - 4
folgt Gf hat die möglichen Wende- stellen: xW1=-√4/3 und xW2=√4/3 und
mit f '''(-1,15) ≠ 0 und f '''(1,15) ≠ 0 folgt Gf hat
die Wendepunkte: W1(-1,15|-0,47) W2(1,15|-0,47) |
| 6. Verhalten im Unendlichen |
 der
Graph Gf hat an beiden Rändern des Koordinatensys- tems große
positive Funktionswerte
|
| 7. Wertetabelle |
es genügt, noch f(3) = f(-3) = 4 auszurechnen |
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n
für x>1 gilt:
, so
dass für jedes 
und
Richtungsvektor
sind nicht kollinear, weil es keinen einheitlichen Faktor k gibt mit v
= k·u die Geraden
sind weder parallel noch identisch
die Geraden schneiden einander in einem Punkt
(
