Übungen - Mathematik Klasse 11-I GK

Übung: Länge einer Strecke

Aufgabe: Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC mit A(1|2), B(2|1) und C(3|3) gleichschenklig ist!

AB = √(2-1)²+(1-2)² = √2 AC = √(3-1)²+(3-2)² = √5 BC = √(3-2)²+(3-1)² = √5 AC = BC ∆ABC gleichschenklig

Aufgabe: Welche Punkte auf der x-Achse haben vom Punkt P(7|8) den Abstand 10 (LE)?

Q(x|0) ist beliebiger Punkt auf x-Achse

0 = √(7-x)²+(8-0)² 100 = (7-x)² + 64 36 = x² - 14x + 49 0 = x² - 14x + 13

x₁ = 1 und x₂ = 13 also haben die Punkte Q₁(1|0) und Q₂(13|0) zum Punkt P den Abstand 10

Aufgabe: Weisen Sie mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Pythagoras durch Abstandsberechnungen nach, dass das Dreieck ABC mit A(3|1) , B(12|4) und C(1|7) rechtwinklig ist!

AB =√(12 -3)²+(4-1)²= √81+9 = √90 BC =√(1 -12)²+(7-4)²= √121+9 = √130 AC =√(1 -3)²+(7-1)²= √4+36 = √40

wegen AB² + AC² = 90 + 40 = 130 = BC² folgt nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras Dreieck ABC rechtwinklig

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Übung: Mittelpunkt einer Strecke

Aufgabe: Prüfen Sie, ob sich im Viereck ABCD mit A(3|-3), B(2|0), C(-1|1), D(0|-2) die Diagonalen halbieren! Um welche Art Viereck müsste es sich dann handeln?

M_AC(1|-1) M_BD(1|-1) Diagonalen halbieren sich tatsächlich; es müsste ein Parallelogramm sein

Aufgabe:

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Übung: Steigung einer Strecke

Aufgabe: Zeigen Sie, dass im Viereck ABCD mit A(-3|1), B(-1|-5), C(3|-2), D(4|5) die Diagonalen senkrecht zueinander verlaufen! Um welche Art Viereck müsste es sich dann handeln?

m_AC = (-2 - 1)/(3 - (-3)) = -3/6 = -½ m_BD = (5 - (-5))/(4 - (-1)) = 10/5 = 2 m_AC·m_BD = -½·2 = -1 Diagonalen stehen senkrecht aufeinander; es müsste sich um ein Drachenviereck handeln

Aufgabe: Bestimmen Sie im Dreieck ABC mit A(-4|-2), B(4|-1) und C(-1|4) die Steigungen der drei Höhen!

m_AB = (-1+2)/(4+4) = ⅛ m_hc = -8

m_BC = (4+1)/(-1-4) = -1 m_ha = 1

m_Ac = (4+2)/(-1+4) = 2 m_hb = -½

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Übung: Innenwinkel von Figuren

Aufgabe: Bestimmen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC mit A(-4|3), B(-1|-3) und C(5|-2)!

m_AB = -2 α_c = 116,6° m_BC = 1/6 α_a = 9,5° m_Ac = -5/9 α_b = 150,9°

α = α_b - α_c = 150,9° - 116,6° = 34,3° β = α_c - α_a = 116,6° - 9,5° = 107,1° γ' = α_b - α_a = 150,9° - 9,5° = 141,4°

γ' ist wieder der Nebenwinkel (wie man nur durch eine Skizze erkennt); γ = 180° - γ' = 180° - 141,4° = 38,6°

Aufgabe:

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Übung: Geradengleichungen

Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden g, welche durch P(5|-2) und m = - ¾ gegeben ist!

y + 2 = - ¾·(x - 5) y = - ¾·x + 7/4

Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden g, welche den P(-1|-4) enthält und senkrecht zu einer Geraden h mit Anstieg m_h = - 2/7 verläuft!

y + 4 = 7/2·(x + 1) y = 7/2·x - ½

Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden g, welche durch P₁(1|4) und P₂(-4/3|16/3) gegeben ist!

y - 4 = ·(x - 1) y - 4 = - 4/7·(x - 1) y = - 4/7·x + 32/7 4x + 7y = 32 x - 1) y - 4 = - 4/7·(x - 1) y = - 4/7·x + 32/7

Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden g, welche durch P₁(-3|4) und P₂(5|2) gegeben ist, in der kartesischen Normalform, der allgemeinen und der Achsenabschnittsform!

y - 4 = ·(x + 3) y - 4 = -¼·(x + 3) y = - ¼·x + 13/4 x + 4y = 13

Übung: Punktrichtungs- und Zweipunktgleichung

Punktrichtungsgleichung: y - y₁ = m · (x - x₁)	Zweipunktgleichung: y - y₁ = · (x - x₁)
B(-3\|1) m = -7/3 y - 1 = -7/3·(x + 3) y - 1= -7/3·x - 7 /+1 y = -7/3·x - 6 /·3 3y = -7x - 18 /+7x 7x + 3y = -18 /:(-18) -7/18·x - 1/6·y = 1	A(-3\|-1) B(5\|1) y + 1 =· (x + 3) y + 1 = ¼·(x + 3) y + 1 = ¼·x + 3/4 /-1 y = ¼·x - ¼ /·4 4y = x - 1 /-4y + 1 x - 4y = 1
P(2\|3) m = -3/2 y - 3 = -3/2·(x - 2) y - 3 = -3/2·x + 3 /+3 y = -3/2·x + 6 /·2 2y = -3x + 12 /+3x 3x + 2y = 12 /:12 ¼·x + 1/6·y = 1	R(-2\|1) S(4\|4) y - 1 =· (x + 2) y - 1 = ½·(x + 2) y - 1 = ½·x + 1 /+1 y = ½·x + 2 /·2 2y = x + 4 /-x -x + 2y = 4 /:4 -¼·x + ½·y = 1
P(-1\|5) m = 2,5 = 5/2 y - 5 = 5/2·(x + 1) y - 5= 5/2·x + 5/2 /+5 y = 5/2·x + 15/2 /·2 2y = 5x + 15 /-5x -5x + 2y = 15 /:15 -1/3·x + 2/15·y = 1	P(-4\|-6) Q(8\|3) y + 6 =· (x + 4) y + 6 = 3/4·(x + 4) y + 6 = 3/4·x + 3 /-6 y = 3/4·x - 3 /·4 4y = 3x - 12 /-4y + 12 3x - 4y = 12 /:12 ¼·x - 1/3·y = 1

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Übung: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden - Schnittwinkel zweier Geraden

Aufgabe:

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Übung: Besondere Linien im Dreieck

Aufgabe:

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Übung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks

Aufgabe:

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Übung: lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

1. Lösen Sie das Gleichungssystem und machen Sie eine Probe! Lösen Sie Aufgabe a auch graphisch!

a) I 2x - 3y = 7 b) I 5x₁ - 15x₂ = 45 c) I 11a + 5b = 0

II x + 6y = 9 II 7x₁ - 20x₂ = 60 II 13a + 7b = 8

D = 15 D₁ = 69 D₂ = 11 D = 5 D1 = 0 D2 = -15 D = 12 D₁ = -40 D₂ = 88

L = {[23/5|11/15]} L = {[0|-3]} L = {[-10/3|22/3]}

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Übung: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen

2. Für welche Werte des Parameters a ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar?

b) I 3x + 4y = 7 c) I ax + 2y = 5 d) I ax - 2y = a

II 2x - 6y = a + 12 II 8x + ay = 10 II 2x - ay = 2

für alle reellen Zahlen a für alle reellen Zahlen a außer 4 und -4 für alle reellen Zahlen a außer 2 und -2

für a = 4 folgt L_∞ = {[x|-2x + 5/2]} für a = 2 folgt L_∞ = {[x|x-1]}

für a = -4 folgt L = Ø für a = -2 folgt auch L_∞ = {[x|x-1]}

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Übung: Gaußscher Lösungsalgorithmus

I 9x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 3 I 9x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 3 I 9x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 3

II 12x₁ - x₂ + 12x₃ = 6 II - 11x₂ + 24x₃ = 6 II - 11x₂ + 24x₃ = 6 L = {[-2|6|3]}

III 2x₁ + x₂ - 2x₃ = -4 III 5x₂ - 24x₃ = -42 III -144x₃ = -432

I 5x - 2y + 9z = -21 I 5x - 2y + 9z = -21 I 5x - 2y + 9z = -21

II 2x + 3y - 2z = 12 II 19y - 28z = 102 II 19y - 28z = 102 L = {[4|-2|-5]}

III 8x + y + 6z = 0 III 21y - 42z = 168 III -210z = 1050

I 4x₁ + 5x₂ + 2x₃ = 3 I 4x₁ + 5x₂ + 2x₃ = 3 I 4x₁ + 5x₂ + 2x₃ = 3

II -19x₁ - x₂ - 3x₃ = 2 II 91x₂ + 26x₃ = 65 II 91x₂ + 26x₃ = 65 L = {[¼| ½ |¾ ]}

II 7x₁ + 4x₂ + x₃ = 1 III -19x₂ - 10x₃ = -17 III -416x₃ = -312

I 2x - 4y + 5z = 3 I -x + 7y - z = 5 I x₁ + x₂ + x₃ = 3 I 2x₁ - 4x₂ + x₃ = 0

II 3x + 3y + 7z = 13 II 4x - y + z = 1 II 2x₁ + 4x₂ + 5x₃ = 9 II x₁ + 3x₂ + 5x₃ = 0

III 4x - 2y - 3z = -1 III 5x - 3y + z = -1 III 4x₂ + 4x₃ = 8 III 4x₁ - x₂ + x₃ = 0

L = {[1|1|1]} L = {[0|1|2]} L = {[1|1|1]} L = {[0|0|0]}

I u + 3v + w = 19 I 3x + 4y + 6z = -5 I 6x₁ - 5x₂ + 2x₃ = 8 I 2k - 3l + 4m = 10

II -u + v - w = -7 II 2x - 3y - 4z = 2 II -3x₁+10x₂ + 3x₃ = -11 II 3k + 2l - 5m = 7

III 2u + 2v + w = 18 III x + 2y - 4z = 22 III x₂ + 4x₃ = 0 III 7k - 5l + 3m = 9

L = {[2|3|8]} L = {[0|4|-3,5]} L = {[9/26|-14/13|7/26]} L = {[102/11|18|125/11]}

I 3a + 2b + 3c = 9

II 4b - 2c = 10

III 2a - 7b + c = -2

L = {[144/31|39/31|-77/31]}

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Übung: Regel von Sarrus

I 2x - 4y + z = 0 D = (28 + 60 + 4) - (6 + 40 + 28) = (92) - (74) = 18

II -x + 2y - 5z = 7 D₁ = (-148) - (-208) = 60 D₂ = (104) - (81) = 23 D₃ = (-108) - (-80) = -28

III 3x - 4y + 7z = -6 L = {[10/3|23/18|-14/9]}

I -4x₁ + 7x₂ + 9x₃ = -3 D = (120 - 245 - 54) - (-225 - 56 + 126) = (-179) - (-155) = -24

II 3x₁ - 5x₂ - 7x₃ = 6 D₁ = (-67) - (165) = -232 D₂ = (-12) - (244) = -256 D₃ = (248) - (144) = 104

III 5x₁ - 2x₂ + 6x₃ = 1 L = {[29/3|32/3|-13/3]}

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Übung: Manigfaltigkeit der Lösungsmenge

I 3x₁ - 2x₂ - 2x₃ = 2 I 3x₁ - 2x₂ - 2x₃ = 2 3x₁ - 2(-4/7·x₃ + 5/7) - 2x₃ = 2

II -x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 1 II 7x₂ + 4x₃ = 5 x₂ = -4/7·x₃ + 5/7

L = {[2/7·x₃ + 8/7|-4/3x₃ + 5/7|x₃]} x₃ frei wählbare Variable

I -x₁ + x₂ + 2x₃ = 0 I -x₁ + x₂ + 2x₃ = 0 I -x₁ + x₂ + 2x₃ = 0 x₁ = 3x₃ + 3x₃

II x₁ - 3x₂ + 4x₃ = 0 II -2x₂ + 6x₃ = 0 II -2x₂ + 6x₃ = 0 x₂ = 3x₃

III 2x₁ - 4x₂ + 2x₃ = 0 III 6x₂ + 6x₃ = 0 III 0 = 0

L = {[5x₃|3x₃|x₃]} x₃ frei wählbare Variable

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Übung: Gleichungssysteme mit Parametern

I ax + y = a D = -a² - a = 0 -a·(a + 1) = 0 a₁ = 0 a₂ = -1

II ax + z = a D₁ = -a² D₂ = -a²D₃ = -a²

III ay + z = a D₁(0)= 0D₁ (-1)= -1D₂ (0)= 0D₂ (-1)= -1D₃(0)= 0 D₃(-1)= -1

für alle alle reellen Zahlen außer 0 und -1 existiert eine eindeutige Lösung: L ={[ | | ]}

für a = 0 hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen: L = {[0/0|0/0|0/0]}

für a = -1 hat das Gleichungssystem keine Lösung: L = {[-1/0|-1/0|-1/0]}

I 3x - ay + z = a D = 3a -12 = 0 a = 4

II -x + 3y - 2z = 1 D₁ = -4a D₂ = -3a - 4D₃ = -4a

III 5x -12y +7z = -4 D₁ (4)= -16D₂ (4)= -16 D₃(4)= -16

für alle alle reellen Zahlen außer 4 existiert eine eindeutige Lösung: L ={[ | |]}

für a = 4 hat das Gleichungssystem keine Lösung: L = Ø

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Übung: Anwendungsaufgaben zu linearen Gleichungssysteme

Aufgabe: An einer Kinokasse werden Karten in drei Preislagen verkauft: I.Rang für 6€ II.Rang für 7€ und III.Rang für 8€. Bei einer Vorführung wurden 60 Karten zu insgesamt 410€ verkauft. Für den zweiten Rang wurden ebenso viele Karten verkauft wie für beiden anderen Ränge zusammen. Wie verteilen sich die 60 Karten auf die drei Ränge?

I x + y + z = 60 (Plätze) x - Anzahl der Plätze im I. Rang

II 6x +7y + 8z = 410 (Einnahmen) y - Anzahl der Plätze im II. Rang

III y = x + z (Plätze im Vergleich) z - Anzahl der Plätze im III. Rang

L = {[20|30|10]}

Aufgabe: Von einer ganzrationalen Funktion 3.Grades sei bekannt: f(-1) = 0; f(0) = 1; f(1) = 4; f(2) = 15 Bestimmen Sie die Gleichung der Ganzrationalen Funktion!

allgemeine Gleichung einer Funktion dritten Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

aus f(-1) = 0 wird I -a + b - c + d = 0 I 8a + 4b + 2c = 14 I 8a + 4b + 2c = 14

aus f(0) = 1 wird II d = 1 II a + b + c = 3 II 2b = 2

aus f(1) = 4 wird III a + b + c + d = 4 III -a + b - c = -1 III 12b - 6c = 6

aus f(2) = 15 wird IV 8a + 4b + 2c + d = 15

L = {[1|1|1|1]} also f(x) = x³ + x² + x + 1

Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, dessen Schaubild (Graph) die folgenden Eigenschaften aufweist: E₁(2|23) und E₂(4|19) sind zwei Extrempunkte.

allgemeine Fktgleichung dritten Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c

wegen f(2) = 23 folgt: I 8a + 4b + 2c + d = 23 I d + 2c+ 4b + 8a = 23 I d + 2c + 4b + 8a = 23

wegen f(4) = 19 folgt: II 64a + 16b + 4c + d = 19 II 2c +12b +56a = -4 II 2c +12b +56a = -4

wegen f'(2) = 0 (EP) folgt: III 12a + 4b + c = 0 III c + 4b +12a = 0 III 4b + 32a = -4

wegen f'(4) = 0 (EP) folgt: IV 48a + 8b + c = 0 IV c + 8b + 48a = 0 IV - 8a = -8

L = {[1|-9|24|3]} also f(x) = x³ - 9x² + 24x + 3

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Übung: lineare Funktionen

Aufgabe: Lesen Sie die Gleichungen folgender linearer Funktionen aus ihren Graphen ab:

Nr.95/1 f(x) = y = -3x - 1 g(x)= y =-4/5·x+2 h(x) = y=x - 2,5	Nr.95/2 f(x) = y = 2x + 2 g(x) = y = 2x h(x) = y = 2x - 2	Nr.95/3 f(x) = y = 2 g(x) = y = -3/5·x - 3/10 h: x = 2

Nr.95/4 f(x) = y = ½·x + 1 g(x) = y=3·x-3 h(x) = y=-5/2·x - 3	Nr.95/5 f(x) = y= -3/2·x + 15/2 g(x) =y =-x-10 h(x) = y=-½·x	Nr.95/6 f(x) =y=-8/15·x+15/2 g(x)=y=-5/4·x-10 h(x)=y=-43/60x

Aufgabe: gegeben sei die folgende Wertetabelle:

x	-3	1	5
y	-2	1	4

Weisen Sie nach, dass es sich um Wertepaare einer linearen Funktion f handeln könnte!
Geben Sie die Gleichung dieser Funktion an! Zeichnen Sie den Graph der Funktion f!
Berechnen Sie die Nullstelle von f und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Zeichnung!
Bestimmen Sie die Gleichung der Gerade g, die den Graphen von f im Punkt P(1/1) schneidet und senkrecht auf ihm steht!

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Anwendungsaufgaben: lineare Funktionen

1. Frau Müller ist Vertreterin. Ihr monatliches Bruttogehalt setzt sich aus einem Fixum von 1000 € und 6% Provision für verkaufte Ware zusammen.

a) Erklären Sie die Begriffe „Bruttogehalt“, „Fixum“ und „Provision“!

b) Stellen Sie eine lineare Funktionsgleichung auf, die den Zusammenhang zwischen Waren-

verkaufswert und Bruttogehalt beschreibt!

c) Frau Müller verkaufte im Januar Waren im Wert von 3750 €; im Februar von 3000 € und im

März von 5000 €. Wie hoch war jeweils ihr Bruttogehalt?

d) Im April hatte Frau Müller ein Bruttogehalt von 1450 €. Für wie viel € hat sie in diesem Monat

Waren verkauft?

e) Der Chef von Frau Müller macht ihr ein Angebot: Sie erhält 9% Provision, aber nur ein Fixum

von 750 € . Soll sie das Angebot annehmen?

2. Im Jahr 2001 wurden auf dem Grundstück der Familie Rohatsch 271 m³ Trinkwasser verbraucht, davon 36 m³ als Gartenwasser genutzt. Die VBH berechnete für die Trinkwasserlieferung 2,54 DM/m³ bei einem jährlichen Grundpreis von 144 DM zuzüglich 7% Mehrwertsteuer; für die Abwasserbehandlung (ohne Berücksichtigung des Gartenwassers) 5,62 DM/m³ bei einem jährlichen Grundpreis von 180 DM. Die Familie hatte im Laufe des Jahres für beide Dienstleistungen zusammen monatliche Abschlagszahlungen von 173,50 DM getätigt.

Berechnen Sie den Betrag der Nachforderungen seitens der VBH an die Familie Rohatsch am Ende des Jahres 2001!

3. Ein Güterzug fährt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h von Ahausen nach Bstadt. Ein Schnellzug mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h passiert Ahausen eine halbe Stunde später in die gleiche Richtung. Die Entfernung von Ahausen nach Bstadt beträgt 180 km.

a) Wann holt der Schnellzug den Güterzug ein?

b) Wie weit sind im Moment des Einholens beide Züge von Ahausen entfernt?

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Übung: quadratische Funktionen

Aufgabe: Bestimmen Sie jeweils den Scheitel der Parabel und zeichnen Sie den Funktionsgraphen in ein kartesisches Koordinatensystem!

f(x) = y = x²
f(x) = y = x² - 1
f(x) = y = x² + 1,5
f(x) = y = ( x – 1 )²
f(x) = y = ( x + 2,5 )²
f(x) = y = ( x + 2 )² - 1
f(x) = y = ( x – 3 )² + 2
f(x) = y = -x²
f(x) = y = -x² - 1
f(x) = y = -x² + 4
f(x) = y = -( x + 2 )²
f(x) = y = -( x – 2 )² + 4
f(x) = y = ½ x² - 2
f(x) = y = - ¼ x² + 1
f(x) = y = 1,5·( x – 2,5 )²

Aufgabe: Zeichnen Sie den Graph der Funktion y = x² + 3 !

Aufgabe: Zeichnen Sie den Graph der Funktion y = (x + 3 )² !

Aufgabe: Zeichnen Sie den Graph der Funktion y = 2·(x - 1)² - 4 !

Aufgabe: gegeben sei eine quadratische Funktion mit der Gleichung: y = f(x) = - 0,5 x² + 1,5 x + 2

Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes mit Hilfe der Formel aus dem Tafelwerk!
Wandeln sie die Funktionsgleichung in die Form: y = a(x+c)² + d um und lesen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes ab! Vergleichen Sie mit dem Ergebnis von Aufgabe 1!
Skizzieren Sie den Graphen von f ins Koordinatensystem! Bestimmen sie die Nullstellen von f sowohl graphisch als auch rechnerisch!
Mit der Gleichung: y = g(x) = (x-1)² - 4 sei eine zweite quadratische Funktion gegeben. Berechnen Sie die Schnittpunkte zwischen den Graphen von f und g! Überprüfen Sie ihre Lösung graphisch !

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Übung: Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen

Aufgabe: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie die Lösungsmenge an!

a) x·(x - 2) = 2·(4 - x) + 4,25 b) 3·(x + 2)·(x - 4) = (x - 8)·(x + 3)

x² = 12,25 2x² - x = 0

c) x² - 2x - 3 = 0 d) 3·x² = 5·(6x - 15)

Prüfen Sie Ihr Ergebnis mit Satz von Vieta eleganter Lösungsweg braucht keine Lösungsformel

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Übung: Lagebeziehung zwischen Parabeln und Geraden

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Anwendungsaufgaben: quadratische Funktionen

Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion f, deren Funktionsgraph durch die Punkte P(0|1) Q(1|2,5) und R(5|-1,5) verläuft und ermitteln Sie dessen Scheitelpunkt! f(x) = -½x²+2x+1 S(2|3)

Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 105 cm². Die Seite a ist 8 cm länger als die Seite b.
1. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks!
2. Wird bei dem oben angegebenen Rechteck die Seite b um x cm vergrößert und die Seite a gleichzeitig um x cm verkürzt, so hat das neue Rechteck ein Flächeninhalt von 120 cm². Wie groß muss die Strecke x gewählt werden?
Ein Radfahrer und ein Mopedfahrer fahren eine Strecke von 60 km. Der Radfahrer legt in einer Stunde 5 km weniger zurück als der Mopedfahrer und fährt auf dieser Strecke eine Stunde länger als der Mopedfahrer. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beide Fahrer!
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide beträgt 96 cm². Die Seitenhöhe ist um 1 cm kürzer als die Grundkantenlänge. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide!

LB.S.102 Nr.48

da der Koordinatenursprung im Scheitelpunkt der Parabel liegen soll, sind die Höhen der Punkte P₁ und P₂ noch nicht ganz klar, aber wegen der Funktionsgleichung f(x) = a·x² gilt: P₁(22,5|506,25a) und P₂(9,5|90,25a) und da man die Differenz der beiden Höhen kennt ergibt sich folgende Funktionsgleichung: f(x) = 7/208·x₂ und mit dieser Gleichung ergibt sich der Brennpunkt F mit F(0|7,43)

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Übungen - Mathematik Klasse 11-II GK

Übung: Potenzfunktionen

Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion f mit der Gleichung f(x) = a·xⁿ , dessen Graph durch die Punkte P(2|8) und Q(-3/2|81/32) verläuft!

Lösung: I 8 = a·2ⁿ I* a = 8/2ⁿ

II 81/32 = a·(-3/2)ⁿ II* 81/32 = 8/2ⁿ·(-3/2)ⁿ (einsetzen der umgestellten Gleichung I* in II)

81/32 = 8·(-3/4)ⁿ

81/256 = (-3/4)ⁿ also n ist gerade (Vorzeichen)

81/256 = (3/4)ⁿ

und über Zähler- und Nennervergleich n = 4, und daraus folgt nach Gleichung I*, dass a = 0,5

Ergebnis: f(x) = 0,5·x⁴ ist die Gleichung der gesuchten Funktion

Aufgabe: Skizzieren Sie den Graph der folgenden Funktion f unter Berücksichtigung der durch die Parameter hervorgerufenen Veränderungen gegenüber dem Graph der Grundfunktion!

f₁(x) = 0,25·x³+2 f₂(x) = 0,5·(x-3)³ f₃(x) = 0,25·(x-3)⁴ -3

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Übung: Nullstellen ganzrationaler Funktionen

kubische Gleichungen:

reinkubische Gleichungen	kubische Gleichungen ohne Absolutglied
ax³ + d = 0	ax³ + cx = 0	ax³ + bx² = 0	ax³ + bx² + cx = 0
⅓·x³ + 9 = 0 /·3 x³ + 27 = 0 /-27 x³ = -27 /√ x = -3 L = {-3}	3x - ⅓·x³ = 0 ⅓·x·(-x² + 9) = 0 x₁ = 0 -x² + 9 = 0 /+x² x² = 9 /√ \|x\| = 3 x₂ = -3 x₃ = 3 L = {-3;0;3}	6x³ + 9x² = 0 3x²·(2x + 3) = 0 x_1/2 = 0 2x + 3 = 0 /-3 2x = -3 /:2 x = - 1,5 L = {-1,5;0}	x³ - 3x² - 10x = 0 x·(x² - 3x - 10) = 0 x₁ = 0 x² - 3x - 10 = 0 x_2/3 = 3/2 ±√(9/4 + 10) x₂ = -2 x₃ = 5 L = {-2;0;5}

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Übung: Polynomdivision

1. (x³ - 3x² - 5x + 6) : (x - 2) = x² - x - 12 2. (x³ - 2x² - 5x + 6) : ( x - 1) = x² - x - 6

3. (x³ + x² - x - 1) : (x - 1) = x² + 2x + 1 4. (x³ - 7x² + 7x + 15) : (x - 5) = x² - 2x - 3

5. (x³ + 0x²+ x + 2) : (x + 1) = x² - x + 2

6. 6x³ - 25x² + 3x + 4 = 0 7. 4x³ + 0x² - 13x + 6 = 0

(x - 4) · (6x² - x -1) = 0 L = {-⅓; ½; 4} (x + 2) · (4x² -8x + 3) = 0 L = {-2; 0,5; 1,5}

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Übung: biquadratische Gleichungen

1. x⁴ - 5x² + 4 = 0 2. 2x⁴ - 2x² - 40 = 0

z² - 5z + 4 = 0 L ={[-2; -1; 1; 2]} z² - z - 20 = 0 L ={[-√5; √5]}

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	f(x) = x³ + 2x² - 12x 0 = x·(x² + 2x - 12) L = {-1-√13; 0 ; -1+√13}
	f(x) = x⁴ - 4x² - 12 0 = z² - 4z - 12 L = {-√6; √6}
	f(x) = x⁵ – x⁴ – x³ 0 = x³·(x² - x - 1) L = { ; 0 ; }
	f(x) = -6x⁴ + 18x³ - 110,4x² 0 = -6x²·(x² - 3x + 18,4) L = { 0 }
	f(x) = 4x³ - 8x 0 = 4x·(x² - 2) L = {-√2; 0 ; √2}
	f(x) = 2x⁴ - 20x² - 22 0 = 2·(z² - 10z - 11) L = {-√11; √11}
	f(x) = x⁵ - 8x³ + 7x 0 = x·(x⁴-8x²+7) 0 = z² - 8z + 7 L = {-√7; -1;1;√7}
	f(x) = x³ - x² - 10x - 8 0 = (x + 1)·(x² - 2x - 8) L = {-2; -1 ; 4}
	f(x) = 9x⁴ + 15x³ - 14x² 0 = x²·(9x² + 15x - 14) L = {-7/3; 0 ;2/3}
	f(x) = 2x⁶ + 14x³ - 16 0 = 2·(z² + 7z - 8) L = {1; -2}
	f(x) = ¼·x⁴ - 4x² 0 = ¼x²·(x²- 16) L = {-4; 0 ; 4}
	f(x) = x⁴ -2x³ + 2x - 1 0 = (x-1)·(x³-x²-x+1) 0 = (x-1)·(x+1)·(x²-2x+1) L = {-1; 1}
	f(x) = x³ - 7x - 6 0 = (x+1)·(x²-x-6) L = {-2;-1;3}
	f(x) = x³ + 4x² - 11x - 30 0 = (x+2)·(x²+2x-15) L = {-5; -2 ; 3}
	f(x) = x⁴ -12x³ +22x² +84x +49 0=(x+1)(x³-13x²+35x+49) 0=(x+1)(x+1)(x²-14x+49) L={-1; 7}
	f(x) = 6x³ + 13x² - 41x + 12 0 = (x+4)·(6x²-11x+3) L = {-4; ⅓ ;1,5}
	f(x) = x⁴ - 3x³ - 4x² 0 = x²·(x² - 3x - 4) L = {-1; 0 ; 4}
	f(x) = 8x³ - 26x² - 7x 0 = x·(8x² - 26x - 7) L = {-¼; 0 ;3,5}
	f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6 0 = (x+2)·(2x²- 7x + 3) L = {-2; ½ ; 3}
	f(x) = x³ + ½·x² - x - ½ 0 = (x-1)·(x²+1,5x+½) L = {-1; -½ ; 1}
	f(x) = (2/25)·x⁵ – x³ + (25/8)·x 0 = (2/25·x)(x⁴-25/2·x²+625/16) L = {-2,5; 0 ; 2,5}

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Übung: Schnittstellen ganzrationaler Funktionen

Der Graph der Funktion g mit g(x) = -1,25x³ + x² + 1,25x beschreibt den Meander eines Flusslaufes, entlang der Normalparabel f(x) = x² soll ein Fahrradweg gebaut werden. An welchen Stellen ist eine Brücke zu planen? f(x) = g(x)

x² = -1,25x³ + x² + 1,25x

0 = -1,25x³ + 1,25x

0 = -1,25x·(x² - 1)

x_S1 = 0 x² - 1 = 0

x_S2 = -1 x_S3 = 1

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Übung: Symmetrieeigenschaften von ganzrationalen Funktionen

Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie und bestimmen Sie die Nullstellen von f!

f(x) = 0,5·x⁵ - 4x³ + 3,5x Vermutung: Zentralsymmetrie zum KU f(-x) = - f(x) 0,5·(-x)⁵ - 4(-x)³ + 3,5(-x) = -(0,5·x⁵ - 4x³ + 3,5x) 0,5·x⁵ + 4x³ - 3,5x = -0,5·x⁵ + 4x³ - 3,5x w.A. Graph von f ist zentralsymmetrisch zum KU	f(x) = 9x⁴ + 15x³ - 14x² f(-x) = 9(-x)⁴ + 15(-x)³ - 14(-x)² f(-x) = 9x⁴ - 15x³ - 14x²≠ f(x) f(-x) = + 9x⁴ - 15x³ - 14x²≠ -f(x) Graph von f ist weder axialsymmetrisch zur y-Achse noch zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung
0 = 0,5·x⁵ - 4x³ + 3,5x 0 = 0,5x·(x⁴ - 8x² + 7) x_N1 = 0 z² - 8z + 7 = 0 z_1/2 = 4 ± √(16-7) = 4 ± 3 z₁ = 1 x² = 1 x_N2 = -1 x_N3 = 1 z₂ = 1 x² = 7 x_N4 = -√7 x_N5 = √7	0 = 9x⁴ + 15x³ - 14x² 0 = x²·(9x² + 15x - 14) x_N1/2 = 0 x² + 15/9·x - 14/9 = 0 x_N3/4 = -15/18 ± √(225/324 + 14/9) x_N3/4 = -15/18 ± 27/18 x_N3 = 2/3 x_N4 = -7/3

LB.S.123 Nr. 33

a) 0 = x·(x⁴ + 7,25x² + 2,25) 0 = z² + 7,25z + 2,25 z_1/2 = -3,625 ± √(13,14 - 2,25) = -3,625 ± 3,3

x_N1 = 0 z₁ = -6,925 z₂ = -0,325 x² = -6,925 x² = -0,325 keine weitere Nullstelle

b) a₁ müsste kleiner als Null sein, denn dann:

0 = z² + 7,25z + a₁ z_1/2 = -3,625 ± √(13,14 - a₁) = -3,625 ± (>-3,625) und damit:

einmal x² >0 und einmal x² < 0 ; aus erster Gleichung zwei weitere Nullstellen

c) f(-x) = (-x)⁵ + 7,25(-x)³ + 2,25(-x) = -x⁵ - 7,25x³ - 2,25x = -(x⁵ + 7,25x³ + 2,25x) = -f(x)

der Graph der Funktion f ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung

f(x) = g(x)

x⁵ + 7,25x³ + 2,25x = 2,25x

x⁵ + 7,25x³ = 0

x³·(x² + 7,25) = 0

x_N1/2/3 = 0

e) m = tanα 2,25 = tanα α = 66,0°,

da g eine lineare Funktion ist und dort gilt: Anstiegswinkel = Schnittwinkel mit dem positiven Teil der x-Achse

f) f(x) + a = x⁵ + 7,25x³ + 2,25x + a f(1) = 1⁵ + 7,25·1³ + 2,25·1 + a = 2 a = -8,5

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Übung: Potenzen und Logarithmen

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Übung: Eigenschaften der Exponentialfunktionen

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Übung: exponentielles Wachstum und exponentieller Abfall

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Übung: Logarithmusfunktionen

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Klausurvorbereitung

Aufgabe 3: a) 5,3:3,9 = 7,2:5,3 = 9,6:7,2 = 1,35 = konstant

b) N(t) = 3,9·10⁶·1,03^t(10.Wurzel aus 1,35)

c) 23,45 Jahre

d) 86,3 Jahre

e) N(t) = 3,9·10⁶·e^ln1,03·t

Übungen - Mathematik Klasse 12-I GK

Übung: Zahlenfolgen

Aufgabe: Berechnen Sie die ersten fünf Folgenglieder ( n>=1) für die Zahlenfolgen mit der Vorschrift:

	(a_n) = (n + 1/n) = ( 2; 5/2; 10/3; 17/4; 26/5; ... )
	(b_n) = ((2n - 1)/n) = ( 1; 3/2; 5/3; 7/4; 9/5; ...)

Aufgabe: Ergänzen Sie die folgende Zahlenfolge um weiter drei Glieder und geben Sie die explizite Bildungsvorschrift der Folge an!

	(c_n) = (4n - 3) = ( 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; ...)
	(d_n) = ((-1)ⁿ·1/n) = (-1; 1/2; -1/3; 1/4; -1/5; 1/6; -1/7; ...)

Aufgabe: Berechnen Sie die Folgenglieder a₂ bis a₆ und geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift der Zahlenfolge an!

	(a_n): a₁ = 25 a_n+1 = a_n - 7 (a_n) = (-7n + 32) = (25; 18; 11; 4; -3; -10;...) arithmetische ZF
	(a_n): a₁ = 0,5 a_n+1 = 2·a_n (a_n) = (0,5·2^n-1) = (0,5; 1; 2; 4; 8; 16; 32;...) = (0,25·2ⁿ) geom.ZF
	(a_n): a₁ = 1 a_n+1 = 3a_n + 4 (a_n) = (3ⁿ-2) = (1; 7; 25; 79; 241; 727;...)

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Übung: Grenzwerte von Zahlenfolgen

Bsp:

Vermutung: 2 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (a_n)

Vermutung: -1,5 ist der Grenzwert der Zahlenfolge (a_n)

Frage: Ab welchem Folgenglied liegen alle weiteren in der 1/10000-Umgebung von 2?

Aufgabe: Weisen Sie nach, dass die Folge (a_n) den Grenzwert g = 2 hat!

zweiten Bruch auf Hauptnenner erweitern

ε beliebig, aber fest

zweiten Bruch auf Hauptnenner erweitern

gleichnamige Brüche addieren

Term vereinfachen

Betragstriche auflösen

nach n umstellen

n > 10 000

der Term rechts vom Relationszeichen ist für ε beliebig, aber fest eine feste reelle Zahl

	ab dem Folgenglied a₁₀₀₀₁ = 20001/10001 liegen alle weiteren Folgenglieder innerhalb der 1/10000-Umgebung des vermuteten Grenzwertes g = 2
	dies ist aber kein Nachweis für die Richtigkeit des vermuteten Grenzwertes, weil bei anderen (kleineren) ε-Umgebungen möglicherweise gar kein Folgenglied in dieser ε-Umgebung liegt
	wir brauchen also einen Nachweis für jede beliebige ε-Umgebung

	nur endlich viele natürliche Zahlen n werden kleiner sein als diese feste reelle Zahl
	aber unendlich viele natürliche Zahlen sind mit Sicherheit größer als diese feste Zahl, egal wie groß sie ist
	damit gilt die letzte Ungleichung (und damit auch die erste Ungleichung) für fast alle natürliche Zahlen n
	damit ist der Nachweis erbracht: es gilt:

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Übung: Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

LB.S.15 Nr.8

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Übung: Grenzwerte von Funktionen

altes Lehrbuch S.156/10 Funktionsgrenzwert an einer Stelle x_o Funktionsgrenzwert gegen Unendlich

Graph hat bei x_o = 1 eine Lücke

Graph hat bei x_o = 2 eine Lücke

für x > 5

für x < 5

Graph hat bei x_o = 5 einen Sprung

Graph nähert sich am rechten Rand des KS der Asymptote y=2

existiert nicht, aus Wertetabelle ergibt sich:

x	-0,5	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,5
y	12	150	1100	???	-900	-100	-4

Graph hat bei x_o=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Graph nähert sich am rechten Rand des KS der Asymptote y=0

Graph hat bei x_o = 1 eine Lücke

nicht besonderes, weil auch f(0) = 0

Graph nähert sich am rechten Rand des KS der Asymptote y=⅓

existiert nicht, aus Wertetabelle ergibt sich:

x	1,5	1,8	1,95	2	2,05	2,2	2,5
y	-5	-22,4	-112,1	???	304,6	38,4	21

Graph hat bei x_o=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel

existiert nicht, aus Wertetabelle ergibt sich:

x	-0,5	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2	0,5
y	15,9	175	1200	???	-800	-75	0

Graph hat bei x_o=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Graph nähert sich am rechten Rand des KS der Asymptote y=1/a²

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Übung: Das Tangentenproblem

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Übung: Die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle x_o

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Übung: elementare Ableitungsregeln

	f(x) = 3·x - 8 f '(x) = 3
	f(x) = -x + 5 f '(x) = -1
	f(x) = -0,5·x² + 2·x f '(x) = x + 2
	f(x) = 5/8·x⁴ - 4/3·x³ - 1/8·x² + 6x f '(x) = 5/2·x³ - 4x² - 1/2·x + 6
	f(x) = (3x - 5)·(1 - 2x) = -6x² + 13x - 5 f '(x) = -12x + 13
	f(x) = (4x - 1)² = 16x² - 8x + 1 f '(x) = 32x - 8
	f(x) = x³ - x + 1/x² = x³ - x + x^-2 f '(x) = 3x² - 1 -2·x^-3 = 3x² - 1 - 2/x³
	f(x) = 1/2·x² + √x = 1/2·x² + x^0,5 f '(x) = x + 0,5·x^-0,5= x + 1/(2√x)

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Übung: Rechenverfahren Tangente (Normale)

geg.: f(x) = -¼·x² + x + 3 ges.: Gleichung der Tangente an Graph bei x_o=-1

Lösung: f '(x) = -½·x + 1

f(-1) = -¼·(-1)² + (-1) + 3 = 1,75 P_o(-1|1,75)
f '(-1) = -½·(-1) + 1 = 1,5 = m_t
y - 1,75 = 1,5 · (x - (-1)) y - 1,75 = 1,5x + 1,5

Gleichung der Tangente: y = 1,5x + 3,25

Aufgabe: Welchen Steigungswinkel hat der Graph G_f der Funktion f mit der Gleichung f(x) = x³ - 3x an den Stellen x_o = -1 und x_o = 2?
Lösung: f '(x) = 3x² - 3 f '(-1) = 3·(-1)² - 3 = 0 = m_t = tanα α = 0 f '(2) = 3·2² - 3 = 9 = m_t = tanα α = 83,7°

Aufgabe: An welchen Stellen hat der Graph G_f der Funktion f mit der Gleichung f(x) = ½x⁴ - ½x² den Steigungs- winkel 45°?
Lösung: f '(x) = 2x³ - x aus α = 45,0° folgt tanα = 1 f '(x) = m_t = tanα 2x³ - x = 1 0 = 2x³ - x - 1 mittels Polynomdivision: 0 = (x - 1) · (2x² + 2x + 1) x = 1 keine Lsg.

Aufgabe: Unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g mit den Gleichungen f(x) = x²-1 und g(x) = x² - 2x + 4?
Lösung: f(x) = g(x) liefert Schnittstellen x²-1 = x² - 2x + 4 2x = 5 x_S = 2,5 S(2,5\|4,25) f '(x) = 2x f '(2,5) = 5 g '(x) = 2x - 2 g' (2,5) = 3 α = 78,7° β = 71,6° φ = 7,1°

Aufgabe: Prüfen Sie, ob sich die Graphen der Funktionen f und g mit den Gleichungen f(x) = x² - x - 4/3 und g(x) = ⅓x³ - x in einem Punkt berühren!

Lösung: f(x) = g(x) liefert Schnittstellen

x² - x - 4/3 = ⅓x³ - x

0 = ⅓x³-x² + 4/3

0 = x³-3x² + 4

0 = (x + 1) · (x² - 4x + 4)

x_S1 = -1 x_S2/3 = 2

f '(x) = 2x -1 f '(-1) = -3 ≠ g '(-1) = 0 g '(x) = x² - 1

f '(2) = 3 = g '(2) = 3

Graphen berühren sich im Punkt S(2|2/3)

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Übungsaufgaben zur Klausur

1a) 0 = 4x³ + 0x² - 13x - 6 (x - 2) · (4x² +8x + 3) = 0 L = {2; -0,5; -1,5}

1b) 0 = x³- 3x²- 9x 0 = x·(x² - 3x - 9) x_N1 = 0 x_N2 =√11,25 ≈ 3,354 x_N3 =-√11,25

1c) 0 = 9x⁴ + 35x² - 4 0 = z² + 35/9·z - 4/9 z₁ = 1/9 z₂ = -4

daraus folgt: x_N1 = +1/3 x_N2 = - 1/3

1d) 0 = 1/4·x³ - 2 2 = 1/4·x³ 8 = x³ x_N = 2

2a) lim(D(h)) = lim(2/3·x_o-1/3·h) = 2/3·x_o = f'(x_o)

2b) lim(10x_o - 5h - 2) = 10x_o - 2 = f'(xo)

3a) f(x) = 2,5x⁷ - 9x³ + x - 4/x³ f'(x) = 17,5x⁶ - 27x² + 1 + 12/x⁴

3b) f(x) = 6,5x⁶ - 0,25x³ - 8 + 3/x⁴ f'(x) = 39x⁵ - 0,75x² - 12/x⁵

3c) f(x) = 7x - 4·³√x f'(x) = 7 - 4/(3·³√x²)

3d) f(x) = 5·⁴√x + 3 f'(x) = 5/(4·⁴√x3)

3e) f(x) = px² - 4qx + pq f'(x) = 2px - 4q (alle anderen Variablen behandelt man wie Zahlen)

3f) f(x) = ax³ - 4a²x² + 3a³x - a f'(x) = 3ax² - 8a²x + 3a³

4) f(x) = - 0,5x³ + x² + 2x

a) 0 = x·(-0,5x² + x + 2) x_N1 = 0 x_N2 = 1-√5 ≈ -1,24 x_N2 = 1-√5 ≈ 3,24

b) f'(x) = -1,5x² + 2x + 2

c) -1,5 = -1,5x_o² + 2x_o + 2 0 = -1,5x_o² + 2x_o + 3,5 0 = x_o² - 4/3·x_o - 7/3 x_o1 = -1 x_o2 = 7/3

x	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5
y	4	0,9375	-0,5	-0,6875	0	1,1875	2,5	3,5625	4	3,4375	1,5	-2,1875

e) f(1) = -0,5·1³ + 1² + 2·1 = 2,5 P_o(1|2,5)

f'(1) = -1,5·1² + 2·1 + 2 = 2,5 = m_t

y - y_o = m_t·(x - x_o) y - 2,5 = 2,5·(x - 1) y - 2,5 = 2,5x - 2,5 y = 2,5x

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Übung: Anwendung zur Steigung

LB.S.41 Nr.16

f(x) = a·x² + c mit P₁(85|0) P₂(0|69)

I f(85) = 0 0 = a·85² + c a = -69/7225 II f(0) = 69 69 = a·0² + c c = 69

f(x) = -69/7225·x² + 69 f '(x) = -138/7225·x

f'(85) = -138/85 = m_t

m_N = -1/m_t = 85/138 ≈ 0,616 = tanα α = 31,65°

LB.S.42 Nr.18 Übung zur Klausur

f(x) = 1/1200·x² + 1/6·x f '(x) = 1/600·x + 1/6

Q ist der Scheitelpunkt von f Q = S(-100|-25/3) und P(120|32)

Höhenunterschied h = y_P - y_Q = 32 - (-25/3) = 121/3

mittlere Steigungswinkel: m_s = (121/3)/220=11/60=tanα α=10,4°

maximaler Steigungswinkel: m_t = f'(120)=11/30=tanα α_max=20,1°

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Übung: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

LB.S.60 Übung 9

f(x) = (x²+3)·(x³-5) f ’(x) = 2x·(x³-5)+(x²+3)·3x² = 2x⁴ – 10x + 3x⁴ + 9x² = 5x⁴ + 9x² - 10x
f(x) = x·√x f ’(x) = 1·√x + x· = =
f(x) = (1-x²)·(1+x²) f ’(x)= -2x·(1+x²)+(1-x²)·2x = -2x – 2x³ +2x -2x³= -4x³
f(x) = x³·√x f ’(x) = 3x²·√x + x³· = =
f(x) = f ’(x) = =

LB.S.63 Übung 12

f(x) = (1 - x)⁴ f ’(x) = 4(1 – x)³ · (-1) = -4(1 – x)³
f(x) = f ’(x) = · (-2)=
f(x) = = (5x – 2)^-1 f ’(x)= -1(5x - 2)^-2 · 5 = -5·(5x – 2)^-2=
f(x) = (1 + x²)² f ’(x) = 2(1 + x²) · 2x = 4x(1 + x²) = 4x + 4x³
f(x) = = (x ^½)^-1 f ’(x) = -1(x ^½)^-2 · =
f(x) = f ’(x) =

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Übung: Zusammenhang zwischen erster Ableitung und dem Monotonieverhalten von f

Aufgabe: Untersuchen Sie den Graph der Funktion f mit der Gleichung: f(x) = auf Monotonie! Übung zur Klausur

S(1|-1,5)

0 = x² - 2x - 3 x₁ = -1 x₂ = 3

die Lage der Nullstellen und des Scheitelpunktes von f ' lässt eindeutig auf das Vorzeichen der ersten Ableitungsfunktion schließen

für - ∞ < x < -1 gilt: f '(x) > 0 f(x) monoton steigend

für - 1 < x < 3 gilt: f '(x) < 0 f(x) monoton fallend

für 3 < x < ∞ gilt: f '(x) > 0 f(x) monoton steigend

der Graph von f ändert bei x = -1 seine Monotonie von steigend auf fallend und bei x = 3 von fallend auf steigend

f hat bei x = -1 einen lokalen Hochpunkt und bei x = 3 einen lokalen Tiefpunkt

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Übung: Zusammenhang zwischen zweiter Ableitung und dem Krümmungsverhalten von f

	f(x)=-1/3·x³-3/2·x²
1.	f '(x) = -x² + 3·x f ''(x) = -2·x + 3
2.	0 = -2·x + 3 2x = 3 bei x = 3/2 könnte sich das Krümmungsver- halten von G_f ändern
3.	- ∞ < x < 1,5	1,5 < x < ∞
4.	f ''(1) = 1 > 0 G_f ist im Intervall linksgekrümmt	f ''(2) = -1 < 0 G_f ist im Intervall rechtsgekrümmt
5.	der Graph ändert bei x=1,5 seine Krümmung, er hat also bei x = 1,5 einen Wendepunkt f(1,5) = 2,25 also ist W(1,5\|2,25)

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Übung: Rechenverfahren Extrempunkte

	f(x)=0,25·x⁴-2·x²+1,75
1.	f '(x) = x³ - 4·x f ''(x) = 3·x² - 4
2.	0 = x³ - 4·x 0 = x·(x² - 4) x_E1 = -2 x_E2 = 0 und x_E3 = 2 sind mögliche Extremstellen von f
3.	f ''(-2) = 8 > 0 also bei x_E=-2 TP f ''(0) = -4 < 0 also bei x_E=0 HP f ''(2) = 8 > 0 also bei x_E=2 TP
4.	f(-2) = -2,25 damit T(-2\|-2,25) f(0) = 1,75 damit H(0\|1,75) f(2) = -2,25 damit T(2\|-2,25)

LB.S.83 Übung 3a

	f(x)=2·x²+3·x-5
1.	f '(x) = 4x + 3 f ''(x) = 4
2.	0 = 4·x + 3 4x = -3 x_E = -3/4 ist mögliche Extrem- stelle von f
3.	f ''(-3/4)=4>0 also bei x_E=-3/4 TP
4.	f(-3/4) = -49/8 = -6,125 damit T(-0,75\|-6,125) ist Scheitelpunkt

LB.S.83 Übung 3b

	f(x)=x³-12·x+11
1.	f '(x) = 3x² - 12 f ''(x) = 6·x
2.	0 = 3x² - 12 x² = 4 x_E1 = -2 und x_E2 = 2 sind mögliche Extremstellen von f
3.	f ''(-2) = -12 < 0 also bei x_E=-2 HP f ''(2) = 12 > 0 also bei x_E=2 TP
4.	f(-2) = 27 damit H(-2\|27) f(2) = -5 damit T(2\|-5)

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Übung: Rechenverfahren Wendepunkte

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Übung: Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

f(x) = x⁴ + 2x³

	f '(x) = 4x³ + 6x²
	f ''(x) = 12x² + 12x
	f '''(x) = 24x + 12

f(x) = ¼·x⁴ - ⅓·x³ - x²

	f '(x) = x³ - x² - 2x
	f ''(x) = 3x² - 2x - 2
	f '''(x) = 6x - 2

1.DB = R

2. Symmetrie:

f(-x) = (-x)⁴ + 2(-x)³ = x⁴ - 2 x³

f(x) = x⁴ + 2 x³ -f(x) = -x⁴ - 2 x³

	f(-x) ≠ f(x) nicht axialsymmetrisch zur y-Achse
	f(-x) ≠ -f(x) nicht zentralsymmetrisch zum KU

2. Symmetrie:

f(-x) = ¼·(-x)⁴ - ⅓·(-x)³ - (-x)² = ¼·x⁴ + ⅓·x³ - x²

f(x) = ¼·x⁴ - ⅓·x³ - x² -f(x) =- ¼·x⁴ + ⅓·x³ + x²

	f(-x) ≠ f(x) nicht axialsymmetrisch zur y-Achse
	f(-x) ≠ -f(x) nicht zentralsymmetrisch zum KU

3. Nullstellen:

0 = x⁴ + 2x³

0 = x³ ·(x + 2)

x_N1/2/3 = 0 x + 2= 0

x_N4 = -2

Die dreifache Nullstelle ist schon ein erstes Indiz für die spätere Sattelpunktstelle x_S = 0

3. Nullstellen:

0 = ¼·x⁴ - ⅓·x³ - x²/·4

0 = x⁴ - 4/3·x³ - 4x²

0 = x²· (x² - 4/3·x - 4)

x_N1/2 = 0 x² - 4/3· x - 4 = 0

x_N3/4 = 2/3 ± √(4/9+4)

x_N3 = (2-√40)/3 x_N3 = (2+√40)/3

4. Extrempunkte:

f '(x) = 0 = 4x³ + 6x²

0 = 2x² · (2x + 3⁾

x_E1/2 = 0 f ''(0) = 0 ? zunächst keine Entscheidung

x_E3 = -3/2 f ''(-3/2) = 9>0 f(-3/2) =-1,69 T(-1,5|- 1,7)

4. Extrempunkte:

f '(x) = 0 = x³ - x² - 2x

0 = x · (x² - x - 2)

x_E1 = 0 x_E2/3 = 0,5 ± √(0,25+2) f ''(0)=-2 H(0|0)

x_E2 = -1 f ''(-1) = 3 > 0 f(-1) = -5/12 T₁(-1|-5/12)

x_E3 = 2 f ''(2) = 6 > 0 f(2) = -8/3 T₂(2|-8/3)

5. Wendepunkte:

f ''(x) = 0 = 12x² + 12x

0 = 12x · (x + 1)

x_W1 = -1 f '''(-1) = -12 ≠ 0 f(-1) = -1 W₁(-1|-1)

x_W2 = 0 f '''(0) = 1 2 ≠ 0 f(0) = 0 W₂(0|0)

W₂ ist gleichzeitig Sattelpunkt S(0|0)

5. Wendepunkte:

f ''(x) = 0 = 3x² - 2x - 2 /:3

0 = x² - 2/3·x - 2/3

x_W1/2 = 1/3 ± √(1/9+2/3)

x_W1=(1+√7)/3 f'''(1,22)=5,3≠0 f(1,22)=-1,53 W₁(1,2|-1,5)

x_W2=(1-√7)/3 f'''(-0,55)=-5,3≠0 f(-0,55)=-0,22W(-0,6|-0,2)

6. Verhalten im Unendlichen:

Graph strebt sowohl am linken wie am rechten Rand nach oben ähnlich wie bei g(x) = x⁴

6. Verhalten im Unendlichen:

Graph strebt sowohl am linken wie am rechten Rand nach oben ähnlich g(x) = x⁴

7. Wertetabelle: x -2,5 0,5 1 1,5

y 7,81 0,31 3 11,81

7. Wertetabelle: x -2 -1,5 0,5 3 3,5

y 2,67 0,14 -0,28 2,25 10,97

8. graphische Darstellung:

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Übung: Kurvenscharen ganzrationaler Funktionen

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Übung: Rekursionsaufgaben zu ganzrationalen Funktionen

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Übung: Extremwertaufgaben mit ganzrationalen Funktionen

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Übungen - Mathematik Klasse 12-II GK

Übung: Einführung in die Integralrechnung

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Übung: Die Streifenmethode

Flächenberechnung (Untersumme) s_n = s_n = ·( 0³ + 1³ + 2³ + ... + (n-1)³ ) s_n =	< A₀^a< < A₀^a< < A₀^a<	Flächenberechnung (Obersumme) S_n = S_n = ·( 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ ) S_n =
explizite Bildungsvorschrift s_n = s_n = s_n = s_n =	< A₀^a< < A₀^a< < A₀^a< < A₀^a<	explizite Bildungsvorschrift S_n = S_n = S_n = S_n =
Grenzwert der Untersumme	< A₀^a< < A₀^a< < A₀^a< < A₀^a<	Grenzwert der Obersumme

Da beide Grenzwerte übereinstimmen und den gesuchten Flächeninhalt ein-schließen, ist mit den Mitteln der Integralrechnung gezeigt, dass die vom Graphen der Funktion f(x) = x² und der x-Achse im Intervall I[0|a] einge-schlossene Fläche den Flächeninhalt ¼·a⁴ (FE) besitzt.

A₀¹ = ¼·1⁴ = ¼ (FE) A₀²= ¼·2⁴ = 4(FE) A₀³ = ¼·3⁴ = 81/4(FE)

A₁⁴ = A₀⁴ – A₀¹ = ¼·4⁴ - ¼·1⁴ = 64 - ¼ = 63¼(FE)

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Übung: Verallgemeinerung der Streifenmethode - Riemannsches Integral

= = 3 – 3 = 0

= = 124 - 8 = 116

= = 45 + 5 = 50

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Übung: Regeln zum Aufsuchen von Stammfunktionen

LB.S.28 Nr.2

f(x) = 2x³ F(x) = ½x⁴+2 ist Stammfunktion von f, weil F'(x) = ½·4x³ + 0 = 2x³ = f(x)
f(x) = 4√x F(x) = 8/3·x^3/2+C ist Stammfunktion von f, weil F'(x) = 8/3·3/2x^1/2 + 0 = 8/2·x^1/2 = 4√x = f(x)
f(x) = 2x-6/x²=2x-6·x^-2 F(x) = x²+6/x+1 ist Stammfunktion von f, weil F'(x) = 2x+6·(-1)x^-2+0 = 2x-6/x = f(x)
f(x) = 8x+4 F(x) = (2x+1)² =4x²+4x+1 ist Stammfunktion von f, weil F'(x) = 4·2x + 4 = 8x+4 = f(x)

LB.S.28 Nr.4

∫(2x+1)²dx = ⅓(2x+1)³·½ + c = 1/6·(2x+1)³ + c
∫(½x+1)²dx = ⅓(½x+1)³·2 + c = 2/3·(½x+1)³ + c
∫(1/(3x+2)²)dx = ∫(3x+2)^-2dx = -1·(3x+2)^-1·⅓ + c = -⅓·(1/(3x+2)) + c = -1/(3(3x+2)) + c = -1/(9x+6)
∫2√(2x+1)dx = ∫2·(2x+1)^½dx = 2·2/3(2x+1)^3/2·½ + c = 2/3·√((2x+1)³) + c

LB.S.28 Nr.5

F(x) = 2x⁴ - 3x + 2 ist eine Stammfunktion von f(x) = 8x³ - 3, denn F'(x) = f(x)
F(x) = (x - 2)² = x² -4x + 4 ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x - 4, denn F'(x) = f(x)
F(x) = 2x²+4x+⅓x³+C ist keine Stammfunktion von f(x) = (x+2)² = x²+4x+4, denn F'(x) ist nicht gleich f(x) Fehler im doppelten Produkt der binomischen Formel
F(x) = x³ - 3/2x⁴- 2 ist eine Stammfunktion von f(x) = 3(x² - 2x³), denn F'(x) = f(x)
F(x) = x² + 1/x + C ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x - 1/x², denn F'(x) = f(x)
F(x) = ½x² + 3x ist eine Stammfunktion von f(x) = (x²-9/(x-3) = x+3, denn F'(x) = f(x)

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Übung: Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

= = (7² + 7) – (2² + 2) = 56 – 6 = 50

= = 125 – 10 – (1 - 2) = 115 – (-1) = 116

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Übung: Fläche zwischen Funktionsgraph und Abszissenachse

altes LB.S.115 Übung 1

a)	S(0\|1) Parabel nach oben geöffnet; Fläche vollständig über der x-Achse; A = = = 12 - A = 32/3 (FE)
b)	S(1\|-1) Parabel nach oben geöffnet; x_N1 = 0 x_N2 = 2; Fläche vollständig unter der x-Achse; A = = A = 4/3 (FE)
c)	S(0\|1) Parabel nach unten geöffnet; x_N1 = -1 x_N2 = 1; Fläche vollständig über der x-Achse; A = = = A = 4/3 (FE)
d)	S(½\|2,25) Parabel nach unten geöffnet; x_N1 = -1 x_N2 = 2; Fläche vollständig über der x-Achse; A = = 0 - A = 7/6 (FE)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Fläche, welche vom Graphen der Funktion f mit der Gleichung : f(x) = x² - 5x + 4 , der x-Achse sowie den senkrechten Geraden x₁ = 0 und x₂ = 4 eingeschlos- sen wird! A = A₁ + A₂ = A = = A =
Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Fläche, welche vom Graphen der Funktion f mit der Gleichung : f(x) = -x⁴ + 7x² + 18 und der x-Achse eingeschlossen wird! A = = = A =

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Übung: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Übung: Rotationsvolumina

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Übung: Wiederholung - Exponentialfunktionen

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Übung: Die Funktionen f(x) = e^x und f(x) = lnx

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Übung: Anwendungsaufgaben - unbegrenztes Wachstum (Zerfall)

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Übung: Anwendungsaufgaben - begrenztes Wachstum (Zerfall)

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Übung: Ableitung und Stammfunktion von Exponentialfunktionen

f(x) = 6,5· 4^x f ’(x) = 6,5·ln4 · 4^x
f(x) = 0,5· e^x f ’(x) = 0,5· e^x
f(x) = x² · e^x f ’(x) = (x² + 2x) · e^x
f(x) = x² · 3^x f ’(x) = (x²·ln3 + 2x) · 3^x
f(x) = e^{3x – 1} f ’(x) = 3 · e^{3x – 1}
f(x) = 5^x² f ’(x) = 2x·ln5 · 5^x²
f(x) = (1 – x²) · e^–xf ’(x) = (x² - 2x - 1) · e^–x
f(x) = 0,6 · 2^{3 – 2x²} f ’(x) = -2,4x · ln2 · 2^{3 – 2x²}
f(x) = x · e^0,2x f ’(x) = (0,2x + 1) · e^0,2x
f(x) = (x² - 1) · 2^–x f ’(x) = (-x²·ln2 + 2x + ln2) · 2^–x
f(x) = (2x·ln3 – 5) · 3^2x f ’(x) = (4x·(ln3)²+2ln3–10ln3)·3^2x = (4x·(ln3)²–8ln3)·3^2x
f(x) = (2x – 7) · e^x³ f ’(x) = (6x³ - 21x² + 2) · e^x³
f_t(x) = x · e^tx f ’(x) = (tx + 1) · e^tx
f_a(x) = (x – a) · e^ax² f ’(x) = (2ax² - 2a²x + 1) · e^ax²
f_b(x) = (x² - b) · e^–bx f ’(x) = (-bx² + 2x + b²) · e^–bx

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Übung - Kurvendiskussion und Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen

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Übung - Kurvenscharen von Exponentialfunktionen

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Übung zur LK - Exponentialfunktionen

Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen der folgenden Funktionen!

a) f(x) = 0,5·1,5^x f '(x) = 0,5·1,5^x·ln1,5 = 0,5ln1,5·1,5^x f ''(x) = 0.5·ln1.5·1,5^x·ln1,5 = 0,5(ln1,5)·1,5^x

b) f(x) = x³·e^x f '(x) = 3x²·e^x + x³·e^x = (x³+3x²)·e^x f ''(x) = (3x²+6x)·e^x + (x³+3x²)·e^x = (x³+6x²+6x)·e^x

c) f_a(x)=(2x-a)·e^ax f_a'(x)=2·e^ax +(2x-a)·e^ax·a =(2ax+2-a²)·e^ax f_a''(x) = 2a·e^ax +(2ax+2-a²)·e^ax·a = (2a²x+4a-a³)·e^ax

2. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f mit der Gleichung: f(x) = 3x·e^-x² zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist!

f(-x) = 3·(-x)·e^-(-x)²= -3x·e^-x² = - f(x), woraus folgt, dass f zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist

3. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte der Funktion f mit der Gleichung: f(x) = (x²-1)·e^-0,5x !

f '(x) = (-½x²+2x+½)·e^-0,5x f ''(x) = (¼x²-2x+1,75)·e^-0,5x f '''(x) = (-⅛x²+1,5x - 2,875)·e^-0,5x

0 = ¼x²-2x+1,75 f '''(1) = -0,91 ≠ 0

0 = x²-8x+7 f '''(7) = 0,04 ≠ 0

x_W1= 1 x_W2= 7 f(1) = 0·e^-0,5x = 0

W₁(1|0) W₂(7|1,45) f(7) = 48·e^-3,5 ≈ 1,45

Weisen Sie nach, dass die Funktionenschar f_a(x) mit der Gleichung: f_a(x) = 3x · e^ax (a > 0) im Punkt E einen Extrempunkt hat! Weisen Sie die Art des Extremas nach und ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve aller Extrema!

f_a'(x) = (3ax+3)·e^ax f_a''(x) = (3a²x+6a)·e^ax

0 = 3ax + 3 f_a''( ) = (-3a+6a)·e^-1 = 3a·e^-1> 0 (für a >0) es liegt ein Minimum vor

0 = ax + 1 f_a( ) = 3· () ·e^-1 =

x_E = T

Ortskurve: x_E = a =

y_E= = Gleichung der Ortskurve: y = · x

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Übungen - Mathematik Klasse 13-I GK

Übung: Wiederholung - Lösen von Gleichungssystemen

I 2x - 4y + 2z = 7 I 2x - 4y + 2z = 7 | I 3x - 5y - 2z = 10 I 3x - 5y - 2z = 10

II 4x + 2y - 3z = -3 II 10y - 7z = -17 | II 2x + 8y - 5z = 6 II - 14y + 11z = 2

III -6x - 3y + 4z = 4 III - z = -1 | III 4x - 2y + z = 8 III 0 = 18

D=-10 D₁=-5 D₂=-10 D₃=10 L={[½|-1|1]} | D=0 D₁=54 D₂=-66 D₃=-84 L = Ø

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Übung: Einführung in die Vektorrechnung

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Übung: Relationen und Rechenoperationen zwischen Vektoren

AB "Einführung in die Vektorrechnung" Nr.2

	Vektorpaare die zueinander gleichgerichtet sind: NO und CD; BA und FE; LM und GH
	Vektorpaare die gleich sind: NO = CD; BA = FE;
	Vektorpaare die zueinander entgegengesetzt gerichtet sind: JK und FE; JK und BA; CD und QP; NO und QP
	Vektorpaare die zueinander entgegengesetzt sind: JK = -FE; JK = -BA

AB "Einführung in die Vektorrechnung" Nr.3

	b + c - a = FG = ED = ...
	AD + DC + CF = AF = BG = ...
	FE - 2·c + FE = FC = HO = ...
	a + ½·b + c = AD = BM = ...
	JM - BC + FC = JK = OT = ...
	b - JT + c = FF = BB = ... der Nullvektor!!!

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Übung: Vektorraum, Basis, Komponenten, Koordinaten

AB "Einführung in die Vektorrechnung" Nr.4b

	AF = 2·a + 1·b
	BD = -2·a - 2·b
	GE = 0·a - 2·b
	HB = 2·a - 1·b
	AC = 2·a + 2·b

	GF = 1·a - 1·b
	FM = -1·a + 0·b
	EC = 1·a + 2·b

AB " Rechnen mit Vektoren" Nr.3

	AM₂ = 1·a + ½·b
	BM₄ = -1·a + ½·b
	CM = -½·a - ½·b
	MM₁ = 0·a - ½·b
	M₃M₄ = -½·a - ½·b
	DB = 1·a - 1·b

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Übung: Rechnen mit Vektoren in Koordinatenschreibweise

Aufgabe: Stellen Sie den Vektor als Linearkombination der Vektoren , und dar!

aus folgt und daraus L = {[-0,3|5,3|2,4]}

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Übung: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren; kollineare, komplanare Vektoren

LB.S.29 Nr.1a,b

und sind kollinear, weil =-½·oder = -2 ·
und sind nicht kollinear, weil es keinen einheitlichen Vervielfachungsfaktor gibt

Aufgabe: Prüfen Sie, ob die Vektoren , und komplanar sind! woraus folgt:

	das dahinter steckende homogene Gleichungssystem hat eine eindeutige (nur die triviale) Lösung
	die Vektoren , und sind linear unabhängig
	die Vektoren , und sind nicht komplanar und liegen damit nicht in einer Ebene; wären dafür aber als Basisvektoren des R³ geeignet; jeder dreidimensionale Vektor muss sich aus ihnen eindeutig linear kombinieren lassen

LB.S.31 Nr.11a,b,c

a. D = 0

	das dahinter steckende homogene Gleichungssystem hat mehr als nur die triviale (nämlich unendlich viele) Lösung
	die Vektoren , und sind linear abhängig
	die Vektoren , und sind komplanar und liegen damit in einer Ebene

b. D = 1 die Vektoren , und sind linear abhängig, also komplanar

c. D = 0 die Vektoren , und sind linear unabhängig, also nicht komplanar

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Übung: Berechnen von Punktkoordinaten

Aufgabe:

Gegeben seien drei Punkte A, B und C mittels ihrer Koordinaten A(4|6|1) , B(3|5|-2) und C(-2|-2|4). Berechnen Sie die Koordinaten eines vierten Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm wird!

oder also D(-1|-1|7)

Aufgabe:

Gegeben seien drei Punkte A, B und M mittels ihrer Koordinaten A(-2|5|3) , B(4|-1|2) und M(1|2|5). Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte C und D derart, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm wird und der Punkt M der Schnittpunkt seiner Diagonalen ist.

oder

also C(4|-1|7) also D(-2|5|8)

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Übung: Vektorielle Geradengleichungen

LB.S.68 Nr.8

Gerade g_AB: b. Gerade g_AB: c. Gerade g_AB:

Aufgabe:

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Übung: Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

LB.S.70 Nr.1

verschiedene Parameterwerte r (1;-2;-1) P g_AB
gleicher Parameterwert r = 2 P g_AB
verschiedene Parameterwerte r (2;2;-2) P g_AB
verschiedene Parameterwerte r (-½;-1/3;Widerspruch) P g_AB

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Übung: Lagebeziehung zwischen Gerade und Koordinatenebene

LB.S.70 Nr.2

		I x = 1 + 3r x = 3 II y = 6 - 3r y = 4 III 0 = 4 - 6r r = 2/3	D_xy(3\|4\|0)
		I x = -2 + 5r x = -14,5 II y = 1 + r y = -3/2 III 0 = 5 + 2r r = -5/2	D_xy(-14,5\|-1,5\|0)
		I x = 4 + 3r x = II y = 2 + 3r y = III 0 = 3 Widerspruch	Gerade verläuft parallel zu x-y-Koordinatenebene, deshalb gibt es keinen Spurpunkt der Gerade mit dieser Ebene

Aufgabe: Prüfen Sie, ob die Gerade h mit der Gleichung: eine der Koordinatenachsen schneidet! Überlegen Sie sich vorher die besondere Eigenschaft aller Punkte, die auf einer Koordinatenachse liegen.

x-Achse:		y-Achse:		z-Achse:
	I s = 6+4r II 0 = 2+4r r = -½ III 0 = 3+2r r =-2/3 Widerspruch		I 0 = 6+4r r =-1,5 II t = 2+4r t = -4 III 0 = 3+2r r=-1,5 S(0\|-4\|0)		I 0 = 6+4r r = -1,5 II 0 = 2+4r r = -½ III l = 3+2r Widerspruch

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Übung: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen den Geraden g: und Gerade h: !

Vektorbetrachtungen

Gleichungssystem

	Richtungsvektoren nicht kollinear
	Verbindungsvektor ist zu Richtungsvektoren komplanar, weil D = 0

I 8 + t = 4 I t = -4

II 12 +2t = 12 – 6s II 2t + 6s = 0

III -4t = 12s III –4t – 12s = 0

II 6s + 2t = 0

III –12s – 4t = 0

I t = -4

II 6s + 2t = 0 s = 4/3

III 0 = 0

I t = -4 L = {[4/3|-4]} eindeutige Lösung

Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt S also S(4|4|16)

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen den Geraden g: und h: !

Vektorbetrachtungen

Gleichungssystem

	Richtungsvektoren kollinear ( )
	Verbindungsvektor ist zu Richtungsvektoren nicht kollinear

I 2t = - s

II 1 - 4t = 3 + 2s

III 2 + 4t = 5 - 2s

I 2t + s = 0

II -4t - 2s = 2

III 4t + 2s = 3

I 2t + s = 0

II 0 = 2 Widerspruch

III 0 = 3 L = Ø

Geraden g und h liegen echt parallel

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen den Geraden g: und h: !

Vektorbetrachtungen

Gleichungssystem

	Richtungsvektoren nicht kollinear
	Verbindungsvektor ist zu Richtungsvektoren nicht komplanar, weil D = -144

I t = 8 + 5s

II 12 = 6s

III 0 = -12s

I t - 5s = 8

II -6s = -12 s = 2

III 12s = 0 s = 0 L = Ø

Geraden g und h liegen windschief zueinander

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen den Geraden g (durch die Punkte A(0|1|2) und B(3|1|3)) und h (durch die Punkte C(3|2|1) und D(0|3|-2))!

Gerade g: Gerade h:

Vektorbetrachtungen

Gleichungssystem

	Richtungsvektoren nicht kollinear
	Verbindungsvektor ist zu Richtungsvektoren komplanar, weil D = 0

I 3t = 3 - 3s

II 1 = 2 + s

III 2 + t = 1 - 3s

I 3t + 3s = 3

III t + 3s = -1

II - s = 1

I 3t + 3s = 3 t = 2

II -6s = 6 s = -1 L = {[2|-1]}

II - s = 1 s = -1 eindeutige Lösung

Geraden g und h schneiden sich im Punkt S also S(6|1|4)

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Übung: Geradenscharen

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Übung: Ebenengleichung in Parameterform

Aufgabe: Eine Ebene E sei definiert durch die Geraden g: und h: .Prüfen Sie deren Lagebeziehung und stellen sie - falls möglich - die Gleichung der Ebene E auf!

I 3 + 2r = 7 + s I 2r - s = 4 I 2r - s = 4 I 2r - s = 4 r = 2

II 5r = 10 -10s II 5r + 10s = 10 II 25s = 0 II s = 0

III 7 + r = 9 + s III r - s = 2 III s = 0 III s = 0

Gerade g schneidet Gerade h im Punkt S(7|10|9) d.h. beide Geraden definieren eine Ebene E eindeutig

Ebene E:

Aufgabe: Eine Ebene E sei definiert durch die Geraden g: und h: .Prüfen Sie deren Lagebeziehung und stellen sie - falls möglich - die Gleichung der Ebene E auf!

I 18 + 2s = 14 - 8t I 2s + 8t = -4 I 2s + 8t = -4

II 2 - s = 1 +4t II -s - 4t = -1 II 0 = -6

III 6 = 4 III 0 = -2 III 0 = -2 Widerspruch

Gerade g und Gerade h haben keine gemeinsamen Punkte; sie könnte echt parallel aber auch windschief liegen

also sind die Richtungsvektoren u und v kollinear zueinander; Gerade g und h sind echt parallel zueinander d.h. beide Geraden definieren eine Ebene E eindeutig

Ebene E: Verbindungsvektor PQ als zweiten Spannvektor der Ebene benutzen

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Übung: Lagebeziehung zwischen Ebene (Parameterform), Punkt und Gerade

LB.S.90 Nr.11

a) ja, für λ = 1/4 und μ = 1/2 liegt P in Ebene E_ABC

b) nein, der Punkt P(2|6|0) liegt nicht in der Ebene E_ABC (Widerspruch in Zeile 3)

Klett LB.S96 Nr.18 Prüfen Sie die Lagebeziehung zwischen g und E mittels Vektorbetrachtung

a) Gerade g: Ebene E:

Vektoren u, v und w komplanar? D = = -7 ≠ 0 nein g schneidet E in S(?|?|?)

I 7r - μ = 3

II 8r + λ = 3

III 6r - λ - 3μ = -1 L ={[1|-5|4]} g schneidet E in S(5|9|10)

b) Gerade g: Ebene E:

Vektoren u, v und w komplanar? D = = 0 ja

Vektoren PA, v und w komplanar) D = = 0 ja g liegt in E

c) Gerade g: Ebene E:

Vektoren u, v und w komplanar? D = = 0 ja

Vektoren PA, v und w komplanar) D = = -1 ≠ 0 nein g echt parallel zu E

d) Gerade g: Ebene E:

Vektoren u, v und w komplanar? D = = 0 ja

Vektoren PA, v und w komplanar) D = = -222 ≠ 0 nein g echt parallel zu E

Aufgabe: F.6

In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Ebene E gegeben durch die Punkte A(0|0|-1), B(1|0|1), C(0|1|0) und die Gerade g durch die Gleichung g: mit a,k,t R.

Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameterform an!
Für welche Parameterwerte t haben E und g genau einen Schnittpunkt?
Bestimmen Sie die Parameterwerte a und t so, dass g E = g!

zu a) Ebene E:

zu b) Die Gerade g ist in Wirklichkeit eine zweistellige Geradenschar (besteht aus zweimal unendlich vielen einzelnen Geraden). Ihre Lage hängt von den Parametern a und t ab. Ist der Parameter a fest, so handelt es sich um ein Geradenbüschel von unendlich vielen Geraden, die alle durch den Punkt P(-4,5|0|a) verlaufen. Ist der Parameter- wert t fest, so handelt es sich um eine Parallelenschar, die genaue Lage jeder Einzelgerade hängt von der Lage des Punkts P ab.

Gerade g und Ebene E haben dann genau einen Schnittpunkt, wenn der Richtungsvektor u der Gerade zu den Spannvektoren v und w der Ebene nicht komplanar ist: D = =2 - (8 + t) = -6 - t ≠ 0 t ≠ -6

zu c) Für den Fall, dass t doch gleich -6 ist, sind die Vektoren u, v und w komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene. Das bedeutet, dass die Ebene E und die Gerade g dann mindestens parallel zueinander liegen. Ist nun auch noch der Verbindungsvektor AP = zwischen Gerade und Ebene komplanar zu v und w, so liegt die Gerade in der Ebene: D = = a + 1 - (-9) = 0 a = -10 d.h. für t = -6 und a = -10 liegt die Gerade g in der Ebene E

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Übung: Koordinatengleichung einer Ebene - Achsenabschnittsform

Klett LB.S.88 Nr.22

a) A₁(3|0|0) A₂(0|-2|0) A₃(0|0|6)

Klett LB.S.88 Nr.23

a) x₁ + x₂ - x₃ = 3 A₁(3|0|0) A₂(0|3|0) A₃(0|0|-3)

b) 6x₁ - 3x₂ - 2x₃ = -5 A₁(-5/6|0|0) A₂(0|5/3|0) A₃(0|0|5/2)

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Übung: Lagebeziehung zwischen Ebene (Koordinatenform), Punkt und Gerade

Klett LB.S.96 Nr.18

a) Gerade g -3x₁ + x₂ + x₃ = 4 -3(-2+7r) + 1+8r + 4+6r = 4 r = 1 S(5|9|10)

b) Gerade g 17x₁+12x₂+16x₃ = 46 17(10+4r)+12(- 1+r)+16(-7-5r) = 46 0 = 0 g liegt in E

c) Gerade g 3x₁ - 8x₂ + 5x₃ = -18 3(-3r) - 8(4+2r) + 5(3+5r) = -18 0 = -1 g parallel zu E

d) Gerade g -6x₁ - 74x₂ + 37x₃ = -302 -6(1) - 74(1+r) + 37(2r) = -302 -80 = -302 g parallel zu E

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Übung: Schnittgerade zweier Ebenen

Bsp.: Bestimmen Sie für die Ebenen E: und F: die Gleichung der Schnittgerade s!

I 2 + 2r + s = 3λ - μ I 2r + s - 3λ + μ = -2 I 2r + s - 3 λ + μ = -2 I 2r + s - 3 λ + μ = -2 II 2 + 2s = 8 + 2λ + 3μ II 2s - 2λ - 3μ = 6 II 2s - 2 λ - 3μ = 6 II 2s - 2 λ - 3μ = 6 III 2 +5r +3s = 4 + 8λ + 2μ III 5r + 3s - 8λ - 2μ = 2 III -s + λ + 9μ = -14 III 15μ = -22

· aus Gleichung III folgt: 15μ = -22 und umgestellt also μ = -22/15 setzt man dies in die Gleichung der Ebene F ein:

so lautet eine Gleichung der Schnittgerade s also:

es geht aber auch anders:

die Ebenen haben folgende Koordinatengleichungen: E: 10x + y - 4z = 14 F: 20x + 14y - 11z = 68

Parameterform von E in Koordinatenform von F Parameterform von F in Koordinatenform von E

20·(2+2r+s) + 14·(2+2s) - 11·(2+5r+3s) = 68 10·(3λ-μ) + (8+2λ+3μ) - 4·(4+8λ+2μ) = 14

-15r + 15s + 46 = 68 -15μ - 8 = 14

s = r + 22/15 μ = -22/15

oder wie oben

es geht aber noch anders:

I 10x + y - 4z = 14 I 10x + y - 4z = 14 x = 3/8·z + 16/15

II 20x + 14y - 11z = 68 II 12y - 3z = 40 y = 1/4·z + 10/3

L = {[3/8·z + 16/15|1/4·z + 10/3|z]} wählen nun für z eine andere Variable und schreiben senkrecht:

die Veränderung des Richtungsvektors ist möglich, weil beide Richtungsvektoren kollinear zueinander sind und somit die Lage der Gerade nicht verändert wird

Klett LB.S.99 Nr.6k

Ebene E: 4x - 12y + 5z = 45 Ebene F: -3x + 7y - 2z = 15

I 4x - 12y + 5z = 45 I 4x - 12y + 5z = 45 4x - 12·(7/8·z-75/8) + 5z = 45 x = 11/8·z - 175/8

II -3x + 7y - 2z = 15 II -8y + 7z = 75 y = 7/8·z - 75/8

L = {[11/8·z - 175/8|7/8·z - 75/8|z]}

Schnittgerade s:

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Übung: Das Skalarprodukt

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Übung: Anwendungen des Skalarproduktes

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Übung: Innenwinkel von Figuren, Schnittwinkel von Geraden

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Übung: Besondere Lage von Ebenen

Aufgabe:

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Übung: Normalenform der Ebenengleichung

Aufgabe:

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Übung: Schnittwinkel zwischen Ebenen und Gerade

Aufgabe:

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Übung: Hessesche Normalform der Ebenengleichung

Aufgabe:

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Übung: Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene

Aufgabe: Berechnen Sie den Abstand des Punkte P(3|1|4) von der Ebene E mit der Gleichung: 2x - 2y + z = 5

Normalenvektor: Hessesche Normalform:

d P;E) = = 1 (LE)

Aufgabe: Berechnen Sie den Abstand des Punkte P(6|2|10) von der Ebene E mit der Gleichung:

Normalenvektor: Hessesche Normalform:

d P;E) = = 5 (LE)

Aufgabe: Berechnen Sie den Abstand des Punkte P(7|1|6) von der Ebene E mit der Gleichung: x - 2y + 2z = 8

Normalenvektor: Hessesche Normalform:

d P;E) = = 3 (LE)

Aufgabe: Berechnen Sie den Abstand des Punkte P(2|1|7) von der Ebene E durch die Punkte A(1|2|4), B(5|10|1) und C(10|-2|0) (LB.S.139 Nr.30e)

Ebene E: in Koordinatenform: 4x + y + 8z = 38 Normalenvektor: Hessesche Normalform: d P;E) = = 3 (LE)

Aufgabe: Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit den Eckpunkten A(1|1|1), B(7|5|3), C(5|7|1) und D(5|5|7).

Berechnen des Flächeninhaltes der Grundfläche ABC mit und wird aus	Berechnen der Körperhöhe h = d(D;E_ABC) Ebene E_ABC: Ebene E_ABC: -3x + 2y + 5z = 4 d(D;E_ABC) =
V = ⅓ · A_G · h = ⅓ · 2√38 ·(26/√38) = ⅔·26 ≈ 17,3 (VE)

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Übung: Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade

Aufgabe:

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Übung: Systematisierung analytische Geometrie

Aufgabe:

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Übungen - Mathematik Klasse 13-II GK

Übung: Wiederholung Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

f(x) = ⅓x³ - 4/3·x² + 5/3

allgemeine Schrittfolge

f(x) = ⅓x³ - 4/3·x² + 5/3

graphische Darstellung

1. Definitionsbereich

DB = {x | x

R} oder DB = R

Tangente an der Stelle x_o = 2

(1) f(2) = 8/3 - 16/3 + 5/3 = -1 P_o(2|-1)

(2) f '(2) = 4 - 16/3 = -4/3 = m_t

(3) y - y_o = m_t · (x - x_o)

y - (-1) = -4/3 · (x - 2)

y + 1 = -4/3·x + 8/3

y = -4/3x + 5/3

Tangente an der Stelle x_o = -1

(1) f(-1) = -1/3 - 4/3 + 5/3 = 0 P_o(-1|0)

(2) f '(-1) = 1 + 8/3 = 11/3 = m_t

(3) y - y_o = m_t · (x - x_o)

y - 0 = 11/3 · (x + 1)

y = 11/3x + 11/3

2. Symmetrie

f(-x)=⅓·(-x)³-4/3·(-x)²+5/3 = -⅓x³- 4/3x²+5/3 ≠ f(x)

f(-x) =⅓·(-x)³-4/3·(-x)²+5/3 = -⅓x³- 4/3x²+5/3 ≠ -f(x)

G_f ist weder axialsymmetrisch zur y-Achse noch zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung

3. Nullstellen

aus f(x) = 0 = ⅓x³ - 4/3·x² + 5/3 = x³ - 4x² + 5 folgt eine Lösung durch Probieren mit x₁ = -1 und daraus per Polynom- division: 0 = (x+1)·(x²-5x+5) ;die daraus folgende Gleichung: 0 = x²-5x+5 hat die Lösungen x₂ = 1,38 und x₃ = 3,62

die Nullstellen lauten also: x_N1=-1 x_N2=1,38 und x_N3 = 3,62

4. Extrempunkte

aus f '(x) = 0 =x² - 8/3·x = x·(x- 8/3) folgt: G_f hat die mög- lichen Extremstellen: x_E1=0 und x_E2=8/3 und mit f ''(0)=-8/3 <0 und f''(8/3) = 8/3>0 folgt: G_f hat einen Hochpunkt bei H(0|5/3) und einen Tiefpunkt bei T(8/3|-1,49)

5. Wendepunkte

aus f ''(x) = 0 = 2x - 8/3 folgt: G_f hat die möglichen Wende- stelle: x_W=4/3 und mit f '''(4/3) = 2 folgt G_f hat den Wende- punkt: W(4/3|0,09)

6. Verhalten im Unendlichen

der Graph G_f hat am linken Rand des Koordinatensystems große negative Funktionswerte und am rechten Rand des Koordinaten- systems große positive Funktionswerte

7. Wertetabelle

x	-1,5	0,5	2	4
y	-2,46	1,375	-1	1,67

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Übung: Wiederholung Kurvendiskussion von Exponentialfunktionen

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Übung: Wiederholung Tangenten und Normalen

Die Sekante s schneidet den Graphen G_f der Funktion f mit der Gleichung: f(x) = 1/x in den Punkten P(4|¼) und Q( ¼/4). Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten t₁ und t₂ an den Graphen G_f, welche parallel zur Sekante s verlaufen!

Gleichung der Sekante s: y - 4 = -1·(x - ¼) y = -x +17/4

Ableitung von f: f(x) = 1/x = x^-1 f '(x) = - x^-2 = -1/x² = m_t(1.Ableitung = Kurvenanstieg = Tangenanstieg)

Tangenten müssen Anstieg m_t = -1 haben damit sie parallel zur Sekante s liegen

f'(x) = -1 -1 = -1/x² x² = 1 x_o1 = -1 und x_o2 = 1

vollständige Berührungspunktkoordinaten: f(-1) = -1 P_o1(-1|-1) f(1) = 1 P_o2(1|1)

Tangentengleichungen: y+1 = -1·(x+1) y = -x - 2 y-1 = -1·(x-1) y = -x + 2

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Übung: Quotientenregel und Produktregel

f(t) = (3t²+t)·(1-t²) f '(x) = (6t+1)·(1-t²) + (3t²+t)·(-2t) = 6t-6t³+1-t²-6t³-2t² = -12t³-3t²+6t+1

f(x) = (x - 2)·√x

f(x) = √x·(x² + 3x)

f(x) = x·√x = x^3/2

Klett LB. S. 166 Nr. 17

Klett LB. S. 166 Nr. 18

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Übung: Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen

f(x) = 2x²/(1-x²)

DB = {x| x ≠ 1 und x ≠ -1}

Symmetrie: f(-x) = 2(-x)²/(1-(-x)²) = 2x²/(1-x²) = f(x) Graph von f ist axialsymmetrisch zu y-Achse

Nullstellen: u(x)=0 2x²=0 x²=0 x_n=0 mögliche Nullstelle; v(0)=1≠0 x_n = 0 gesicherte Nullstelle

Definitionslücken: v(x)=0 1-x²=0 x²=1 x_P1=1 und x_P2=-1 mögliche Polstellen u(±1)=2≠0 daraus folgt x_P1=1 und x_P2=-1 gesicherte Polstellen; die senkrechten Geraden (Asymptoten) x=-1 und x=1 teilen den Graph in drei Abschnitte

Ableitungen: f '(x) = 4x/(1-x²)² f ''(x) = (4+12x²)/(1-x²)³

Extrempunkte: 4x/(1-x²)² =0 4x=0 x_E=0 mögliche Extremstelle; f ''(0)=4/1>0 x_E=0 gesicherte Tief- punktstelle f(0)=0 Graph hat bei T(0|0) einen lokalen Tiefpunkt

Wendepunkte: (4+12x²)/(1-x²)³=0 4+12x²=0 x²=-⅓ es gibt mit Sicherheit keine Wendestellen

Verhalten im Unendlichen: der Graph nähert sich für sehr kleine bzw. sehr große Argumente der waagerechten Gerade (Asymptote) y = -2

Wertetabelle:

x	0,5	0,75	1,5	2	3	5
y	0,67	2,57	-3,6	-2,67	-2,25	-2,08

graphische Darstellung:

Tangente bei x_o = -0,5: y = -32/9 ·x -10/9 Tangente bei x_o = 3: y = 3/16 ·x - 45/16

f(x) = (x²+1)/(x²-4)

DB = {x| x ≠ 2 und x ≠ -2}

Symmetrie: f(-x) = ((-x)²+1)/((-x)²-4) = (x²+1)/(x²-4) = f(x) Graph von f ist axialsymmetrisch zu y-Achse

Nullstellen: u(x)=0 x²+1=0 x²=-1 n.l. der Graph von f besitzt keine Nullstellen

Definitionslücken: v(x)=0 x²-4=0 x²=2 x_P1=2 und x_P2=-2 mögliche Polstellen u(±2)=5≠0 daraus folgt x_P1=1 und x_P2=-1 gesicherte Polstellen; die senkrechten Geraden (Asymptoten) x=-1 und x=1 teilen den Graph in drei Abschnitte

Ableitungen: f '(x) = -10x/(x²-4)² f ''(x) = (30x²+40)/(x²-4)³

Extrempunkte: -10x/(x²-4)² =0 -10x=0 x_E=0 mögliche Extremstelle; f ''(0)=-5/8<0 x_E=0 gesicherte Hoch- punktstelle f(0)=-¼ Graph hat bei H(0|-¼) einen lokalen Hochpunkt

Wendepunkte: (30x²+40)/(x²-4)³=0 30x²+40=0 x²=-4/3 es gibt mit Sicherheit keine Wendestellen

Verhalten im Unendlichen: der Graph nähert sich für sehr kleine bzw. sehr große Argumente der waagerechten Gerade (Asymptote) y = 1

Wertetabelle:

x 1 1,5 2,5 3 4 5

y -0,67 -1,86 3,22 2 1,42 1,24

graphische Darstellung:

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Übung: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

u(x) = 8x²-0,5 = 0 x_N1= ¼ x_N2= -¼ v(¼) = 9/2≠0 v(-¼) = 0!

Nullstelle: x_N=¼

u(x) = x²+2x-15 = 0 x_N1=-5 x_N2=3 u(-5)=-96≠0 u(3) = 0!

Nullstelle: x_N=-5

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Übung: Polstellen gebrochenrationaler Funktionen

v(x) = 4x²+9x+2 = 0 x_P1=-¼ x_P2=-2 u(-¼) = 0! u(-2) = 31,5≠0

Polstelle: x_P=-2

v(x) = x³-x²-9x+9 = 0 x_P1=-3 x_P2=1 x_P3=3 (mittels Polynomdivision)

u(-3)=-12≠0 u(1)=-12≠0 u(3)=0!

Polstellen: x_P1=-3 x_P2=1

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Übung: Verhalten gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen

waagerechte Asymptote y = 0

schräge Asymptote: y=-4x+10

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Übung: Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen(2.Teil)

f(x) = x²/(x-1)

DB = {x| x ≠ 1 }

Symmetrie: f(-x) = (-x)²/((-x)-1) = x²/(-x-1) = -x²/(x+1)≠ f(x) aber auch ≠ -f(x) Graph von f ist weder axial- symmetrisch zu y-Achse noch zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung

Nullstellen: u(x)=0 x²=0 x_N=0 mögliche Nullstelle; v(0)=-1≠0 x_N = 0 gesicherte Nullstelle

Definitionslücken: v(x)=0 x-1=0 x_P=1 mögliche Polstelle u(1)=1≠0 daraus folgt x_P=1 gesicherte Polstellen; die senkrechte Gerade (Asymptote) x=1 teilt den Graph in zwrei Abschnitte

Ableitungen: f '(x) = (x²-2x)/(x-1)² f ''(x) = 2/(x-1)³

Extrempunkte: (x²-2x)/(x-1)² =0 x·(x-2)=0 x_E1=0 und x_E2=2 mögliche Extremstelle; f ''(0)=-2<0 x_E1=0 gesicherte Hochpunktstelle f ''(2)=2>0 x_E2=2 gesicherte Hochpunktstelle f(0)=0 f(2)=4 Graph hat bei H(0|0) einen lokalen Tiefpunkt und bei T(2|4) einen lokalen Tiefpunkt

Wendepunkte: 2/(x-1)³=0 2=0 f.A. es gibt mit Sicherheit keine Wendestellen

Verhalten im Unendlichen: der Graph nähert sich für sehr kleine bzw. sehr große Argumente der schrägen Gerade (Asymptote) y = x+1 (durch Polynomdivision mit Rest)

Wertetabelle:

x	-6	-4	-2	0,5	0,75	1,25	1,5	2	4	6
y	-5,1	-3,2	-1,3	-0,5	-2,25	6,25	4,5	4	5,3	7,2

graphische Darstellung:

weitere durchgerechnete Übungen siehe Cornelsen LB.S.196-202

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Übung: Kurvenscharen gebrochenrationaler Funktionen

Aufgabe: Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen für folgende Kurvenscharen

	f_c(x) = 1/(x²+c) f_c'(x) = (-2x)/(x²+c)² f_c''(x) = (6x²-2c)/(x²+c)³
	f_t(x) = (x²-4)/(x-t) f_t'(x) = (x²-2tx+4)/(x-t)² f_t''(x) = (2t²-8)/(x-t)³
	f_b(x) = (2x-b²)/x² f_b'(x) = (-2x+2b²)/x³ f_b''(x) = (4x-6b²)/x⁴
	f_t(x) = (x²+2x)/(x+t)² f_t'(x) = ((2t-2)x+2t)/(x+t)³ f_t''(x) = ((4-4t)x+2t²-8t)/(x+t)⁴

f_t(x) = x³/(x²-t²)(t>0)

DB = {x| |x| ≠ t }
Symmetrie: f_t(-x) = (-x)³/((-x)²-t²)= -x³/(x²-t²)= -f_t(x) Graph von f_k ist zentralsymmetrisch zum Koord.ursprung
Nullstellen: u(x)=x³=0 x_N=0 mögliche Nullstelle; v(0)=-t²≠0 x_N = 0 gesicherte Nullstelle
Definitionslücken: v(x)=x²-t²=0 x²=t² x_P1=t x_P2=-t mögliche Polstellen, u(t)=t³≠0 u(-t)=-t³≠0 x_P1=t x_P2=-t gesicherte Polstellen, Lage der senkrechten Asymptoten bei x=t und x=-t vom Scharparameter t abhängig
Ableitungen: f_t'(x) = (x⁴-3t²x²)/(x²-t²)² f_t''(x) = (2t²x³+6t⁴x)/(x²-t²)³f_t'''(x) = (-6x⁴-36t²x²-6t⁴)/(x²-t²)⁴
Extrempunkte: x⁴-3t²x²=0 x²·(x²-3t²)=0 x_E1=0 x_E2=t·√3 x_E3=-t·√3 mögliche Extremstellen; f_t''(0)=0 ??? f_t''(t·√3)=(3√3)/(2t) stets positiv für t>0 gesicherte Tiefpunktstelle f_t(-t·√3)=1,5t·√3 Graph hat bei T_t(t·√3|1,5t·√3) einen (von t abhängigen) lokalen Tiefpunkt f_t''(-t·√3)=(-3√3)/(2t) stets kleiner Null für t>0 gesicherte Hochpunktstelle f_t(-t·√3)=-1,5t·√3 Graph hat bei H_t(-t·√3|-1,5t·√3) einen (von t abhängigen) lokalen Hochpunkt
Wendepunkte: 2t²x³+6t⁴x=0 x·(2t²x²+6t⁴)=0 x_W=0 einzig mögliche Wendestelle f_t'''(0)=-6/t⁴≠0 x_W=0 gesicherte Wendestelle f_t(0)=0 alle Graphen haben bei W(0|0) einen (von t unabhängigen) Wendepunkt, der gleichzeitig ein Sattelpunkt (waagerechte Wendetangente) ist
Verhalten im Unendlichen: der Graph nähert sich unabhängig vom Parameter t für sehr kleine bzw. sehr große Argumente der schrägen Asymptote: y =x
Ortskurve der Extrema: x_E=t·√3 t=x_E/√3 y_E=1,5t·√3=1,5(x_E/√3)·√3= 1,5·x_EOrtskurve: y=1,5·x
Wertetabellen: für t=1; t=1,5 und t=2 mit Hilfe eines Computerprogramms
graphische Darstellung:

weitere durchgerechnete Übungen siehe Cornelsen LB.S.203-208

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Übung: Flächenberechnung an gebrochen rationalen Funktionen

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Punktrichtungsgleichung: y - y₁ = m · (x - x₁)	Zweipunktgleichung: y - y₁ = · (x - x₁)
B(-3\|1) m = -7/3 y - 1 = -7/3·(x + 3) y - 1= -7/3·x - 7 /+1 y = -7/3·x - 6 /·3 3y = -7x - 18 /+7x 7x + 3y = -18 /:(-18) -7/18·x - 1/6·y = 1	A(-3\|-1) B(5\|1) y + 1 =· (x + 3) y + 1 = ¼·(x + 3) y + 1 = ¼·x + 3/4 /-1 y = ¼·x - ¼ /·4 4y = x - 1 /-4y + 1 x - 4y = 1
P(2\|3) m = -3/2 y - 3 = -3/2·(x - 2) y - 3 = -3/2·x + 3 /+3 y = -3/2·x + 6 /·2 2y = -3x + 12 /+3x 3x + 2y = 12 /:12 ¼·x + 1/6·y = 1	R(-2\|1) S(4\|4) y - 1 =· (x + 2) y - 1 = ½·(x + 2) y - 1 = ½·x + 1 /+1 y = ½·x + 2 /·2 2y = x + 4 /-x -x + 2y = 4 /:4 -¼·x + ½·y = 1
P(-1\|5) m = 2,5 = 5/2 y - 5 = 5/2·(x + 1) y - 5= 5/2·x + 5/2 /+5 y = 5/2·x + 15/2 /·2 2y = 5x + 15 /-5x -5x + 2y = 15 /:15 -1/3·x + 2/15·y = 1	P(-4\|-6) Q(8\|3) y + 6 =· (x + 4) y + 6 = 3/4·(x + 4) y + 6 = 3/4·x + 3 /-6 y = 3/4·x - 3 /·4 4y = 3x - 12 /-4y + 12 3x - 4y = 12 /:12 ¼·x - 1/3·y = 1

Anwendungsaufgaben: lineare Funktionen

Anwendungsaufgaben: quadratische Funktionen

LB.S.60 Übung 9

LB.S.63 Übung 12

f(x) = (1 - x)4 f ’(x) = 4(1 – x)3 · (-1) = -4(1 – x)3

f(x) = f ’(x) = · (-2)=

0 = x2 - 2x - 3 x1 = -1 x2 = 3

Flächenberechnung (Untersumme)

Nullstelle: xN=¼

v(x) = 4x2+9x+2 = 0 xP1=-¼ xP2=-2 u(-¼) = 0! u(-2) = 31,5≠0

v(x) = x3-x2-9x+9 = 0 xP1=-3 xP2=1 xP3=3 (mittels Polynomdivision)

u(-3)=-12≠0 u(1)=-12≠0 u(3)=0!

f(x) = (1 - x)⁴ f ’(x) = 4(1 – x)³ · (-1) = -4(1 – x)³

0 = x² - 2x - 3 x₁ = -1 x₂ = 3

Nullstelle: x_N=¼

v(x) = 4x²+9x+2 = 0 x_P1=-¼ x_P2=-2 u(-¼) = 0! u(-2) = 31,5≠0

v(x) = x³-x²-9x+9 = 0 x_P1=-3 x_P2=1 x_P3=3 (mittels Polynomdivision)